AlgowikiPool - User contributions [en]

Метод релаксации матрицы

2025-11-04T21:35:09Z

Ovsienko Olesya: /* Математическая постановка задачи релаксации матрицы */

== Математическая постановка метода релаксации матрицы ==

Требуется численно решить краевую задачу для уравнения Лапласа на прямоугольной области:

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad (x,y) \in \Omega = [0,1] \times [0,1]</math>

с граничными условиями Дирихле:

<math>u(x,y) = g(x,y), \quad (x,y) \in \partial\Omega,</math>

где <math>\partial\Omega</math> — граница области.

==== Дискретизация задачи ====

Вводится равномерная сетка с шагом <math>h = \frac{1}{N-1}</math>:

<math>x_i = i \cdot h, \quad y_j = j \cdot h, \quad i,j = 0, 1, \dots, N-1.</math>

Аппроксимируя вторые производные конечными разностями, получаем дискретный аналог уравнения Лапласа для внутренних узлов сетки:

<math>\frac{u_{i-1,j} - 2u_{i,j} + u_{i+1,j}}{h^2} + \frac{u_{i,j-1} - 2u_{i,j} + u_{i,j+1}}{h^2} = 0,</math>

что после преобразования даёт:

<math>u_{i,j} = \frac{u_{i-1,j} + u_{i+1,j} + u_{i,j-1} + u_{i,j+1}}{4}.</math>

==== Итерационный метод решения ====

Для решения полученной системы линейных уравнений используется метод Якоби (релаксации). На каждой итерации <math>k</math> новые значения вычисляются как:

<math>u_{i,j}^{(k)} = \frac{u_{i-1,j}^{(k-1)} + u_{i+1,j}^{(k-1)} + u_{i,j-1}^{(k-1)} + u_{i,j+1}^{(k-1)}}{4},</math>

где <math>i,j = 1, 2, \dots, N-2</math> — индексы внутренних узлов.

==== Критерий остановки ====

Итерационный процесс прекращается, когда максимальное изменение между итерациями становится меньше заданной точности:

<math>\max_{i,j} |u_{i,j}^{(k)} - u_{i,j}^{(k-1)}| < \varepsilon_{\text{max}}.</math>

==== Начальные и граничные условия ====

В конкретной реализации:
* Граничные условия: <math>u_{0,j} = u_{N-1,j} = u_{i,0} = u_{i,N-1} = 0</math>
* Начальное приближение для внутренних точек: <math>u_{i,j}^{(0)} = 1 + i + j</math>

==== Контроль корректности ====

Для верификации результата вычисляется контрольная сумма:

<math>S = \frac{1}{N^2} \sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{N-1} u_{i,j} \cdot (j+1) \cdot (i+1),</math>

которая должна совпадать для всех корректных реализаций алгоритма.

[[Категория:Численные методы]]

[[Категория:Методы решения уравнений в частных производных]]

Метод релаксации матрицы

2025-11-04T21:01:13Z

Ovsienko Olesya:

== Математическая постановка задачи релаксации матрицы ==

Требуется численно решить краевую задачу для уравнения Лапласа на прямоугольной области:

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad (x,y) \in \Omega = [0,1] \times [0,1]</math>

с граничными условиями Дирихле:

<math>u(x,y) = g(x,y), \quad (x,y) \in \partial\Omega,</math>

где <math>\partial\Omega</math> — граница области.

==== Дискретизация задачи ====

Вводится равномерная сетка с шагом <math>h = \frac{1}{N-1}</math>:

<math>x_i = i \cdot h, \quad y_j = j \cdot h, \quad i,j = 0, 1, \dots, N-1.</math>

Аппроксимируя вторые производные конечными разностями, получаем дискретный аналог уравнения Лапласа для внутренних узлов сетки:

<math>\frac{u_{i-1,j} - 2u_{i,j} + u_{i+1,j}}{h^2} + \frac{u_{i,j-1} - 2u_{i,j} + u_{i,j+1}}{h^2} = 0,</math>

что после преобразования даёт:

<math>u_{i,j} = \frac{u_{i-1,j} + u_{i+1,j} + u_{i,j-1} + u_{i,j+1}}{4}.</math>

==== Итерационный метод решения ====

Для решения полученной системы линейных уравнений используется метод Якоби (релаксации). На каждой итерации <math>k</math> новые значения вычисляются как:

<math>u_{i,j}^{(k)} = \frac{u_{i-1,j}^{(k-1)} + u_{i+1,j}^{(k-1)} + u_{i,j-1}^{(k-1)} + u_{i,j+1}^{(k-1)}}{4},</math>

где <math>i,j = 1, 2, \dots, N-2</math> — индексы внутренних узлов.

==== Критерий остановки ====

Итерационный процесс прекращается, когда максимальное изменение между итерациями становится меньше заданной точности:

<math>\max_{i,j} |u_{i,j}^{(k)} - u_{i,j}^{(k-1)}| < \varepsilon_{\text{max}}.</math>

==== Начальные и граничные условия ====

В конкретной реализации:
* Граничные условия: <math>u_{0,j} = u_{N-1,j} = u_{i,0} = u_{i,N-1} = 0</math>
* Начальное приближение для внутренних точек: <math>u_{i,j}^{(0)} = 1 + i + j</math>

==== Контроль корректности ====

Для верификации результата вычисляется контрольная сумма:

<math>S = \frac{1}{N^2} \sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{N-1} u_{i,j} \cdot (j+1) \cdot (i+1),</math>

которая должна совпадать для всех корректных реализаций алгоритма.

[[Категория:Численные методы]]

[[Категория:Методы решения уравнений в частных производных]]

Метод релаксации матрицы

2025-11-04T20:37:38Z

Ovsienko Olesya: Created page with "== Математическая постановка задачи релаксации матрицы == ''417 группа, ММП ВМК МГУ''<br> ''Овсиенко Ол..."

== Математическая постановка задачи релаксации матрицы ==
''417 группа, ММП ВМК МГУ''<br>
''Овсиенко Олеся Павловна''<br>
''Ноябрь 2025''

=== Постановка исходной задачи ===

Требуется численно решить краевую задачу для уравнения Лапласа на прямоугольной области:

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad (x,y) \in \Omega = [0,1] \times [0,1]</math>

с граничными условиями Дирихле:

<math>u(x,y) = g(x,y), \quad (x,y) \in \partial\Omega,</math>

где <math>\partial\Omega</math> — граница области.

==== Дискретизация задачи ====

Вводится равномерная сетка с шагом <math>h = \frac{1}{N-1}</math>:

<math>x_i = i \cdot h, \quad y_j = j \cdot h, \quad i,j = 0, 1, \dots, N-1.</math>

Аппроксимируя вторые производные конечными разностями, получаем дискретный аналог уравнения Лапласа для внутренних узлов сетки:

<math>\frac{u_{i-1,j} - 2u_{i,j} + u_{i+1,j}}{h^2} + \frac{u_{i,j-1} - 2u_{i,j} + u_{i,j+1}}{h^2} = 0,</math>

что после преобразования даёт:

<math>u_{i,j} = \frac{u_{i-1,j} + u_{i+1,j} + u_{i,j-1} + u_{i,j+1}}{4}.</math>

==== Итерационный метод решения ====

Для решения полученной системы линейных уравнений используется метод Якоби (релаксации). На каждой итерации <math>k</math> новые значения вычисляются как:

<math>u_{i,j}^{(k)} = \frac{u_{i-1,j}^{(k-1)} + u_{i+1,j}^{(k-1)} + u_{i,j-1}^{(k-1)} + u_{i,j+1}^{(k-1)}}{4},</math>

где <math>i,j = 1, 2, \dots, N-2</math> — индексы внутренних узлов.

==== Критерий остановки ====

Итерационный процесс прекращается, когда максимальное изменение между итерациями становится меньше заданной точности:

<math>\max_{i,j} |u_{i,j}^{(k)} - u_{i,j}^{(k-1)}| < \varepsilon_{\text{max}}.</math>

==== Начальные и граничные условия ====

В конкретной реализации:
* Граничные условия: <math>u_{0,j} = u_{N-1,j} = u_{i,0} = u_{i,N-1} = 0</math>
* Начальное приближение для внутренних точек: <math>u_{i,j}^{(0)} = 1 + i + j</math>

==== Контроль корректности ====

Для верификации результата вычисляется контрольная сумма:

<math>S = \frac{1}{N^2} \sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{N-1} u_{i,j} \cdot (j+1) \cdot (i+1),</math>

которая должна совпадать для всех корректных реализаций алгоритма.

[[Категория:Численные методы]]
[[Категория:Методы решения уравнений в частных производных]]

File:Математическая постановка задачи релаксации матрицы.png

2025-11-03T10:48:10Z

Ovsienko Olesya: