Алгоритм Гопкрофта-Карпа

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Алгоритм Гопкрофта-Карпа предназначен для решения задачи о назначениях в случае единичных цен. По заданному двудольному графу алгоритм находит максимальное паросочетание за время [math]\displaystyle{ O(m \sqrt{n}) }[/math].

Математическое описание алгоритма

Граф [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math] называется двудольным, если его вершины можно разделить на две части [math]\displaystyle{ V = X \sqcup Y }[/math], так что каждое ребро [math]\displaystyle{ e \in E }[/math] соединяет вершины из [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Набор рёбер [math]\displaystyle{ M \subseteq E }[/math] называется паросочетанием, если каждая вершина [math]\displaystyle{ v \in V }[/math] принадлежит не более чем одному ребру из [math]\displaystyle{ M }[/math]. Требуется найти максимальное паросочетание – паросочетание с максимально возможным числом рёбер.

Вершина [math]\displaystyle{ v \in V }[/math] называется свободной, если она не принадлежит ни одному ребру из [math]\displaystyle{ M }[/math]. Простой путь

[math]\displaystyle{ P: e_1 = (v_1, v_2), e_2 = (v_2, v_3), \ldots, e_{2k-1} = (v_{2k-1}, v_{2k}) }[/math]

называется увеличивающей цепью, если его концы [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ v_{2k} }[/math] – свободные вершины, а каждое второе ребро принадлежит текущему паросочетанию:

[math]\displaystyle{ e_2, e_4, \ldots, e_{2k-2} \in M. }[/math]

Паросочетание [math]\displaystyle{ M }[/math] является максимальным, если для него не существует увеличивающей цепи.

Множество [math]\displaystyle{ M' }[/math], полученное заменой в [math]\displaystyle{ M }[/math] рёбер [math]\displaystyle{ e_2, e_4, \ldots, e_{2k-2} }[/math] на рёбра [math]\displaystyle{ e_1, e_3, \ldots, e_{2k-1} }[/math], является паросочетанием и содержит на одно ребро больше, чем [math]\displaystyle{ M }[/math]. Множество [math]\displaystyle{ M' = M \mathop{\Delta} P }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathop{\Delta} }[/math] обозначает операцию симметрической разности множеств.

На каждом шаге алгоритма Гопкрофта-Карпа строится максимальное по включению множество кратчайших увеличивающих цепей [math]\displaystyle{ \{ P_1, \ldots, P_q \} }[/math], не пересекающихся по вершинам, и текущее паросочетание [math]\displaystyle{ M }[/math] заменяется на [math]\displaystyle{ M = M \mathop{\Delta} P_1 \mathop{\Delta} P_2 \mathop{\Delta} \dots \mathop{\Delta} P_q }[/math]. Гарантируется, что число шагов не превышает [math]\displaystyle{ 2 (\sqrt{\mu} + 1) = O(\sqrt{n}) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mu }[/math] – число рёбер максимального паросочетания.

Для поиска максимального множества кратчайших увеличивающих цепей применяется поиск в ширину с последующим поиском в глубину.

Вычислительное ядро алгоритма

Основная вычислительная сложность алгоритма приходится на операции поиска в ширину и поиска в глубину.

Макроструктура алгоритма

1. Выбрать начальное паросочетание [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] (например, [math]\displaystyle{ M_0 = \emptyset }[/math] или паросочетание, полученное жадным алгоритмом).
2. Вычислить максимальное по включение множество кратчайших увеличивающих цепей [math]\displaystyle{ \{ P_1, \ldots, P_q \} }[/math], не пересекающихся по вершинам. Если улучшающих цепей не существует, остановиться: текущее паросочетание [math]\displaystyle{ M_i }[/math] является максимальным.
3. Составить новое паросочетание [math]\displaystyle{ M_{i + 1} = M_i \mathop{\Delta} P_1 \mathop{\Delta} P_2 \mathop{\Delta} \dots \mathop{\Delta} P_q }[/math] и перейти к шагу 2.

Схема реализации последовательного алгоритма

Опишем, каким образом ищется максимальное множество кратчайших увеличивающих цепей на втором шаге алгоритма.

Пусть [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math] – двудольный граф с разбиением вершин [math]\displaystyle{ V = X \sqcup Y }[/math], а [math]\displaystyle{ M }[/math] – текущее паросочетание в нём. Обозначим через [math]\displaystyle{ X_f \subseteq X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y_f \subseteq Y }[/math] соответствующие множества свободных вершин.

1. Если одно из множеств [math]\displaystyle{ X_f }[/math] или [math]\displaystyle{ Y_f }[/math] пусто, то увеличивающих цепей не существует.
2. Ориентируем рёбра [math]\displaystyle{ G }[/math] следующим образом:
   • рёбра из [math]\displaystyle{ M }[/math] идут из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math];
   • все остальные рёбра идут из [math]\displaystyle{ Y }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math].
3. Выполним один поиск в ширину на полученном ориентированном графе, двигаясь от множества вершин [math]\displaystyle{ X_f }[/math] в обратном направлении.
   • Поиск останавливается на том шаге, на котором будет посещена хотя бы одна из вершин в [math]\displaystyle{ Y_f }[/math].
   • Если поиск будет завершён без посещения одной из вершин [math]\displaystyle{ Y_f }[/math], то увеличивающих цепей не существует.
   • Пометим вершины и рёбра, посещённые в ходе поиска в ширину.
4. Для каждой из свободных вершин [math]\displaystyle{ y \in Y_f }[/math] выполним поиск в глубину в прямом направлении, двигаясь только по помеченным рёбрам и вершинам.
   • Снимем пометку с посещённых рёбер и вершин.
   • Если на очередном шаге посещена вершина [math]\displaystyle{ x \in X_f }[/math], то поиск останавливается, а текущее содержимое стека определяет кратчайшую увеличивающую цепь от [math]\displaystyle{ y }[/math] к [math]\displaystyle{ x }[/math].
   • Если поиск в глубину завершается без посещения множества [math]\displaystyle{ X_f }[/math], то для данной вершины [math]\displaystyle{ y }[/math] увеличивающей цепи не существует, и необходимо перейти к следующей свободной вершине.

Последовательная сложность алгоритма

Алгоритм выполняет не более [math]\displaystyle{ O(\sqrt{n}) }[/math] шагов, на каждом из которых производятся поиск в ширину и поиск в глубину сложностью [math]\displaystyle{ O(m) }[/math]. Таким образом, общая сложность составляет [math]\displaystyle{ O(m \sqrt{n}) }[/math].