Алговики - Вклад [ru]

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-16T17:36:03Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{Assignment}}
{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===
Вычислительная мощность алгоритма равна суммарному объему входных и выходных данных: <math>N^2 + 1</math>.

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование проводилось на [http://cluster2.inm.ras.ru кластере ИВМ].

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации 0,016%;
* максимальная эффективность реализации 92%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессоров:
[[Файл:EQP8kY4D9E0.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 2. Масштабируемость по числу процессоров. По оси ОХ отложено количество процессоров, по оси ОУ - величина производительности для разного размера матрицы.]]
* По размеру задачи:
[[Файл:PmIAoJaqnO8.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 3. Масштабируемость по размеру задачи. По оси ОХ отложена размерность матрицы, по оси ОУ - величина производительности для разного количества процессоров]]
* По двум направлениям:
[[Файл:Khm.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 4. Масштабируемость по двум направлениям. По ОХ - количество процессоров, по ОУ - размерность матрицы, по OZ - величина производительности при изменении в двух направлениях.]]
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 5. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

[https://www.dropbox.com/s/1ga1fp26nztt65n/hadamard_2.c?dl=0 Исследованная реализация на языке C]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-16T17:30:08Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{Assignment}}
{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===
Вычислительная мощность алгоритма равна суммарному объему входных и выходных данных: <math>N^2 + 1</math>.

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование проводилось на [http://cluster2.inm.ras.ru кластере ИВМ].

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации 0,016%;
* максимальная эффективность реализации 92%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
[[Файл:EQP8kY4D9E0.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 2. Масштабируемость по числу процессов.]]
* По размеру задачи:
[[Файл:PmIAoJaqnO8.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 3. Масштабируемость по размеру задачи.]]
* По двум направлениям:
[[Файл:Khm.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 4. Масштабируемость по двум направлениям.]]
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 5. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

[https://www.dropbox.com/s/1ga1fp26nztt65n/hadamard_2.c?dl=0 Исследованная реализация на языке C]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-16T17:11:06Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{Assignment}}
{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===
Вычислительная мощность алгоритма равна суммарному объему входных и выходных данных: <math>N^2 + 1</math>.

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации 0,016%;
* максимальная эффективность реализации 92%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
[[Файл:EQP8kY4D9E0.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 2. Масштабируемость по числу процессов.]]
* По размеру задачи:
[[Файл:PmIAoJaqnO8.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 3. Масштабируемость по размеру задачи.]]
* По двум направлениям:
[[Файл:Khm.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 4. Масштабируемость по двум направлениям.]]
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 5. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

[https://www.dropbox.com/s/1ga1fp26nztt65n/hadamard_2.c?dl=0 Исследованная реализация на языке C]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-15T21:33:20Z

Katemeron:

{{Assignment}}
{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===
Вычислительная мощность алгоритма равна суммарному объему входных и выходных данных: <math>N^2 + 1</math>.

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации 0,016%;
* максимальная эффективность реализации 92%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
[[Файл:EQP8kY4D9E0.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 2. Масштабируемость по числу процессов.]]
* По размеру задачи:
[[Файл:PmIAoJaqnO8.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 3. Масштабируемость по размеру задачи.]]
* По двум направлениям:
[[Файл:Khm.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 4. Масштабируемость по двум направлениям.]]
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 5. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-15T21:19:06Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===
Вычислительная мощность алгоритма равна суммарному объему входных и выходных данных: <math>N^2 + 1</math>.

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации 0,016%;
* максимальная эффективность реализации 92%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
[[Файл:EQP8kY4D9E0.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 2. Масштабируемость по числу процессов.]]
* По размеру задачи:
[[Файл:PmIAoJaqnO8.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 3. Масштабируемость по размеру задачи.]]
* По двум направлениям:
[[Файл:Khm.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 4. Масштабируемость по двум направлениям.]]
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 5. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-15T21:17:02Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===
Вычислительная мощность алгоритма равна суммарному объему входных и выходных данных: <math>N^2 + 1</math>.

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации 0,016%;
* максимальная эффективность реализации 92%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
[[Файл:EQP8kY4D9E0.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 2. Масштабируемость по числу процессов.]]
* По размеру задачи:
[[Файл:PmIAoJaqnO8.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 3. Масштабируемость по размеру задачи.]]
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 5. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-15T19:27:42Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===
Вычислительная мощность алгоритма равна суммарному объему входных и выходных данных: <math>N^2 + 1</math>.

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации 0,016%;
* максимальная эффективность реализации 92%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 2. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:55:20Z

Katemeron: /* Свойства алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===
Вычислительная мощность алгоритма равна суммарному объему входных и выходных данных: <math>N^2 + 1</math>.

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 2. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:49:30Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 2. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:49:03Z

Katemeron: /* Информационный граф */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:47:44Z

Katemeron: /* Информационный граф */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.|thumb|center|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:42:24Z

Katemeron: /* Информационный граф */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[file:111.jpeg|border|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:41:59Z

Katemeron: /* Информационный граф */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[Файл:111.jpeg|border|500px|Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:28:33Z

Katemeron: /* Информационный граф */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

[[Файл:111.jpeg|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:17:55Z

Katemeron: /* Информационный граф */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:111.jpeg|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:16:36Z

Katemeron: /* Информационный граф */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:111.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:15:17Z

Katemeron:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math>4</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T18:12:57Z

Katemeron:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>O(m)</math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T16:54:18Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>2</math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:untitled.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T16:53:20Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>2</math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:
[[Файл:Example.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 8. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T16:50:35Z

Katemeron:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math>2</math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T16:35:13Z

Katemeron: /* Свойства алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T15:40:56Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T15:32:58Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [1:32];
* размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон [[Глоссарий#Эффективность реализации|эффективности реализации]] алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики [[Глоссарий#Производительность|производительности]] и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T13:59:54Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [] с шагом ;
* размер матрицы [].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон [[Глоссарий#Эффективность реализации|эффективности реализации]] алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики [[Глоссарий#Производительность|производительности]] и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-11-14T12:55:36Z

Katemeron: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

* число процессоров [] с шагом ;
* размер матрицы [].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон [[Глоссарий#Эффективность реализации|эффективности реализации]] алгоритма:

* минимальная эффективность реализации ;
* максимальная эффективность реализации .

На следующих рисунках приведены графики [[Глоссарий#Производительность|производительности]] и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации разложения Холецкого:
* По числу процессов:
* По размеру задачи:
* По двум направлениям:

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-31T15:34:42Z

Katemeron: /* Свойства и структура алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:53:30Z

Katemeron:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(N^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>N^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:52:37Z

Katemeron: /* Математическое описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>N</math> состоит из следующих <math>m</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:52:07Z

Katemeron: /* Вычислительное ядро алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>m</math> состоит из следующих <math>N</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара

<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:51:42Z

Katemeron: /* Математическое описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>2^m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>m</math> состоит из следующих <math>N</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара
<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:49:50Z

Katemeron: /* Общее описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_N</math> - это единичная матрица размера <math>N</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>m</math> состоит из следующих <math>N</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара
<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:47:37Z

Katemeron: /* Математическое описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_m</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>m</math> и <math>-H_m</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2m}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2m} = \begin{bmatrix}
H_m & H_m \\
H_m & -H_m
\end{bmatrix}
</math>

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть <math>m</math> и <math>N</math> связаны соотношением <math>N = 2^m</math>.

Получение матрицы порядка <math>m</math> состоит из следующих <math>N</math> шагов:

Шаг 1: <math>H_1 = (1);</math>

Шаг 2: <math>H_2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1
\\1 & -1
\end{pmatrix};
</math>

Шаг 3: <math>H_3 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
\\1 & -1 & 1 & -1
\\1 & 1 &- 1 & -1
\\1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

...

Шаг <math>m</math>: искомая матрица <math>H_m</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара
<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:35:26Z

Katemeron:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара
<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:31:09Z

Katemeron:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math></math>
| pf_width = <math></math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара
<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:30:39Z

Katemeron:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>1</math>
| pf_width = <math>n^2</math>
| input_data = <math></math>
| output_data = <math></math>
}}
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара
<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:19:56Z

Katemeron: /* Вычислительное ядро алгоритма */

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара
<math>H_{1,1} = 1</math>;

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:19:36Z

Katemeron:

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара
<math>H_{1,1} = 1</math>;
<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;
<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>;
<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:11:20Z

Katemeron: /* Вычислительное ядро алгоритма */

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений матрицы Адамара.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:09:55Z

Katemeron: /* Вычислительное ядро алгоритма */

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений.

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:08:21Z

Katemeron: /* Существующие реализации алгоритма */

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и .

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:08:04Z

Katemeron: /* Существующие реализации алгоритма */

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и .

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/ PYTHON]

Реализация WOLFRAM
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html WOLFRAM]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по [https://gist.github.com/guitarkitten/3937264 ссылке].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:07:09Z

Katemeron: /* Существующие реализации алгоритма */

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и .

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация ''MATLAB''
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB]

Реализация ''PYTHON''
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/]

Реализация ''WOLFRAM''
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке[https://gist.github.com/guitarkitten/3937264].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:02:59Z

Katemeron:

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и .

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===

Реализация ''MATLAB''
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com]

Реализация ''PYTHON''
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/]

Реализация ''WOLFRAM''
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке[https://gist.github.com/guitarkitten/3937264].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:02:07Z

Katemeron:

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и .

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===Особенности реализации последовательного алгоритма===
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===
=== Существующие реализации алгоритма===

Реализация ''MATLAB''
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com]

Реализация ''PYTHON''
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/]

Реализация ''WOLFRAM''
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке[https://gist.github.com/guitarkitten/3937264].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T13:01:05Z

Katemeron:

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

=== Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и .

=== Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

=== Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

=== Существующие реализации алгоритма===

Реализация ''MATLAB''
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com]

Реализация ''PYTHON''
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/]

Реализация ''WOLFRAM''
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке[https://gist.github.com/guitarkitten/3937264].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T12:59:34Z

Katemeron:

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
== Свойства и структура алгоритма ==
===1.1 Общее описание алгоритма===

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

===1.2 Математическое описание алгоритма ===

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

=== 1.3 Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и .

=== 1.4 Макроструктура алгоритма ===

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

===1.5 Схема реализации последовательного алгоритма===

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

===1.6 Последовательная сложность алгоритма===

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

===1.7 Информационный граф===

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

===1.8 Ресурс параллелизма алгоритма===

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

===1.9 Входные и выходные данные алгоритма===

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

===1.10 Свойства алгоритма===

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

===2.7 Существующие реализации алгоритма===

Реализация ''MATLAB''
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com]

Реализация ''PYTHON''
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/]

Реализация ''WOLFRAM''
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке[https://gist.github.com/guitarkitten/3937264].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T12:53:28Z

Katemeron: /* Программная реализация алгоритма */

== Свойства и структура алгоритма ==
'''1.1 Общее описание алгоритма'''

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

'''1.2 Математическое описание алгоритма'''

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

'''1.3 Вычислительное ядро алгоритма'''

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и .

'''1.4 Макроструктура алгоритма'''

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

'''1.5 Схема реализации последовательного алгоритма'''

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

'''1.6 Последовательная сложность алгоритма'''

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

'''1.7 Информационный граф'''

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

'''1.8 Ресурс параллелизма алгоритма'''

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

'''1.9 Входные и выходные данные алгоритма'''

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

'''1.10 Свойства алгоритма'''

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

'''2.7 Существующие реализации алгоритма'''

Реализация ''MATLAB''
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com]

Реализация ''PYTHON''
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/]

Реализация ''WOLFRAM''
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке[https://gist.github.com/guitarkitten/3937264].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T12:53:06Z

Katemeron: /* Программная реализация алгоритма */

Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

2016-10-28T12:52:47Z

Katemeron: /* Программная реализация алгоритма */

== Свойства и структура алгоритма ==
'''1.1 Общее описание алгоритма'''

Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

<math>H*H^T = N*E_N</math>,

где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

'''1.2 Математическое описание алгоритма'''

Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом:
<math>H_{2N} = \begin{bmatrix}
H_N & H_N \\
H_N & -H_N
\end{bmatrix}
</math>

'''1.3 Вычислительное ядро алгоритма'''

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и .

'''1.4 Макроструктура алгоритма'''

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

'''1.5 Схема реализации последовательного алгоритма'''

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы <math>H</math>

<math>H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}</math>, где <math>i = 1..\frac{N}{2}</math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>;

затем левый нижний блок

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N</math>, <math>j = 1.. \frac{N}{2}</math>.

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

<math>H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}</math>, где <math>i = \frac{N}{2}+1..N </math>, <math>j = \frac{N}{2}+1..N</math>.

'''1.6 Последовательная сложность алгоритма'''

Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.

'''1.7 Информационный граф'''

Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.

[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]

'''1.8 Ресурс параллелизма алгоритма'''

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

'''1.9 Входные и выходные данные алгоритма'''

Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером <math>N\times N</math>.

Объем выходных данных: <math> N^2</math>.

'''1.10 Свойства алгоритма'''

Алгоритм полностью детерминирован.

== Программная реализация алгоритма ==

'''2.7 Существующие реализации алгоритма'''

Реализация ''MATLAB''
[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com]

Реализация '''PYTHON'''
[http://pydoc.net/Python/rogues/0.3.0/rogues.matrices.hadamard/]

Реализация '''WOLFRAM'''
[https://reference.wolfram.com/language/ref/HadamardMatrix.html]

На языке ''Java'' реализован класс ''Hadamard'' не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке[https://gist.github.com/guitarkitten/3937264].

== Литература ==
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)