Алговики - Вклад [ru]

Участник:Eugeny/Алгоритм сравнения эмпирического распределения с теоретическим

2018-10-22T10:00:06Z

Eugeny: /* Общее описание алгоритма */

== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма ===
'''Теоретическая функция распределения в теории вероятностей''' — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, строго меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. 
'''Эмпирическая функция распределения''' — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события , а эмпирическая – относительную частоту этого же события.

В практической работе часто возникает необходимость определить соответствие эмпирического и теоретического распределения или двух и более эмпирических распределений между собой. Общие принципы сравнения основываются на анализе так называемой нулевой гипотезы. Согласно этой гипотезе первоначально принимается, что между эмпирическим и теоретическим распределением признака в генеральной совокупности достоверного различия нет. Статистический анализ должен привести или к отклонению нулевой гипотезы, если доказана достоверность полученных различий, или к ее сохранению, если достоверность различий не доказана, т.е. различия признаны случайными.

=== Математическое описание алгоритма ===
Процедура проверки гипотез с использованием критериев типа χ2 предусматривает группирование наблюдений. Область определения случайной величины разбивают на k непересекающихся интервалов граничными точками 
<math>x_{(0)},x_{(1)},...,x_{(k-1)},x_{(k)}</math> 
где <math>x_{(0)}</math> — нижняя грань области определения случайной величины; <math>x_{(k)}</math> — верхняя грань.
В соответствии с заданным разбиением подсчитывают число <math>n_{i}</math> выборочных значений, попавших в <math>i</math> -й интервал, и вероятности попадания в интервал 
<math>P_{i}(\theta )=F(x_{(i)},\theta )-F(x_{(i-1)},\theta ) </math>, 
соответствующие теоретическому закону с функцией распределения <math>F(x,\theta )</math>. 
При этом 
<math>n=\sum _{i=1}^{k}n_{I}</math> и <math>\sum _{i=1}^{k}P_{i}(\theta )=1</math>. 
При проверке простой гипотезы известны как вид закона <math>F(x,\theta )</math> так и все его параметры (известен скалярный или векторный параметр <math>θ</math>). 
В основе статистик, используемых в критериях согласия типа χ2, лежит измерение отклонений <math>n_{i}/n </math> от <math>P_{i}(\theta )</math>. 
Статистика критерия согласия χ2 Пирсона определяется соотношением 
<math>X_{n}^{2}=n\sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(n_{i}/n-P_{i}(\theta )\right)^{2}}{P_{i}(\theta )}}</math> 
В случае проверки простой гипотезы в пределе при <math>n\to \infty </math>эта статистика подчиняется <math>\chi _{r}^{2}</math>-распределению с <math>r=k-1</math>степенями свободы, если верна проверяемая гипотеза <math>H_{0}</math>. Плотность <math>\chi _{r}^{2}</math>-распределения, которое является частным случаем гамма-распределения, описывается формулой 
<math>g(s)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}s^{r/2-1}e^{-s/2}</math>. 
Проверяемая гипотеза <math>H_{0}</math> отклоняется при больших значениях статистики, когда вычисленное по выборке значение статистики <math>X_{n}^{2*}</math> больше критического значения <math>\chi _{r,\alpha }^{2}</math> , или достигнутый уровень значимости (p-value) 
<math>P\left(X_{n}^{2} > X_{n}^{2*}\right)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}\int _{X_{n}^{2*}}^{\infty }s^{r/2-1}e^{-s/2}ds</math> 
меньше заданного уровня значимости (заданной вероятности ошибки 1-го рода) <math>\alpha </math>.
== Программная реализация алгоритма ==

== Литература ==
1. Пагурова В.И. Моделирование экстремальных событий и смежных вопросов 
2. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи

Шаблон:Algorithm-template

2018-10-21T19:32:32Z

Eugeny: /* Общее описание алгоритма */

Основные авторы описания:

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===
МТС рулит

=== Математическое описание алгоритма ===
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
=== Макроструктура алгоритма ===
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
=== Последовательная сложность алгоритма ===
=== Информационный граф ===
=== Ресурс параллелизма алгоритма ===
=== Входные и выходные данные алгоритма ===
=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
==== Масштабируемость алгоритма ====
==== Масштабируемость реализации алгоритма ====
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

<references />

[[Категория:Начатые статьи]]

Участник:Eugeny/Алгоритм сравнения эмпирического распределения с теоретическим

2018-10-18T13:08:29Z

Eugeny: /* Свойства и структура алгоритма */

== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма ===
'''Теоретическая фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей''' — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, строго меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. 
'''Эмпири́ческая фу́нкция распределе́ния''' — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события , а эмпирическая – относительную частоту этого же события.

В практической работе часто возникает необходимость определить соответствие эмпирического и теоретического распределения или двух и более эмпирических распределений между собой. Общие принципы сравнения основываются на анализе так называемой нулевой гипотезы. Согласно этой гипотезе первоначально принимается, что между эмпирическим и теоретическим распределением признака в генеральной совокупности достоверного различия нет. Статистический анализ должен привести или к отклонению нулевой гипотезы, если доказана достоверность полученных различий, или к ее сохранению, если достоверность различий не доказана, т.е. различия признаны случайными.
=== Математическое описание алгоритма ===
Процедура проверки гипотез с использованием критериев типа χ2 предусматривает группирование наблюдений. Область определения случайной величины разбивают на k непересекающихся интервалов граничными точками 
<math>x_{(0)},x_{(1)},...,x_{(k-1)},x_{(k)}</math> 
где <math>x_{(0)}</math> — нижняя грань области определения случайной величины; <math>x_{(k)}</math> — верхняя грань.
В соответствии с заданным разбиением подсчитывают число <math>n_{i}</math> выборочных значений, попавших в <math>i</math> -й интервал, и вероятности попадания в интервал 
<math>P_{i}(\theta )=F(x_{(i)},\theta )-F(x_{(i-1)},\theta ) </math>, 
соответствующие теоретическому закону с функцией распределения <math>F(x,\theta )</math>. 
При этом 
<math>n=\sum _{i=1}^{k}n_{I}</math> и <math>\sum _{i=1}^{k}P_{i}(\theta )=1</math>. 
При проверке простой гипотезы известны как вид закона <math>F(x,\theta )</math> так и все его параметры (известен скалярный или векторный параметр <math>θ</math>). 
В основе статистик, используемых в критериях согласия типа χ2, лежит измерение отклонений <math>n_{i}/n </math> от <math>P_{i}(\theta )</math>. 
Статистика критерия согласия χ2 Пирсона определяется соотношением 
<math>X_{n}^{2}=n\sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(n_{i}/n-P_{i}(\theta )\right)^{2}}{P_{i}(\theta )}}</math> 
В случае проверки простой гипотезы в пределе при <math>n\to \infty </math>эта статистика подчиняется <math>\chi _{r}^{2}</math>-распределению с <math>r=k-1</math>степенями свободы, если верна проверяемая гипотеза <math>H_{0}</math>. Плотность <math>\chi _{r}^{2}</math>-распределения, которое является частным случаем гамма-распределения, описывается формулой 
<math>g(s)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}s^{r/2-1}e^{-s/2}</math>. 
Проверяемая гипотеза <math>H_{0}</math> отклоняется при больших значениях статистики, когда вычисленное по выборке значение статистики <math>X_{n}^{2*}</math> больше критического значения <math>\chi _{r,\alpha }^{2}</math> , или достигнутый уровень значимости (p-value) 
<math>P\left(X_{n}^{2} > X_{n}^{2*}\right)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}\int _{X_{n}^{2*}}^{\infty }s^{r/2-1}e^{-s/2}ds</math> 
меньше заданного уровня значимости (заданной вероятности ошибки 1-го рода) <math>\alpha </math>.
== Программная реализация алгоритма ==

== Литература ==
1. Пагурова В.И. Моделирование экстремальных событий и смежных вопросов 
2. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи

Участник:Eugeny/Алгоритм сравнения эмпирического распределения с теоретическим

2018-10-18T13:08:07Z

Eugeny: /* Литература */

Участник:Eugeny/Алгоритм сравнения эмпирического распределения с теоретическим

2018-10-18T13:05:24Z

Eugeny: Новая страница: «== Свойства и структура алгоритма == === Общее описание алгоритма === '''Теоретическая фу́нкц…»

== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма ===
'''Теоретическая фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей''' — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, строго меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. 
'''Эмпири́ческая фу́нкция распределе́ния''' — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события , а эмпирическая – относительную частоту этого же события.

В практической работе часто возникает необходимость определить соответствие эмпирического и теоретического распределения или двух и более эмпирических распределений между собой. Общие принципы сравнения основываются на анализе так называемой нулевой гипотезы. Согласно этой гипотезе первоначально принимается, что между эмпирическим и теоретическим распределением признака в генеральной совокупности достоверного различия нет. Статистический анализ должен привести или к отклонению нулевой гипотезы, если доказана достоверность полученных различий, или к ее сохранению, если достоверность различий не доказана, т.е. различия признаны случайными.
=== Математическое описание алгоритма ===
Процедура проверки гипотез с использованием критериев типа χ2 предусматривает группирование наблюдений. Область определения случайной величины разбивают на k непересекающихся интервалов граничными точками 
<math>x_{(0)},x_{(1)},...,x_{(k-1)},x_{(k)}</math> 
где <math>x_{(0)}</math> — нижняя грань области определения случайной величины; <math>x_{(k)}</math> — верхняя грань.
В соответствии с заданным разбиением подсчитывают число <math>n_{i}</math> выборочных значений, попавших в <math>i</math> -й интервал, и вероятности попадания в интервал 
<math>P_{i}(\theta )=F(x_{(i)},\theta )-F(x_{(i-1)},\theta ) </math>, 
соответствующие теоретическому закону с функцией распределения <math>F(x,\theta )</math>. 
При этом 
<math>n=\sum _{i=1}^{k}n_{I}</math> и <math>\sum _{i=1}^{k}P_{i}(\theta )=1</math>. 
При проверке простой гипотезы известны как вид закона <math>F(x,\theta )</math> так и все его параметры (известен скалярный или векторный параметр <math>θ</math>). 
В основе статистик, используемых в критериях согласия типа χ2, лежит измерение отклонений <math>n_{i}/n </math> от <math>P_{i}(\theta )</math>. 
Статистика критерия согласия χ2 Пирсона определяется соотношением 
<math>X_{n}^{2}=n\sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(n_{i}/n-P_{i}(\theta )\right)^{2}}{P_{i}(\theta )}}</math> 
В случае проверки простой гипотезы в пределе при <math>n\to \infty </math>эта статистика подчиняется <math>\chi _{r}^{2}</math>-распределению с <math>r=k-1</math>степенями свободы, если верна проверяемая гипотеза <math>H_{0}</math>. Плотность <math>\chi _{r}^{2}</math>-распределения, которое является частным случаем гамма-распределения, описывается формулой 
<math>g(s)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}s^{r/2-1}e^{-s/2}</math>. 
Проверяемая гипотеза <math>H_{0}</math> отклоняется при больших значениях статистики, когда вычисленное по выборке значение статистики <math>X_{n}^{2*}</math> больше критического значения <math>\chi _{r,\alpha }^{2}</math> , или достигнутый уровень значимости (p-value) 
<math>P\left(X_{n}^{2} > X_{n}^{2*}\right)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}\int _{X_{n}^{2*}}^{\infty }s^{r/2-1}e^{-s/2}ds</math> 
меньше заданного уровня значимости (заданной вероятности ошибки 1-го рода) <math>\alpha </math>.
== Литература ==
1. Пагурова В.И. Моделирование экстремальных событий и смежных вопросов 
2. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи