AlgowikiPool - User contributions [en]

User:Daria Maksimova

2025-11-04T20:42:27Z

Daria Maksimova:

= Свойства и структура алгоритма=

=== Общее описание алгоритма ===
'''Стабилизированный метод бисопряженных градиентов с адаптивным перезапуском''' представляет собой модификацию классического алгоритма BiCGStab, разработанного Хенком ван дер Ворстом в 1992 году. Модификация была предложена для преодоления характерных проблем исходного метода — замедления сходимости и осцилляций невязки на поздних итерациях, особенно актуальных при решении систем с плохо обусловленными матрицами.

Алгоритм сочетает в себе скорость базового метода BiCGStab с интеллектуальным механизмом перезапуска, который автоматически отслеживает динамику сходимости и выполняет перезапуск вычислительного процесса при обнаружении значительного замедления. Это позволяет "встряхнуть" процесс сходимости и избежать застоя, характерного для многих итерационных методов Крылова.

Метод находит успешное применение в задачах вычислительной газодинамики, электродинамики и других областях, где возникают большие разреженные несимметричные системы линейных уравнений. В частности, для решения систем, образующихся при линеаризации уравнений Эйлера в трехмерных задачах газодинамики:

<math>J^{(k)} \Delta U^{(k)} = -R(U^{(k)})</math>

где <math>J^{(k)}</math> — матрица Якоби, <math>\Delta U^{(k)}</math> — поправка к решению, <math>R</math> — вектор невязки.

=== Математическое описание алгоритма ===
'''Исходные данные:''' несимметричная матрица <math>A \in \mathbb{R}^{N \times N}</math>, вектор правой части <math>b \in \mathbb{R}^N</math>, начальное приближение <math>x_0</math>, параметры останова <math>\epsilon</math>, <math>max\_iter</math>, параметр перезапуска <math>\theta \in (0,1)</math>.

'''Вычисляемые данные:''' вектор решения <math>x \in \mathbb{R}^N</math>, история невязок <math>\{r_k\}</math>.

==== Основные формулы метода: ====
'''Инициализация:'''
<math>
\begin{align}
r_0 &= b - A x_0 \\
\tilde{r} &= r_0 \\
\rho_0 &= \alpha_0 = \omega_0 = 1 \\
v_0 &= p_0 = 0 \\
k &= 0
\end{align}
</math>

'''Основной итерационный процесс:'''
Для <math>k = 0, 1, 2, \dots, max\_iter</math>:
<math>
\begin{align}
\rho_k &= (\tilde{r}, r_k) \\
\beta_k &= (\rho_k / \rho_{k-1}) \times (\alpha_{k-1} / \omega_{k-1}) \\
p_k &= r_k + \beta_k \times (p_{k-1} - \omega_{k-1} v_{k-1}) \\
v_k &= A p_k \\
\alpha_k &= \rho_k / (\tilde{r}, v_k) \\
s_k &= r_k - \alpha_k v_k \\
t_k &= A s_k \\
\omega_k &= (t_k, s_k) / (t_k, t_k) \\
x_{k+1} &= x_k + \alpha_k p_k + \omega_k s_k \\
r_{k+1} &= s_k - \omega_k t_k
\end{align}
</math>

==== Критерий адаптивного перезапуска: ====
'''Мониторинг сходимости:'''
<math>
\begin{align}
\gamma_k &= \frac{\|r_{k+1}\|}{\|r_k\|} \quad \text{– текущая скорость сходимости} \\
\overline{\gamma}_k &= \frac{1}{m} \sum_{i=k-m}^{k-1} \gamma_i \quad \text{– средняя скорость сходимости за } m \text{ итераций}
\end{align}
</math>

'''Условие перезапуска:'''
Если <math>\gamma_k > \theta \cdot \overline{\gamma}_k</math>, то:
<math>
\begin{align}
x_0 &:= x_{k+1} \\
r_0 &:= r_{k+1} \\
\tilde{r} &:= r_{k+1} \\
\rho_0 &= \alpha_0 = \omega_0 = 1 \\
v_0 &= p_0 = 0 \\
k &= 0 \quad \text{(сброс счетчика)}
\end{align}
</math>

'''Критерий останова:'''
<math>\text{Если } \|r_{k+1}\| < \epsilon \cdot \|b\| \text{ или } k > max\_iter \text{, то останов}</math>
= Литература =
* Henk A. vander Vorst. ''Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems''. — Cambridge University Press, 2003. — 230 p.

* Горбаченко В.И. ''Вычислительная линейная алгебра с примерами на MATLAB''. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 320 с. — (Учебное пособие).
* Пузикова В. В. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом BiCGStab с предобусловливанием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". — 2011. — С. 124-133. — ISSN 1812-3368.
* Стонякин Ф. С. Адаптивные градиентные методы для некоторых классов задач негладкой оптимизации // Труды МФТИ. — 2020. — Т. 12, № 45. — С. 112-136.

User:Daria Maksimova

2025-11-04T20:41:01Z

Daria Maksimova:

= Свойства и структура алгоритма=

=== Общее описание алгоритма ===
'''Стабилизированный метод бисопряженных градиентов с адаптивным перезапуском''' ({{lang-en|Adaptive Restart BiCGStab}}) представляет собой модификацию классического алгоритма BiCGStab, разработанного Хенком ван дер Ворстом в 1992 году. Модификация была предложена для преодоления характерных проблем исходного метода — замедления сходимости и осцилляций невязки на поздних итерациях, особенно актуальных при решении систем с плохо обусловленными матрицами.

Алгоритм сочетает в себе скорость базового метода BiCGStab с интеллектуальным механизмом перезапуска, который автоматически отслеживает динамику сходимости и выполняет перезапуск вычислительного процесса при обнаружении значительного замедления. Это позволяет "встряхнуть" процесс сходимости и избежать застоя, характерного для многих итерационных методов Крылова.

Метод находит успешное применение в задачах вычислительной газодинамики, электродинамики и других областях, где возникают большие разреженные несимметричные системы линейных уравнений. В частности, для решения систем, образующихся при линеаризации уравнений Эйлера в трехмерных задачах газодинамики:

<math>J^{(k)} \Delta U^{(k)} = -R(U^{(k)})</math>

где <math>J^{(k)}</math> — матрица Якоби, <math>\Delta U^{(k)}</math> — поправка к решению, <math>R</math> — вектор невязки.

=== Математическое описание алгоритма ===
'''Исходные данные:''' несимметричная матрица <math>A \in \mathbb{R}^{N \times N}</math>, вектор правой части <math>b \in \mathbb{R}^N</math>, начальное приближение <math>x_0</math>, параметры останова <math>\epsilon</math>, <math>max\_iter</math>, параметр перезапуска <math>\theta \in (0,1)</math>.

'''Вычисляемые данные:''' вектор решения <math>x \in \mathbb{R}^N</math>, история невязок <math>\{r_k\}</math>.

==== Основные формулы метода: ====
'''Инициализация:'''
<math>
\begin{align}
r_0 &= b - A x_0 \\
\tilde{r} &= r_0 \\
\rho_0 &= \alpha_0 = \omega_0 = 1 \\
v_0 &= p_0 = 0 \\
k &= 0
\end{align}
</math>

'''Основной итерационный процесс:'''
Для <math>k = 0, 1, 2, \dots, max\_iter</math>:
<math>
\begin{align}
\rho_k &= (\tilde{r}, r_k) \\
\beta_k &= (\rho_k / \rho_{k-1}) \times (\alpha_{k-1} / \omega_{k-1}) \\
p_k &= r_k + \beta_k \times (p_{k-1} - \omega_{k-1} v_{k-1}) \\
v_k &= A p_k \\
\alpha_k &= \rho_k / (\tilde{r}, v_k) \\
s_k &= r_k - \alpha_k v_k \\
t_k &= A s_k \\
\omega_k &= (t_k, s_k) / (t_k, t_k) \\
x_{k+1} &= x_k + \alpha_k p_k + \omega_k s_k \\
r_{k+1} &= s_k - \omega_k t_k
\end{align}
</math>

==== Критерий адаптивного перезапуска: ====
'''Мониторинг сходимости:'''
<math>
\begin{align}
\gamma_k &= \frac{\|r_{k+1}\|}{\|r_k\|} \quad \text{– текущая скорость сходимости} \\
\overline{\gamma}_k &= \frac{1}{m} \sum_{i=k-m}^{k-1} \gamma_i \quad \text{– средняя скорость сходимости за } m \text{ итераций}
\end{align}
</math>

'''Условие перезапуска:'''
Если <math>\gamma_k > \theta \cdot \overline{\gamma}_k</math>, то:
<math>
\begin{align}
x_0 &:= x_{k+1} \\
r_0 &:= r_{k+1} \\
\tilde{r} &:= r_{k+1} \\
\rho_0 &= \alpha_0 = \omega_0 = 1 \\
v_0 &= p_0 = 0 \\
k &= 0 \quad \text{(сброс счетчика)}
\end{align}
</math>

'''Критерий останова:'''
<math>\text{Если } \|r_{k+1}\| < \epsilon \cdot \|b\| \text{ или } k > max\_iter \text{, то останов}</math>
= Литература =
* Henk A. vander Vorst. ''Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems''. — Cambridge University Press, 2003. — 230 p.

* Горбаченко В.И. ''Вычислительная линейная алгебра с примерами на MATLAB''. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 320 с. — (Учебное пособие).
* Пузикова В. В. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом BiCGStab с предобусловливанием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". — 2011. — С. 124-133. — ISSN 1812-3368.
* Стонякин Ф. С. Адаптивные градиентные методы для некоторых классов задач негладкой оптимизации // Труды МФТИ. — 2020. — Т. 12, № 45. — С. 112-136.

User:Daria Maksimova

2025-11-04T20:38:40Z

Daria Maksimova:

= Свойства и структура алгоритма=

=== Общее описание алгоритма ===
'''Стабилизированный метод бисопряженных градиентов с адаптивным перезапуском''' ({{lang-en|Adaptive Restart BiCGStab}}) представляет собой модификацию классического алгоритма BiCGStab, разработанного Хенком ван дер Ворстом в 1992 году. Модификация была предложена для преодоления характерных проблем исходного метода — замедления сходимости и осцилляций невязки на поздних итерациях, особенно актуальных при решении систем с плохо обусловленными матрицами.

Алгоритм сочетает в себе скорость базового метода BiCGStab с интеллектуальным механизмом перезапуска, который автоматически отслеживает динамику сходимости и выполняет перезапуск вычислительного процесса при обнаружении значительного замедления. Это позволяет "встряхнуть" процесс сходимости и избежать застоя, характерного для многих итерационных методов Крылова.

Метод находит успешное применение в задачах вычислительной газодинамики, электродинамики и других областях, где возникают большие разреженные несимметричные системы линейных уравнений. В частности, для решения систем, образующихся при линеаризации уравнений Эйлера в трехмерных задачах газодинамики:

<math>J^{(k)} \Delta U^{(k)} = -R(U^{(k)})</math>

где <math>J^{(k)}</math> — матрица Якоби, <math>\Delta U^{(k)}</math> — поправка к решению, <math>R</math> — вектор невязки.

=== Математическое описание алгоритма ===
'''Исходные данные:''' несимметричная матрица <math>A \in \mathbb{R}^{N \times N}</math>, вектор правой части <math>b \in \mathbb{R}^N</math>, начальное приближение <math>x_0</math>, параметры останова <math>\epsilon</math>, <math>max\_iter</math>, параметр перезапуска <math>\theta \in (0,1)</math>.

'''Вычисляемые данные:''' вектор решения <math>x \in \mathbb{R}^N</math>, история невязок <math>\{r_k\}</math>.

==== Основные формулы метода: ====
'''Инициализация:'''
<math>
\begin{align}
r_0 &= b - A x_0 \\
\tilde{r} &= r_0 \\
\rho_0 &= \alpha_0 = \omega_0 = 1 \\
v_0 &= p_0 = 0 \\
k &= 0
\end{align}
</math>

'''Основной итерационный процесс:'''
Для <math>k = 0, 1, 2, \dots, max\_iter</math>:
<math>
\begin{align}
\rho_k &= (\tilde{r}, r_k) \\
\beta_k &= (\rho_k / \rho_{k-1}) \times (\alpha_{k-1} / \omega_{k-1}) \\
p_k &= r_k + \beta_k \times (p_{k-1} - \omega_{k-1} v_{k-1}) \\
v_k &= A p_k \\
\alpha_k &= \rho_k / (\tilde{r}, v_k) \\
s_k &= r_k - \alpha_k v_k \\
t_k &= A s_k \\
\omega_k &= (t_k, s_k) / (t_k, t_k) \\
x_{k+1} &= x_k + \alpha_k p_k + \omega_k s_k \\
r_{k+1} &= s_k - \omega_k t_k
\end{align}
</math>

==== Критерий адаптивного перезапуска: ====
'''Мониторинг сходимости:'''
<math>
\begin{align}
\gamma_k &= \frac{\|r_{k+1}\|}{\|r_k\|} \quad \text{– текущая скорость сходимости} \\
\overline{\gamma}_k &= \frac{1}{m} \sum_{i=k-m}^{k-1} \gamma_i \quad \text{– средняя скорость сходимости за } m \text{ итераций}
\end{align}
</math>

'''Условие перезапуска:'''
Если <math>\gamma_k > \theta \cdot \overline{\gamma}_k</math>, то:
<math>
\begin{align}
x_0 &:= x_{k+1} \\
r_0 &:= r_{k+1} \\
\tilde{r} &:= r_{k+1} \\
\rho_0 &= \alpha_0 = \omega_0 = 1 \\
v_0 &= p_0 = 0 \\
k &= 0 \quad \text{(сброс счетчика)}
\end{align}
</math>

'''Критерий останова:'''
<math>\text{Если } \|r_{k+1}\| < \epsilon \cdot \|b\| \text{ или } k > max\_iter \text{, то останов}</math>
== Литература ==
* Henk A. vander Vorst. ''Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems''. — Cambridge University Press, 2003. — 230 p.

* Горбаченко В.И. ''Вычислительная линейная алгебра с примерами на MATLAB''. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 320 с. — (Учебное пособие).

User:Daria Maksimova

2025-11-04T20:33:43Z

Daria Maksimova:

User:Daria Maksimova

2025-11-04T20:12:46Z

Daria Maksimova: Created page with "=1 Свойства и структура алгоритма= === 1.1 Общее описание алгоритма === '''Стабилизированный метод би..."

=1 Свойства и структура алгоритма=

=== 1.1 Общее описание алгоритма ===
'''Стабилизированный метод бисопряженных градиентов с адаптивным перезапуском''' ({{lang-en|Adaptive Restart BiCGStab}}) представляет собой модификацию классического алгоритма BiCGStab, разработанного Хенком ван дер Ворстом в 1992 году. Модификация была предложена для преодоления характерных проблем исходного метода — замедления сходимости и осцилляций невязки на поздних итерациях, особенно актуальных при решении систем с плохо обусловленными матрицами.

Алгоритм сочетает в себе скорость базового метода BiCGStab с интеллектуальным механизмом перезапуска, который автоматически отслеживает динамику сходимости и выполняет перезапуск вычислительного процесса при обнаружении значительного замедления. Это позволяет "встряхнуть" процесс сходимости и избежать застоя, характерного для многих итерационных методов Крылова.

Метод находит успешное применение в задачах вычислительной газодинамики, электродинамики и других областях, где возникают большие разреженные несимметричные системы линейных уравнений. В частности, для решения систем, образующихся при линеаризации уравнений Эйлера в трехмерных задачах газодинамики:

<math>J^{(k)} \Delta U^{(k)} = -R(U^{(k)})</math>

где <math>J^{(k)}</math> — матрица Якоби, <math>\Delta U^{(k)}</math> — поправка к решению, <math>R</math> — вектор невязки.

=== 1.2 Математическое описание алгоритма ===
'''Исходные данные:''' несимметричная матрица <math>A \in \mathbb{R}^{N \times N}</math>, вектор правой части <math>b \in \mathbb{R}^N</math>, начальное приближение <math>x_0</math>, параметры останова <math>\epsilon</math>, <math>max\_iter</math>, параметр перезапуска <math>\theta \in (0,1)</math>.

'''Вычисляемые данные:''' вектор решения <math>x \in \mathbb{R}^N</math>, история невязок <math>\{r_k\}</math>.

==== Основные формулы метода: ====
'''Инициализация:'''
<math>
\begin{align}
r_0 &= b - A x_0 \\
\tilde{r} &= r_0 \\
\rho_0 &= \alpha_0 = \omega_0 = 1 \\
v_0 &= p_0 = 0 \\
k &= 0
\end{align}
</math>

'''Основной итерационный процесс:'''
Для <math>k = 0, 1, 2, \dots, max\_iter</math>:
<math>
\begin{align}
\rho_k &= (\tilde{r}, r_k) \\
\beta_k &= (\rho_k / \rho_{k-1}) \times (\alpha_{k-1} / \omega_{k-1}) \\
p_k &= r_k + \beta_k \times (p_{k-1} - \omega_{k-1} v_{k-1}) \\
v_k &= A p_k \\
\alpha_k &= \rho_k / (\tilde{r}, v_k) \\
s_k &= r_k - \alpha_k v_k \\
t_k &= A s_k \\
\omega_k &= (t_k, s_k) / (t_k, t_k) \\
x_{k+1} &= x_k + \alpha_k p_k + \omega_k s_k \\
r_{k+1} &= s_k - \omega_k t_k
\end{align}
</math>

==== Критерий адаптивного перезапуска: ====
'''Мониторинг сходимости:'''
<math>
\begin{align}
\gamma_k &= \frac{\|r_{k+1}\|}{\|r_k\|} \quad \text{– текущая скорость сходимости} \\
\overline{\gamma}_k &= \frac{1}{m} \sum_{i=k-m}^{k-1} \gamma_i \quad \text{– средняя скорость сходимости за } m \text{ итераций}
\end{align}
</math>

'''Условие перезапуска:'''
Если <math>\gamma_k > \theta \cdot \overline{\gamma}_k</math>, то:
<math>
\begin{align}
x_0 &:= x_{k+1} \\
r_0 &:= r_{k+1} \\
\tilde{r} &:= r_{k+1} \\
\rho_0 &= \alpha_0 = \omega_0 = 1 \\
v_0 &= p_0 = 0 \\
k &= 0 \quad \text{(сброс счетчика)}
\end{align}
</math>

'''Критерий останова:'''
<math>\text{Если } \|r_{k+1}\| < \epsilon \cdot \|b\| \text{ или } k > max\_iter \text{, то останов}</math>