Алговики - Вклад [ru]

Участник:Коростелец

2017-10-24T01:47:54Z

Коростелец: /* Математическое описание алгоритма */

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===
Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений

<math>Ay=f</math>

где А - квадратная невырожденная матрица порядка ''m, у'' - искомый вектор размерности ''m, f'' - заданный вектор той же размерности

Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения такой системы вида

<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H,</math>

а так же аналогичный двушаговый метод

<math> B \frac{y_{n+1}-y_n+(1-\alpha_{n+1})(y_n-y_{n-1})}{\alpha_{n+1}\tau_{n+1}}+Ay_n=f,
\frac{y_{1}-y_0}{\tau_{1}}+Ay_0=f; n=1,...; y_0\in H</math>
Целью алгоритма является решение такой системы.

===Математическое описание алгоритма===

В описанном методе невырожденная матрица B не зависит от номера итерации n, решение y системы и последовательные приближения y_n - элементы линейного пространства H размерности m, в котором определены скалярное произведение и норма
<math>||y||=\sqrt{(y,y)}</math>

Можно выразить
<math>

\begin{equation}
y_{n+1}=y_n -\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)
\end{equation}
</math>

Тогда для нахождения
<math>y_{n+1}</math>
необходимо определить
<math>\tau_{n+1}</math>

Пусть
<math>z_n=y_n-y</math>
- погрешность на n-ой итерации. Выразив
<math>y_{n+1}</math>
и
<math>y_n</math>

через погрешность, можно получить

<math>B\frac{z_{n+1}+y-z_n-y}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f

B\frac{z_{n+1}-z_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f</math>

отсюда

<math>z_{n+1}=z_n-\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)=(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n</math>

Пусть D - произвольная матрица, удовлетворяющая условиям

<math>D^T=D>0.</math>
Выбор итерационных параметров
<math>\tau_{n+1}</math>
можно сделать на основе минимизации энергитической нормы
<math>||z_{n+1}||_D.</math>
Такой способ построения итерационного процесса называется локальной минимизацией.

Обозначив
<math>
\begin{equation}
w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}
\end{equation}
</math>
получим

<math>||z_{n+1}||_D=\sqrt{(Dz_{n+1},z_{n+1})}=\sqrt{(D^{1/2}z_{n+1},D^{1/2}z_{n+1})}=||w_{n+1}||</math>

Значит минимизация
<math>||z_{n+1}||_D</math>
эквивалентна минимизации
<math>||w_{n+1}||</math>

Выразим

<math>w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n=</math>

<math>=(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n</math>,

где
<math>
\begin{equation}
C=D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2}
\end{equation}
</math>

- невырожденная матрица.

Пусть
<math>w_0\neq 0,</math>
иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда

<math>||w_{n+1}||^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=</math>
<math>=||w_n||^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=</math>
<math>=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=</math>
<math>=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>

Это значит, что минимальное значение
<math>||w_{n+1}||</math>
достигается при

<math>\tau_{n+1}=\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)},</math>
где
<math>\tau_{n+1}>0,</math>
если C>0

В дальнейшем предполагаем условие C>0 выполненным.

<math>\tau_{n+1}=\frac{(DB^{-1}Az_n,z_n)}{(DB^{-1}Aw_n,B^{-1}Aw_n)}</math>

Где
<math>v_n=B^{-1}(Ay_n-f)</math>
- поправка,
<math>r_n=(Ay_n-f)</math>
-невязка на n-ой итерации.

Значит
<math>
\begin{equation}
\tau_{n+1}=\frac{(Dv_n,z_n)}{(Dv_n,v_n)}
\end{equation}

</math>

==Программная реализация алгоритма ==

==Литература==
Абакумов М.В., Гулин А.В. Лекции по численным методам математической физики: Учеб. пособие. - М.:ИНФРА-М,2013

Участник:Коростелец

2017-10-24T01:47:18Z

Коростелец: /* Математическое описание алгоритма */

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===
Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений

<math>Ay=f</math>

где А - квадратная невырожденная матрица порядка ''m, у'' - искомый вектор размерности ''m, f'' - заданный вектор той же размерности

Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения такой системы вида

<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H,</math>

а так же аналогичный двушаговый метод

<math> B \frac{y_{n+1}-y_n+(1-\alpha_{n+1})(y_n-y_{n-1})}{\alpha_{n+1}\tau_{n+1}}+Ay_n=f,
\frac{y_{1}-y_0}{\tau_{1}}+Ay_0=f; n=1,...; y_0\in H</math>
Целью алгоритма является решение такой системы.

===Математическое описание алгоритма===

В описанном методе невырожденная матрица B не зависит от номера итерации n, решение y системы и последовательные приближения y_n - элементы линейного пространства H размерности m, в котором определены скалярное произведение и норма
<math>||y||=\sqrt{(y,y)}</math>

Можно выразить
<math>

\begin{equation}
y_{n+1}=y_n -\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)
\end{equation}
</math>

Тогда для нахождения
<math>y_{n+1}</math>
необходимо определить
<math>\tau_{n+1}</math>

Пусть
<math>z_n=y_n-y</math>
- погрешность на n-ой итерации. Выразив
<math>y_{n+1}</math>
и
<math>y_n</math>

через погрешность, можно получить

<math>B\frac{z_{n+1}+y-z_n-y}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f

B\frac{z_{n+1}-z_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f</math>

отсюда

<math>z_{n+1}=z_n-\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)=(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n</math>

Пусть D - произвольная матрица, удовлетворяющая условиям

<math>D^T=D>0.</math>
Выбор итерационных параметров
<math>\tau_{n+1}</math>
можно сделать на основе минимизации энергитической нормы
<math>||z_{n+1}||_D.</math>
Такой способ построения итерационного процесса называется локальной минимизацией.

Обозначив
<math>
\begin{equation}
w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}
\end{equation}
</math>
получим

<math>||z_{n+1}||_D=\sqrt{(Dz_{n+1},z_{n+1})}=\sqrt{(D^{1/2}z_{n+1},D^{1/2}z_{n+1})}=||w_{n+1}||</math>

Значит минимизация
<math>||z_{n+1}||_D</math>
эквивалентна минимизации
<math>||w_{n+1}||</math>

Выразим

<math>w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n=</math>

<math>=(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n</math>,

где
<math>
\begin{equation}
C=D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2}
\end{equation}
</math>

- невырожденная матрица.

Пусть
<math>w_0\neq 0,</math>
иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда

<math>||w_{n+1}||^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=</math>
<math>=||w_n||^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=/<math>
<math>=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=</math>
<math>=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>

Это значит, что минимальное значение
<math>||w_{n+1}||</math>
достигается при

<math>\tau_{n+1}=\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)},</math>
где
<math>\tau_{n+1}>0,</math>
если C>0

В дальнейшем предполагаем условие C>0 выполненным.

<math>\tau_{n+1}=\frac{(DB^{-1}Az_n,z_n)}{(DB^{-1}Aw_n,B^{-1}Aw_n)}</math>

Где
<math>v_n=B^{-1}(Ay_n-f)</math>
- поправка,
<math>r_n=(Ay_n-f)</math>
-невязка на n-ой итерации.

Значит
<math>
\begin{equation}
\tau_{n+1}=\frac{(Dv_n,z_n)}{(Dv_n,v_n)}
\end{equation}

</math>

==Программная реализация алгоритма ==

==Литература==
Абакумов М.В., Гулин А.В. Лекции по численным методам математической физики: Учеб. пособие. - М.:ИНФРА-М,2013

Участник:Коростелец

2017-10-24T01:38:49Z

Коростелец: /* Литература */

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===
Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений

<math>Ay=f</math>

где А - квадратная невырожденная матрица порядка ''m, у'' - искомый вектор размерности ''m, f'' - заданный вектор той же размерности

Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения такой системы вида

<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H,</math>

а так же аналогичный двушаговый метод

<math> B \frac{y_{n+1}-y_n+(1-\alpha_{n+1})(y_n-y_{n-1})}{\alpha_{n+1}\tau_{n+1}}+Ay_n=f,
\frac{y_{1}-y_0}{\tau_{1}}+Ay_0=f; n=1,...; y_0\in H</math>
Целью алгоритма является решение такой системы.

===Математическое описание алгоритма===

В описанном методе невырожденная матрица B не зависит от номера итерации n, решение y системы и последовательные приближения y_n - элементы линейного пространства H размерности m, в котором определены скалярное произведение и норма
<math>||y||=\sqrt{(y,y)}</math>

Можно выразить
<math>

\begin{equation}
y_{n+1}=y_n -\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)
\end{equation}
</math>

Тогда для нахождения
<math>y_{n+1}</math>
необходимо определить
<math>\tau_{n+1}</math>

Пусть
<math>z_n=y_n-y</math>
- погрешность на n-ой итерации. Выразив
<math>y_{n+1}</math>
и
<math>y_n</math>

через погрешность, можно получить

<math>B\frac{z_{n+1}+y-z_n-y}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f

B\frac{z_{n+1}-z_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f</math>

отсюда

<math>z_{n+1}=z_n-\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)=(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n</math>

Пусть D - произвольная матрица, удовлетворяющая условиям

<math>D^T=D>0.</math>
Выбор итерационных параметров
<math>\tau_{n+1}</math>
можно сделать на основе минимизации энергитической нормы
<math>||z_{n+1}||_D.</math>
Такой способ построения итерационного процесса называется локальной минимизацией.

Обозначив
<math>
\begin{equation}
w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}
\end{equation}
</math>
получим

<math>||z_{n+1}||_D=\sqrt{(Dz_{n+1},z_{n+1})}=\sqrt{(D^{1/2}z_{n+1},D^{1/2}z_{n+1})}=||w_{n+1}||</math>

Значит минимизация
<math>||z_{n+1}||_D</math>
эквивалентна минимизации
<math>||w_{n+1}||</math>

Выразим

<math>w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n=

=(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n</math>,

где
<math>
\begin{equation}
C=D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2}
\end{equation}
</math>

- невырожденная матрица.

Пусть
<math>w_0\neq 0,</math>
иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда

<math>||w_{n+1}||^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=
=||w_n||^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=
=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=
=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>

Это значит, что минимальное значение
<math>||w_{n+1}||</math>
достигается при

<math>\tau_{n+1}=\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)},</math>
где
<math>\tau_{n+1}>0,</math>
если C>0

В дальнейшем предполагаем условие C>0 выполненным.

<math>\tau_{n+1}=\frac{(DB^{-1}Az_n,z_n)}{(DB^{-1}Aw_n,B^{-1}Aw_n)}</math>

Где
<math>v_n=B^{-1}(Ay_n-f)</math>
- поправка,
<math>r_n=(Ay_n-f)</math>
-невязка на n-ой итерации.

Значит
<math>
\begin{equation}
\tau_{n+1}=\frac{(Dv_n,z_n)}{(Dv_n,v_n)}
\end{equation}

</math>

==Программная реализация алгоритма ==

==Литература==
Абакумов М.В., Гулин А.В. Лекции по численным методам математической физики: Учеб. пособие. - М.:ИНФРА-М,2013

Участник:Коростелец

2017-10-24T01:35:55Z

Коростелец: /* Математическое описание алгоритма */

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===
Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений

<math>Ay=f</math>

где А - квадратная невырожденная матрица порядка ''m, у'' - искомый вектор размерности ''m, f'' - заданный вектор той же размерности

Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения такой системы вида

<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H,</math>

а так же аналогичный двушаговый метод

<math> B \frac{y_{n+1}-y_n+(1-\alpha_{n+1})(y_n-y_{n-1})}{\alpha_{n+1}\tau_{n+1}}+Ay_n=f,
\frac{y_{1}-y_0}{\tau_{1}}+Ay_0=f; n=1,...; y_0\in H</math>
Целью алгоритма является решение такой системы.

===Математическое описание алгоритма===

В описанном методе невырожденная матрица B не зависит от номера итерации n, решение y системы и последовательные приближения y_n - элементы линейного пространства H размерности m, в котором определены скалярное произведение и норма
<math>||y||=\sqrt{(y,y)}</math>

Можно выразить
<math>

\begin{equation}
y_{n+1}=y_n -\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)
\end{equation}
</math>

Тогда для нахождения
<math>y_{n+1}</math>
необходимо определить
<math>\tau_{n+1}</math>

Пусть
<math>z_n=y_n-y</math>
- погрешность на n-ой итерации. Выразив
<math>y_{n+1}</math>
и
<math>y_n</math>

через погрешность, можно получить

<math>B\frac{z_{n+1}+y-z_n-y}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f

B\frac{z_{n+1}-z_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f</math>

отсюда

<math>z_{n+1}=z_n-\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)=(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n</math>

Пусть D - произвольная матрица, удовлетворяющая условиям

<math>D^T=D>0.</math>
Выбор итерационных параметров
<math>\tau_{n+1}</math>
можно сделать на основе минимизации энергитической нормы
<math>||z_{n+1}||_D.</math>
Такой способ построения итерационного процесса называется локальной минимизацией.

Обозначив
<math>
\begin{equation}
w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}
\end{equation}
</math>
получим

<math>||z_{n+1}||_D=\sqrt{(Dz_{n+1},z_{n+1})}=\sqrt{(D^{1/2}z_{n+1},D^{1/2}z_{n+1})}=||w_{n+1}||</math>

Значит минимизация
<math>||z_{n+1}||_D</math>
эквивалентна минимизации
<math>||w_{n+1}||</math>

Выразим

<math>w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n=

=(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n</math>,

где
<math>
\begin{equation}
C=D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2}
\end{equation}
</math>

- невырожденная матрица.

Пусть
<math>w_0\neq 0,</math>
иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда

<math>||w_{n+1}||^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=
=||w_n||^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=
=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=
=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>

Это значит, что минимальное значение
<math>||w_{n+1}||</math>
достигается при

<math>\tau_{n+1}=\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)},</math>
где
<math>\tau_{n+1}>0,</math>
если C>0

В дальнейшем предполагаем условие C>0 выполненным.

<math>\tau_{n+1}=\frac{(DB^{-1}Az_n,z_n)}{(DB^{-1}Aw_n,B^{-1}Aw_n)}</math>

Где
<math>v_n=B^{-1}(Ay_n-f)</math>
- поправка,
<math>r_n=(Ay_n-f)</math>
-невязка на n-ой итерации.

Значит
<math>
\begin{equation}
\tau_{n+1}=\frac{(Dv_n,z_n)}{(Dv_n,v_n)}
\end{equation}

</math>

==Программная реализация алгоритма ==

==Литература==

Участник:Коростелец

2017-10-24T01:32:37Z

Коростелец: /* Свойства и структура алгоритма */

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===
Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений

<math>Ay=f</math>

где А - квадратная невырожденная матрица порядка ''m, у'' - искомый вектор размерности ''m, f'' - заданный вектор той же размерности

Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения такой системы вида

<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H,</math>

а так же аналогичный двушаговый метод

<math> B \frac{y_{n+1}-y_n+(1-\alpha_{n+1})(y_n-y_{n-1})}{\alpha_{n+1}\tau_{n+1}}+Ay_n=f,
\frac{y_{1}-y_0}{\tau_{1}}+Ay_0=f; n=1,...; y_0\in H</math>
Целью алгоритма является решение такой системы.

===Математическое описание алгоритма===

В описанном методе невырожденная матрица B не зависит от номера итерации n, решение y системы и последовательные приближения y_n - элементы линейного пространства H размерности m, в котором определены скалярное произведение и норма
<math>||y||=\sqrt{(y,y)}</math>

Можно выразить
<math>

\begin{equation}
y_{n+1}=y_n -\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)
\end{equation}
</math>

Тогда для нахождения
<math>y_{n+1}</math>
необходимо определить
<math>\tau_{n+1}</math>

Пусть
<math>z_n=y_n-y</math>
- погрешность на n-ой итерации. Выразив
<math>y_{n+1}</math>
и
<math>y_n</math>
через погрешность, можно получить

<math>B\frac{z_{n+1}+y-z_n-y}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f

B\frac{z_{n+1}-z_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f</math>

отсюда

<math>z_{n+1}=z_n-\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)=(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n</math>

Пусть D - произвольная матрица, удовлетворяющая условиям

<math>D^T=D>0.</math>
Выбор итерационных параметров
<math>\tau_{n+1}</math>
можно сделать на основе минимизации энергитической нормы
<math>||z_{n+1}||_D.</math>
Такой способ построения итерационного процесса называется локальной минимизацией.

Обозначив
<math>
\begin{equation}
w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}
\end{equation}
</math>
получим

<math>||z_{n+1}||_D=\sqrt{(Dz_{n+1},z_{n+1})}=\sqrt{(D^{1/2}z_{n+1},D^{1/2}z_{n+1})}=||w_{n+1}||</math>

Значит минимизация
<math>||z_{n+1}||_D</math>
эквивалентна минимизации
<math>||w_{n+1}||</math>

Выразим

<math>w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n=

=(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n</math>,

где
<math>
\begin{equation}
C=D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2}
\end{equation}
</math>

- невырожденная матрица.

Пусть
<math>w_0\neq 0,</math>
иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда

<math>||w_{n+1}||^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=
=||w_n||^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=
=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=
=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>

Это значит, что минимальное значение
<math>||w_{n+1}||</math>
достигается при

<math>\tau_{n+1}=\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)},</math>
где
<math>\tau_{n+1}>0,</math>
если C>0

В дальнейшем предполагаем условие C>0 выполненным.

<math>\tau_{n+1}=\frac{(DB^{-1}Az_n,z_n)}{(DB^{-1}Aw_n,B^{-1}Aw_n)}</math>

Где
<math>v_n=B^{-1}(Ay_n-f)</math>
- поправка,
<math>r_n=(Ay_n-f)</math>
-невязка на n-ой итерации.

Значит
<math>
\begin{equation}
\tau_{n+1}=\frac{(Dv_n,z_n)}{(Dv_n,v_n)}
\end{equation}

</math>

==Программная реализация алгоритма ==

==Литература==

Участник:Коростелец

2017-10-24T00:50:03Z

Коростелец: /* Свойства и структура алгоритма */

Участник:Коростелец

2017-10-24T00:34:33Z

Коростелец: /* Свойства и структура алгоритма */

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

===[p xj===

Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения системы <math>Ay=f</math> вида

<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H</math>

==Программная реализация алгоритма ==

==Литература==

Участник:Коростелец

2017-10-24T00:24:02Z

Коростелец: Новая страница: «== Свойства и структура алгоритма == === Общее описание алгоритма === Рассмотрим нестациона…»

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения системы <math>Ay=f</math> вида

<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H</math>

==Программная реализация алгоритма ==

==Литература==