Алговики - Вклад [ru]

Участник:Pyatakovns/Ро-алгоритм Полларда

2020-10-15T11:49:14Z

Pyatakovns:

Автор: Пятаков Н.С. 419 группа

== Свойства и структура алгоритмов ==
=== Общее описание алгоритма ===
'''Ро-алгоритм Полларда'''<ref>Pollard J. M. A Monte Carlo method for factorization // BIT. 1975. V. 15. P. 331—334.</ref> предназначен для решения задачи факторизации целых чисел. Этот метод был разработан Джоном Поллардом в 1975 г. Данный алгоритм основывается на следствиях из парадокса дней рождения и алгоритме Флойда поиска длины цикла в последовательности. Алгоритм наиболее эффективен при факторизации составных чисел с достаточно малыми множителями в разложении. Сложность алгоритма оценивается как <math>O(N^{1/4})</math>.

Ро-алгоритм Полларда строит числовую последовательность, элементы которой образуют цикл, начиная с некоторого номера n, что может быть проиллюстрировано, расположением чисел в виде греческой буквы <math>ρ</math>, что послужило названием семейству алгоритмов.

=== Математическое описание алгоритма ===
Пусть n – число, которое следует разложить. ρ-метод Полларда работает следующим образом: <ref>Ишмухаметов Ш. Т. Методы факторизации натуральных чисел: Учебное пособие / Захаров В.М.. — Казань: Казанский Университет, 2011. — С. 61—64. — 190 с</ref><ref>Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. — М.: МЦНМО, 2003. — 328 с.</ref>

1. Выбираем произвольное небольшое число <math>x_0</math> и строим последовательность чисел <math>{x_n}, n = 0, 1, 2, ...,</math> определяя каждое следующее <math>x_{n+1}</math> по формуле <math>x_{n+1} =(x_{n}^2 −1)(modn)</math>.

2. Одновременно на каждом шаге <math>i</math> вычисляем <math>Н.О.Д.</math> <math>d</math> числа <math>n</math> и всевозможных разностей <math>|x_i − x_j|</math>, где <math>j < i</math>.

3. Когда будет найден <math>d</math> <math>=</math> <math>Н.О.Д.(n, |x_i−x_j|)</math>, отличный от <math>1</math>, вычисление заканчивается. Найденное <math>d</math> является делителем <math>n</math>. Если <math>n/d</math> не является простым числом, то процедуру можно продолжить, взяв вместо <math>n</math> число <math>n/d</math>.

Вместо функции <math>F (x) = (x^2 − 1) (mod n)</math> в вычислении <math>x_n+1</math> можно взять другой многочлен, например, <math>x^2 + 1</math> или произвольный многочлен степени большей или равной двум.

Недостатком данного варианта метода является необходимость хранить большое число предыдущих значений <math>x_j</math> . Если <math>(x_j −x_i)≡0(modp)</math>, то<math>(f(x_j)−f(x_i))≡0(modp)</math>, поэтому, если пара <math>(x_i, x_j)</math> дает нам решение, то решение даст любая пара <math>(x_{i+k}, x_{j+k})</math>.

Поэтому, нет необходимости проверять все пары <math>(x_i, x_j)</math>, а можно ограничиться парами виды <math>(x_i, x_j)</math>, где <math>j = 2k</math> , и <math>k</math> пробегает набор последовательных значений <math>1, 2, 3,...,</math> а <math>i</math> принимает значения из интервала <math>[2^k + 1; 2^{k+1}]</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==
<references />

[[en:Description of algorithm properties and structure]]

Участник:Pyatakovns/Ро-алгоритм Полларда

2020-10-12T15:01:20Z

Pyatakovns:

Автор: Пятаков Н.С. 419 группа

== Свойства и структура алгоритмов ==
=== Общее описание алгоритма ===
'''Ро-алгоритм Полларда'''<ref>Pollard J. M. A Monte Carlo method for factorization // BIT. 1975. V. 15. P. 331—334.</ref> предназначен для решения задачи факторизации целых чисел. Этот метод был разработан Джоном Поллардом в 1975 г. Данный алгоритм основывается на следствиях из парадокса дней рождения и алгоритме Флойда поиска длины цикла в последовательности.

=== Математическое описание алгоритма ===
Пусть n – число, которое следует разложить. ρ-метод Полларда работает следующим образом:

1. Выбираем произвольное небольшое число <math>x_0</math> и строим последовательность чисел <math>{x_n}, n = 0, 1, 2, ...,</math> определяя каждое следующее <math>x_{n+1}</math> по формуле <math>x_{n+1} =(x_{n}^2 −1)(modn)</math>.

2. Одновременно на каждом шаге <math>i</math> вычисляем <math>Н.О.Д.</math> <math>d</math> числа <math>n</math> и всевозможных разностей <math>|x_i − x_j|</math>, где <math>j < i</math>.

3. Когда будет найден <math>d</math> <math>=</math> <math>Н.О.Д.(n, |x_i−x_j|)</math>, отличный от <math>1</math>, вычисление заканчивается. Найденное <math>d</math> является делителем <math>n</math>. Если <math>n/d</math> не является простым числом, то процедуру можно продолжить, взяв вместо <math>n</math> число <math>n/d</math>.

Вместо функции <math>F (x) = (x^2 − 1) (mod n)</math> в вычислении <math>x_n+1</math> можно взять другой многочлен, например, <math>x^2 + 1</math> или произвольный многочлен степени большей или равной двум.

Недостатком данного варианта метода является необходимость хранить большое число предыдущих значений <math>x_j</math> . Если <math>(x_j −x_i)≡0(modp)</math>, то<math>(f(x_j)−f(x_i))≡0(modp)</math>, поэтому, если пара <math>(x_i, x_j)</math> дает нам решение, то решение даст любая пара <math>(x_{i+k}, x_{j+k})</math>.

Поэтому, нет необходимости проверять все пары <math>(x_i, x_j)</math>, а можно ограничиться парами виды <math>(x_i, x_j)</math>, где <math>j = 2k</math> , и <math>k</math> пробегает набор последовательных значений <math>1, 2, 3,...,</math> а <math>i</math> принимает значения из интервала <math>[2^k + 1; 2^{k+1}]</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==
<references />

[[en:Description of algorithm properties and structure]]

Участник:Pyatakovns/Ро-алгоритм Полларда

2020-10-12T13:59:38Z

Pyatakovns: Новая страница: «Автор: Пятаков Н.С. 419 группа == Свойства и структура алгоритмов == === Общее описание алгор...»