Алговики - Вклад [ru]

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-12-04T20:20:36Z

S s serov: /* Информационный граф */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Макроструктура алгоритма выглядит следующим образом:

# Чтение входных параметров: количества слоёв в геометрической модели, количества ячеек сетки по <math>x</math> и количества ячеек сетки по <math>\mu</math>, а также количества итераций и границ рассматриваемого интервала по <math>x</math>.
# Вычисление исходных значений участвующих в вычислениях величин во всех ячейках сеток по <math>x</math> и <math>\mu</math>.
# Вычисление правой части УП во всех точках сеток.
# Применение разностных схем для решения УП с известной правой частью в каждой точке сетки по <math>x</math> для каждого значения <math>\mu</math>.
# Подсчет скалярного потока нейтронов в каждой точке сетки по <math>x</math>.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational_graph.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначены вершины, производящие считывание данных, вычисление начальных значений необходимых переменных, а также вычисление правой части УП на каждой итерации.

'''Синим цветом''' обозначены вершины, которые отвечают применению разностных схем для вычисления значений плотности потока нейтронов во всех ячейках сеток по <math>x</math> последовательно и по <math>\mu</math>.

'''Желтым цветом''' обозначены вершины, отвечающие операции суммирования значений плотности потока нейтронов во всех ячейках сетки по <math>x</math> для вычисления скалярного потока.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина, которая после завершения выполнения всех итераци, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений, делений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10. Геометрическую модель задачи для положительной полуоси <math>x</math> приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-12-04T20:08:36Z

S s serov: /* Информационный граф */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Макроструктура алгоритма выглядит следующим образом:

# Чтение входных параметров: количества слоёв в геометрической модели, количества ячеек сетки по <math>x</math> и количества ячеек сетки по <math>\mu</math>, а также количества итераций и границ рассматриваемого интервала по <math>x</math>.
# Вычисление исходных значений участвующих в вычислениях величин во всех ячейках сеток по <math>x</math> и <math>\mu</math>.
# Вычисление правой части УП во всех точках сеток.
# Применение разностных схем для решения УП с известной правой частью в каждой точке сетки по <math>x</math> для каждого значения <math>\mu</math>.
# Подсчет скалярного потока нейтронов в каждой точке сетки по <math>x</math>.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational_graph.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений, делений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10. Геометрическую модель задачи для положительной полуоси <math>x</math> приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Файл:Informational graph.svg

2017-12-04T20:06:47Z

S s serov:

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-12-03T19:48:07Z

S s serov: /* Макроструктура алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Макроструктура алгоритма выглядит следующим образом:

# Чтение входных параметров: количества слоёв в геометрической модели, количества ячеек сетки по <math>x</math> и количества ячеек сетки по <math>\mu</math>, а также количества итераций и границ рассматриваемого интервала по <math>x</math>.
# Вычисление исходных значений участвующих в вычислениях величин во всех ячейках сеток по <math>x</math> и <math>\mu</math>.
# Вычисление правой части УП во всех точках сеток.
# Применение разностных схем для решения УП с известной правой частью в каждой точке сетки по <math>x</math> для каждого значения <math>\mu</math>.
# Подсчет скалярного потока нейтронов в каждой точке сетки по <math>x</math>.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений, делений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10. Геометрическую модель задачи для положительной полуоси <math>x</math> приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-12-03T19:41:17Z

S s serov: /* Макроструктура алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Макроструктура алгоритма выглядит следующим образом:

# Чтение входных параметров: количества слоёв в геометрической модели, количества ячеек сетки по <math>x</math> и количества ячеек сетки по <math>\mu</math>, а также количества итераций и границ рассматриваемого интервала по <math>x</math>.
# Вычисление исходных значений участвующих в вычислениях величин во всех ячейках сеток по <math>x</math> и <math>\mu</math>.
# Вычисление правой части УП во всех точках сеток.
# Применение разностных схем для решения УП с известной правой частью в каждой точке сетки по <math>x</math> для каждого значения <math>\mu</math>.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений, делений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10. Геометрическую модель задачи для положительной полуоси <math>x</math> приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-12-03T18:48:43Z

S s serov: /* Макроструктура алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Макроструктура алгоритма выглядит следующим образом:

# Чтение входных параметров: количества слоёв в геометрической модели, количества ячеек сетки по <math>x</math> и количества ячеек сетки по <math>\mu</math>.
# Вычисление исходных значений участвующих в вычислениях величин во всех ячейках сеток по <math>x</math> и <math>\mu</math>.
# Вычисление правой части УП во всех точках сеток.
# Решение УП с известной правой частью в каждой точке сетки по <math>x</math> для каждого значения <math>\mu</math>.
#

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений, делений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10. Геометрическую модель задачи для положительной полуоси <math>x</math> приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-12-03T18:36:46Z

S s serov: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений, делений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10. Геометрическую модель задачи для положительной полуоси <math>x</math> приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-12-03T18:36:13Z

S s serov: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> делений, умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10. Геометрическую модель задачи для положительной полуоси <math>x</math> приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T20:17:09Z

S s serov: /* Масштабируемость алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10. Геометрическую модель задачи для положительной полуоси <math>x</math> приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T20:16:14Z

S s serov: /* Масштабируемость алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10.Геометрическую модель задачи для положительной полуоси <math>x</math> приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T20:14:38Z

S s serov: /* Масштабируемость алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10.Геометрическую модель задачи для положительно полуоси $x$ приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T20:14:04Z

S s serov: /* Масштабируемость алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10.Геометрическую модель задачи для положительно полуоси $x$ приведем на следующем рисунке.

[[File:Geom_real.jpg|thumb|center|500px|]]

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Файл:Geom real.jpg

2017-11-30T20:13:56Z

S s serov:

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T15:36:11Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>, количество областей по оси <math>x</math> равно 10.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация на языке Fortran, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T15:06:57Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим, что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T14:56:59Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим. что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

DSn-метод решения уравнения переноса [http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ccc-0514/ реализован] в параллельном режиме компанией EG$G, Idaho Inc. в США на языке Fortran.

Также существует реализация, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vmp&paperid=361&option_lang=rus созданная] в ИПМ имени Келдыша в Москве.

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T14:30:56Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>I</math>, где <math>I</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим. что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T14:28:27Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений, делений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений, делений и и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим. что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T14:04:08Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> для значений <math>\mu < 0</math> и слева направо — для значений <math>\mu > 0</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем. Далее приведем формулы для прохода слева направо:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим. что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T13:59:18Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя. Это необходимо проделать как для положительных, так и для отрицательных значений <math>\mu</math> при проходах слева направо и справа налево. Далее приводятся формулы для прохода слева направо.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим. что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T13:49:43Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем вакуумные краевые условия <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим. что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T13:47:04Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим. что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T13:45:54Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы: <math>N(x_{min},\mu) = 0, \forall \mu \in [0, 1]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим. что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-30T13:44:50Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>. На левой границе <math>x_{min}</math> заданы точно такие же вакуумные краевые условия для нейтронов, влетающих слева направо через левую границу системы.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим. что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-28T00:14:40Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, 417 гр.

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

DSn-метод обладает свойством сильной масштабируемости, потому что график сильной масштабируемости имеет сильно выпуклый вид наподобие функции <math>\frac{1}{n}</math>. Из графика коэффициентов распараллеливания видно, что при увеличении числа параллельных процессов до 200 и выше издержки на пересылку данных между процессами становятся значительнее, и график эмпирического коэффициента отклоняется от графика теоретического. Визуально это отклонение отражено на последнем графике, который свидетельствует о том, что при использовании до 100 процессов эффективность распараллеливания составляет более 0.8, что является очень хорошим показателем, а нижнего приемлемого значения 0.35 она почти достигает при числе процессов, равном 500. Это означает, что использование большего числа процессов в одном параллельном запуске будет уже неэффективно.

Заметим. что при количестве процессов, равном 5, наблюдается заметное уменьшение эффективности. Это связано с тем, что запускается нечетное число процессов и взаимодействие между ними происходит медленнее, чем для четного числа процессов.

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T23:57:22Z

S s serov: /* Масштабируемость алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метода <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы в секундах для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

Построим график зависимости времени выполнения программы от количества параллельных процессов, иллюстрирующий сильную масштабируемость алгоритма.

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

Построим графики теоретического и эмпирического коэффициентов распараллеливания в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

Построим график коэффициента эффективности в зависимости от количества использованных параллельных процессов.

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T23:54:01Z

S s serov: /* Масштабируемость алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

Приведем результаты запусков параллельной реализации DSn-метода решения УП для на суперкомпьютере "Ломоносов" для разного числа процессов. Использованные параметры: число ячеек сетки по оси <math>x</math>: <math>I = 80000</math>, число ячеек сетки по оси <math>\mu</math>: <math>M = 1000</math>, количество итераций метод <math>\nu_0 = 50</math>.

В прикрепленной таблице содержатся времена выполнения программы для разного числа запущенных процессов. В следующих столбцах указаны среднее время по 3-м запускам (для 200 и 500 процессов --- по 1-му), теоретическое время работы программы (рассчитанное как отношение времени работы на одном процессе к количеству параллельных процессов), теоретический и эмпирический коэффициенты распараллеливания (рассчитанные как отношение теоретического и эмпирического времени работы на нескольких процессах ко времени работы на одном процессе) и коэффициент эффективности (рассчитанный как отношение эмпирического коэффициента распараллеливания к теоретическому).

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T23:36:07Z

S s serov: /* Масштабируемость алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

[[File:Table_stats.png|thumb|center|500px|]]

[[File:Strong_scalability.png|thumb|center|500px|]]

[[File:Parallelizing_coef.png|thumb|center|500px|]]

[[File:Effectiveness_coef.png|thumb|center|500px|]]

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T23:35:29Z

S s serov: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Масштабируемость алгоритма ===

[[File:Table_stats.jpg|thumb|center|500px|]]

[[File:Strong_scalability.jpg|thumb|center|500px|]]

[[File:Parallelizing_coef.jpg|thumb|center|500px|]]

[[File:Effectiveness_coef.jpg|thumb|center|500px|]]

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Файл:Effectiveness coef.png

2017-11-27T23:31:53Z

S s serov:

Файл:Parallelizing coef.png

2017-11-27T23:31:30Z

S s serov:

Файл:Strong scalability.png

2017-11-27T23:31:11Z

S s serov:

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T02:01:53Z

S s serov: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> умножений и сложений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T02:01:23Z

S s serov: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I)</math> сложений и умножений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T02:01:01Z

S s serov: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Имея в распоряжении <math>M</math> процессов, мы имеем возможность производить вычисления плотности потоков нейтронов в ячейках сетки по оси <math>x</math> для разных значений косинуса угла полета <math>\mu</math> независимо друг от друга. Это означает, что каждый процесс по отдельности может вычислять правую часть уравнения переноса, а затем и решать его с использованием разностных схем для некоторых выделенных ему значений параметра <math>\mu</math>, а лишь затем, в конце итерации, обмениваться вычисленными значениями с другими процессами для пересчета правой части уравнения.

Таким образом, сложность параллельной реализации будет составлять
:<math>O(\nu_0*I) сложений и умножений.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T01:21:03Z

S s serov: /* Последовательная сложность алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной сложностью''.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T01:20:48Z

S s serov: /* Последовательная сложность алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с ''линейной'' сложностью.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T01:20:17Z

S s serov: /* Последовательная сложность алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M)</math> умножений и сложений.

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с линейной сложностью.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T01:19:57Z

S s serov: /* Последовательная сложность алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для решения уравнения переноса DSn-методом на каждой итерации требуется:

:<math>O(I*M) умножений и сложений.</math>

Таким образом, последовательная сложность всего алгоритма составляет:

:<math>O(\nu_0*I*M)</math> умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, DSn-метод решения УП относится к алгоритмам с линейной сложностью.

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T01:01:13Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph2.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T00:59:44Z

S s serov: /* Информационный граф */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph.svg|thumb|center|500px|]]

'''Красным цветом''' обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

'''Синим цветом''' обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

'''Желтым цветом''' обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

'''Зеленым цветом''' обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T00:59:14Z

S s serov: /* Информационный граф */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph.svg|thumb|center|500px|]]

Красным цветом обозначена вершина процесса, считывающего данные, формирующего массивы исходных данных и рассылающего их всем остальным запущенным процессам, число которых меньше либо равно числу ячеек введенной сетки по <math>\mu</math>.

Синим цветом обозначены вершины всех процессов, которые для определенных ячеек сетки по <math>\mu</math> на каждой итерации вычисляют сначала правую часть УП, а затем с помощью разностных схем --- значения плотности потока нейтронов во всех ячейках оси <math>x</math>.

Желтым цветом обозначена вершина, отвечающая операции суммирования значений, насчитанных каждым процессом, и их рассылки всем участвующим в вычислениях процессам.

Зеленым цветом обозначена вершина процесса, который, после завершения процессами выполнения всех итераций, собирает окончательные значения скалярного потока нейтронов в одном массиве и выводит результат работы.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T00:21:24Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

[[File:Informational graph.svg|thumb|center|500px|]]

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-27T00:15:03Z

S s serov: /* Информационный граф */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

[[File:Informational_graph.png|thumb|center|500px|]]

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-26T23:15:23Z

S s serov: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

===Масштабируемость алгоритма===

=== Характеристики программно-аппаратной среды ===

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3.

Вычисления производились в сегментах test, regular4 и regular6. Ограничений на время выполнения программы наложено не было.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-26T23:12:11Z

S s serov: /* Входные и выходные данные алгоритма */

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-26T23:11:07Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

Входные данные: массив <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя, массив <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя, массив <math>q(x)</math> для каждого слоя.
Объем входных данных: <math>3k</math>, где <math>k</math> --- количество слоев в геометрии задачи.

Выходные данные: массив <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.
Объем выходных данных: <math>N</math>, где <math>N</math> --- количество ячеек введенной сетки по <math>x</math>.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-26T22:32:17Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем:
##: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
##: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
##: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>: <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-26T22:24:00Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>: <math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x)</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>

Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

2017-11-26T22:18:06Z

S s serov:

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод <ref name="Karlson">Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов, М.: 1972, с. 102-157.</ref>. Далее описывается DSn-метод решения стационарного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси <math>x</math> (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям <math>y</math> и <math>z</math> плоско-параллельных слоев некоторого вещества (например, урана, свинца, воды, воздуха и т.д.) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

Само уравнение переноса (УП) нейтронов записывается в следующем виде:
:<math>\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),</math>
где
:<math>Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).</math>

Используемые обозначения:
* <math>\mu = cos(\theta)</math> --- косинус угла <math>\theta</math> между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси <math>x</math>;
* <math>N(x,\mu)</math> --- плотность потока нейтронов, летящих в заданном направлении <math>\mu</math> в слое с координатой <math>x</math>;
* <math>SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'</math> --- скалярный поток нейтронов в точке <math>x</math>;
* <math>\sigma(x)</math> --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке <math>x</math>, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов физическим материалом, расположенным в этой точке среды;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> --- изотропное макроскопическое сечение обобщенного рассеяния нейтронов в точке <math>x</math> среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
* <math>q(x)</math> --- независимый изотропный источник нейтронов в точке <math>x</math>.

Одногрупповое УП является интегро-дифференциальным. Левая его часть представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор, который отвечает за пролет нейтронов через физическую среду. Правая часть УП содержит интеграл столкновений, который отвечает за рождение вторичных частиц в реакциях упругого и неупругого рассеяния, деления нейтронов, реакций типа <math>(n,2n)</math> и других, а также независимый источник нейтронов. Целью решаемой задачи является нахождение плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> или скалярного потока <math>SN(x)</math>. Для решения задачи достаточно вычислить только скалярный поток <math>SN(x)</math>, так как дифференциальная плотность потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> может быть получена из решения ОДУ с известной правой частью, в которую входит скалярный поток <math>SN(x)</math>. Таким образом, целью расчета является нахождение стационарного (на бесконечности по времени) распределения плотности потока нейтронов <math>N(x,\mu)</math> и скалярного потока <math>SN(x)</math>.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров (<math>\sigma</math> и <math>\sigma_S^0</math>), задающих его физические свойства, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что правее <math>x_{max}</math> находится вакуум, то есть плотность потока нейтронов равна нулю по всем направлениям полета нейтронов, влетающих справа налево через правую границу системы: <math>N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 0]</math>; а на левой границе <math>x_{min}</math> заданы краевые условия зеркального отражения, при котором нейтроны, прилетевшие справа на левую границу, отражаются от нее, изменяя направление своего полета с <math>\mu</math> на <math>-\mu</math>, то есть краевое условие имеет вид: <math>N(x_{min},-\mu) = N(x_{min},\mu), \forall \mu \in [-1, 0]</math>.
Также значения параметров <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> будем считать постоянными в каждом из слоев. Слой с одинаковыми макросечениями и независимым источником нейтронов будем также называть областью.

Для численного решения задачи вводятся 2 одномерные дискретные сетки: по оси <math>x</math> и по косинусу угла <math>\mu</math>.

Поэтому данный метод решения УП нейтронов и получил название метода дискретных ординат (по <math>\mu</math> на плоскости <math>(x,\mu)</math>), или DSn – метода<ref name="Karlson" />.

Альтернативными методами решения этого уравнения являются метод характеристик, метод Монте-Карло и некоторые другие.

== Математическое описание алгоритма ==

Входные данные:

* геометрическая модель задачи (количество слоев, их расположение на оси <math>x</math> и толщина);
* <math>\sigma(x)</math> для каждого слоя;
* <math>\sigma_S^0(x)</math> для каждого слоя;
* <math>q(x)</math> для каждого слоя.

Параметры:

* <math>I</math> --- количество ячеек дискретной сетки по оси <math>x</math>;
* <math>M</math> --- количество ячеек дискретной сетки по параметру <math>\mu</math>;
* <math>\nu_0</math> --- количество итераций по правой части УП.

Выходные данные:

* <math>SN(x)</math> для каждой ячейки введенной сетки.

Введем дискретную сетку по <math>x</math> и по <math>\mu</math>:
:<math>\mathbb{X} = \{x_i, i \in \{1, \dots, I + 1\} | x_{i+1} = x_i + \Delta x, x_1 = x_{min}, \Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{I}\},</math>
:<math>\mathbb{M} = \{\mu_m, m \in \{1, \dots, M + 1\} | \mu_{m+1} = \mu_m + \Delta \mu, \mu_1 = -1, \Delta \mu = \frac{2}{M}\}.</math>
Середины ячеек соответствующих сеток будем обозначать как <math>x_{i+1/2}</math> и <math>\mu_{m+1/2}</math>.

Алгоритм решения задачи выглядит так:

# Задается некоторое начальное неотрицательное распределение нейтронов в системе <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Для решения интегро-дифференциального УП нейтронов используем метод итераций источника, то есть организуем итерации <math>\nu</math> по правой части УП, которая называется источником (он является суммой интеграла столкновений и независимого источника нейтронов). Независимый источник <math>q_{i+1/2}</math> от номера итерации не зависит и является постоянным на всех итерациях. Интеграл столкновений <math>SN_{i+1/2}</math> нужно перевычислять на каждой итерации. Более конкретно, по уже известному с предыдущей итерации или из краевого условия распределению <math>SN_{i+1/2}</math> вычисляем правую часть УП, то есть <math>Q_{i+1/2}</math> для всех <math>i \in \{1, \dots, I\}</math>. Далее задача сводится к решению ОДУ на каждой итерации по правой части УП.
# Алгоритм решения ОДУ на каждой итерации по правой части является неоднородным. Сначала рассчитываются все направления полета нейтронов с отрицательными <math>\mu</math>. При этом на правой границе системы задаются вакуумные краевые условия, то есть <math>N(x_{max},\mu)=0</math> для всех <math>\mu < 0</math>. Расчет по <math>x</math> ведется справа налево, то есть по убыванию индекса <math>i+1/2</math>. На левой границе системы <math>x_{min}</math> формируются краевые условия отражения <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> (для всех <math>\mu < 0</math>). Далее они будут использоваться как краевые условия на левой границе системы <math>x_{min}</math> при расчете всех направлений <math>\mu > 0</math>.
# Рассчитываем все направления <math>\mu_{m+1/2} > 0</math>. При этом порядок расчета по координате <math>x</math> будет следующим: от левой границы системы <math>x_{min}</math> к правой <math>x_{max}</math>, то есть по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Чтобы "оттолкнуться" от левой границы <math>x_{min}</math> используем уже сформированные при расчете случая <math>\mu < 0</math> краевые условия <math>N_{Left}(\mu_{m+1/2})</math> на левой границе системы. Продолжаем для случая <math>\mu > 0</math> накапливать массив <math>SN_{i+1/2}^{new}</math>. В конце расчета всех <math>\mu_{m+1/2}</math> в массиве <math>SN_{i+1/2}^{new}</math> уже насчитаны новые значения <math>SN</math> для следующей итерации <math>\nu</math>. Их нужно только присвоить в нужном месте программы снова в массив <math>SN_{i+1/2}</math>.
# Теперь опишем метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с известной правой частью и используемые для этого разностные схемы<ref name="Bass">Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Препринт ИПМ АН СССР, М., 1986.</ref><ref name="Karlson" />. Также учитываем, что в указанной постановке задачи параметры <math>\sigma(x), \sigma_S^0(x)</math> и <math>q(x)</math> заданы постоянными для каждого слоя.
#: Уравнение имеет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2} \frac{dN(x,\mu_{m+1/2})}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu_{m+1/2}) = Q(x,\mu_{m+1/2}).</math>
#: Проинтегрируем его по ячейке <math>T_{i+1/2} = [x_i, x_{i+1}]</math> и получим уравнение баланса нейтронов (сечение взаимодействия нейтронов со средой <math>\sigma(x) = Const</math> в каждой области вещества и может быть вынесено за знак интеграла):
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma(x) \int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx.</math>
#: Далее по теореме о среднем:
#: :<math>\int_{x_i}^{x_{i+1}} N(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{N}\cdot \Delta x, \int_{x_i}^{x_{i+1}} Q(x,\mu_{m+1/2})dx = \bar{Q}\cdot \Delta x, \Delta x = x_{i+1} - x_i.</math>
#: Тогда уравнение (называемое уравнением баланса) примет вид:
#: :<math>\mu_{m+1/2}(N_{i+1} - N_i) + \sigma \bar{N} \Delta x = \bar{Q} \Delta x.</math>
# При решении УП нейтронов на основе традиционного DSn-метода обычно используются 2 основные конечно-разностные схемы<ref name="Karlson" />: DD (diamond difference) – алмазная и St (step) – шаговая. Приведем далее формулы, соответствующие случаю расчета всех направлений полета нейтронов с положительными <math>\mu</math>. Напомним, что в этом случае расчет по координате <math>x</math> ведется по возрастанию индекса <math>i+1/2</math>. Для случая <math>\mu < 0</math> формулы для DD– и St– схем выводятся аналогично.
#: St-схема (шаговая) (<math>\bar{N} = N_{i+1})</math>:
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{\bar{Q} \Delta x + \mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + \mu_{m+1/2}}.</math>
#: DD-схема (алмазная) (<math>\bar{N} = \frac{1}{2}(N_i + N_{i+1}), N_{i+1} = 2\bar{N} - N_i</math>):
#: :<math>\bar{N} = \frac{\bar{Q} \Delta x + 2\mu_{m+1/2} N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}, N_{i+1} = \frac{2\bar{Q} \Delta x + (2\mu_{m+1/2} - \sigma \Delta x) N_i}{\sigma \Delta x + 2\mu_{m+1/2}}.</math>
#: Алмазная DD-схема имеет 2-ой порядок аппроксимации и поэтому является более точной, чем St-схема 1-го порядка аппроксимации, однако не обладает свойствами положительности и монотонности, в отличие от последней, вследствие чего в некоторых случаях может давать отрицательные значения плотности потока, что недопустимо с точки зрения физики явления (невозможно в реальной физической ситуации). В связи с этим традиционный DSn–метод использует обе конечно-разностные схемы для обеспечения, с одной стороны, максимальной точности разностного решения, а с другой – гарантированной его неотрицательности, то есть физичности.
#: Переключающий критерий устроен следующим образом: если использование алмазной DD-схемы в какой либо ячейке сетки приводит к отрицательным значениям плотности потока внутри ячейки или на выходе из нее, то расчет этой же ячейки сетки проводится на основе использования шаговой St-схемы, гарантирующей неотрицательность сеточного решения.

В случае использования подробных дискретных сеток время работы приведенного алгоритма может быть достаточно большим. В этом случае актуальной задачей является распараллеливание этого алгоритма.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Вычислительное ядро алгоритма состоит из вычисления значений плотности потока нейтронов в каждой ячейке сетки по оси <math>x</math> для каждого значения косинуса направления полета нейтронов в соответствии с выбранными разностными схемами.

== Макроструктура алгоритма ==

Как и записано в описании ядра алгоритма, основную часть составляет решение обыкновенного дифференциального уравнения с помощью алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

# Задать неотрицательное распределение скалярного потока нейтронов <math>SN</math> в системе.
# На каждой итерации:
## Вычислить правую часть УП для каждой ячейки двумерной сетки по <math>x</math> и <math>\mu</math>.
## Провести вычисление плотностей потока нейтронов в каждой ячейке двумерной сетки справа налево по оси <math>x</math> с использованием алмазной и шаговой (при необходимости) разностных схем.
## Вычислить скалярный поток нейтронов в каждой ячейке сетки по <math>x</math> путем интегрирования плотностей потока нейтронов по всем значениям косинуса угла полета <math>\mu</math>.

== Последовательная сложность алгоритма ==

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =

== Особенности реализации последовательного алгоритма ==

== Локальность данных и вычислений ==

== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==

== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==

== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =

<references \>