Алговики - Вклад [ru]

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-12-16T21:35:33Z

Tsyganov Nikita: /* Информационный граф */

{{Assignment|Sleo}}

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

Авторы статьи: [[Участник:Nikita|Иванов Н.В.]] (1.1,1.7,1.9,1.10,2.4,2.7), [[Участник:Tsyganov Nikita|Цыганов Н.И.]] (1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,2.4).

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики.<ref name="rt">http://cyberleninka.ru/article/n/matritsy-adamara-nechetnogo-poryadka.pdf</ref> Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). <ref name="rt2">Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57</ref> Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

=== Математическое описание алгоритма ===

Для решения поставленной задачи будем использовать метод Пейли.
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Чтобы найти все вычеты по модулю p, достаточно рассмотреть квадраты чисел от <math>1^2</math> до <math>(p-1)^2</math>. Но если учесть, что <math>(p-a)^2 </math> <math>mod </math> <math> p = (-a)^2 </math> <math> mod </math> <math> p = a^2 </math> <math>mod</math> <math> p</math>, то достаточно рассмотреть лишь числа <math>1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod </math> <math>p</math> .

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Все элементы главной диагонали этой матрицы, кроме элемента <math>h_{00}</math>, равны <math>X(0)-1=-1</math>. Нетрудно заметить, что данная матрица состоит только лишь из элементов 1 и -1.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.<ref name="rt3">http://tc.nsu.ru/uploads/codingtheory.pdf</ref>

Исходные данные алгоритма - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector< vector<int> > & result)
{
// 1) matrix size changing
result.resize(n);
for (int i=0; i<n; i++) {
result[i].resize(n);
}

// 2) residue array building
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
for (int i=0; i<p; i++) {
residues[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residues[i*i % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residues[i] = residues[i-p];
}
// 3) Paley matrix building
// first line filling
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// first column filling
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// others
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Под сложностью будем понимать зависимость числа операций от задаваемого порядка матрицы <math>n</math>.

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph2.png|600px|thumb|center]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания, каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания, а вершины, окрашенные серым, представляют собой промежуточные точки синхронизации.

[[Файл:i_graph3.jpg|600px|thumb|center|Информационный граф для n=4.]]
На рисунке приведен информационный граф алгоритма для случая n=4. Вершины графа соответствуют следующим строчкам кода:

a. residues[i] = -1;

b. residues[i*i%p] = 1;

c. residues[i] = residues[i-p];

d. result[0][j] = 1;

e. result[i][0] = 1;

f. result[i][j] = residues[i-j+p];

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' число <math>n</math> - порядок матрицы Адамара <math>H_n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n</math> - натуральное;
* <math>n</math> делится на 4;
* <math>n-1</math> - простое.
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>).

'''Выходные данные:''' построенная матрица Адамара <math>H_n</math> (её элементы <math>h_{ij}</math>).

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара размера <math>n*n</math>).

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов является квадратичным.

Вычислительная мощность алгоритма является постоянной (<math>O(1)</math>).

Алгоритм является полностью детерминированным.

Для вершин <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math> информационного графа степени исхода являются линейными, что означает, что при возможности на этапе реализации необходимо позаботиться об эффективном доступе к элементам массива "<math>residues</math>".

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма построения матрицы Адамара проводилось на суперкомпьютере «Ломоносов». Для этого была исследована собственная реализация алгоритма с использованием средств MPI. В ходе исследования было произведено множество запусков программы с различными значениями параметра <math>n</math> (размер матрицы Адамара) и числом процессоров.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
*число процессоров (p): [2,64] с шагом 2;
*размер матрицы: простые числа в диапазоне [4,10000].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:
*минимальная эффективность реализации 0.0000036% при n=4, p=2;
*максимальная эффективность реализации 0.333426% при n=948, p=2.

Ниже представлены графики времени работы, производительности и эффективности данной реализации алгоритма построения матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.
[[Файл:time_graph1.png|500px|thumb|center|Время работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:perform_graph1.png|500px|thumb|center|Изменение производительности параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:efficiency_graph1.png|500px|thumb|center|Эффективность работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]

[https://github.com/snikersman/Hadamard Исследованная параллельная реализация на языке C++]

Построим оценки масштабируемости, используя полученные результаты:
*По размерности задачи. Увеличение размерности задачи приводит к увеличению производительности.
*По числу процессоров. С ростом числа процессоров растет производительность, но при малых размерностях задачи этот рост незначителен. Это связано с дополнительными издержками по записи в участок памяти каждого процессора вспомогательного массива вычетов, а также с обменом информации между процессорами.
*По двум направлениям. При увеличении как числа процессоров, так и размерности задачи, производительность увеличивается. Причем чем больше используется процессоров, тем сильнее увеличивается производительность при увеличении размерности.

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-12-16T21:32:58Z

Tsyganov Nikita: /* Информационный граф */

{{Assignment|Sleo}}

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

Авторы статьи: [[Участник:Nikita|Иванов Н.В.]] (1.1,1.7,1.9,1.10,2.4,2.7), [[Участник:Tsyganov Nikita|Цыганов Н.И.]] (1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,2.4).

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики.<ref name="rt">http://cyberleninka.ru/article/n/matritsy-adamara-nechetnogo-poryadka.pdf</ref> Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). <ref name="rt2">Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57</ref> Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

=== Математическое описание алгоритма ===

Для решения поставленной задачи будем использовать метод Пейли.
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Чтобы найти все вычеты по модулю p, достаточно рассмотреть квадраты чисел от <math>1^2</math> до <math>(p-1)^2</math>. Но если учесть, что <math>(p-a)^2 </math> <math>mod </math> <math> p = (-a)^2 </math> <math> mod </math> <math> p = a^2 </math> <math>mod</math> <math> p</math>, то достаточно рассмотреть лишь числа <math>1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod </math> <math>p</math> .

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Все элементы главной диагонали этой матрицы, кроме элемента <math>h_{00}</math>, равны <math>X(0)-1=-1</math>. Нетрудно заметить, что данная матрица состоит только лишь из элементов 1 и -1.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.<ref name="rt3">http://tc.nsu.ru/uploads/codingtheory.pdf</ref>

Исходные данные алгоритма - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector< vector<int> > & result)
{
// 1) matrix size changing
result.resize(n);
for (int i=0; i<n; i++) {
result[i].resize(n);
}

// 2) residue array building
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
for (int i=0; i<p; i++) {
residues[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residues[i*i % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residues[i] = residues[i-p];
}
// 3) Paley matrix building
// first line filling
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// first column filling
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// others
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Под сложностью будем понимать зависимость числа операций от задаваемого порядка матрицы <math>n</math>.

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph2.png|600px|thumb|center]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания, каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания, а вершины, окрашенные серым, представляют собой промежуточные точки синхронизации.

[[Файл:i_graph3.jpg|600px|thumb|center|Информационный граф для n=4.]]
На рисунке приведен граф алгоритма для случая n=4. Вершины графа соответствуют следующим строчкам кода:

a. residues[i] = -1;

b. residues[i*i%p] = 1;

c. residues[i] = residues[i-p];

d. result[0][j] = 1;

e. result[i][0] = 1;

f. result[i][j] = residues[i-j+p];

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' число <math>n</math> - порядок матрицы Адамара <math>H_n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n</math> - натуральное;
* <math>n</math> делится на 4;
* <math>n-1</math> - простое.
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>).

'''Выходные данные:''' построенная матрица Адамара <math>H_n</math> (её элементы <math>h_{ij}</math>).

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара размера <math>n*n</math>).

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов является квадратичным.

Вычислительная мощность алгоритма является постоянной (<math>O(1)</math>).

Алгоритм является полностью детерминированным.

Для вершин <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math> информационного графа степени исхода являются линейными, что означает, что при возможности на этапе реализации необходимо позаботиться об эффективном доступе к элементам массива "<math>residues</math>".

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма построения матрицы Адамара проводилось на суперкомпьютере «Ломоносов». Для этого была исследована собственная реализация алгоритма с использованием средств MPI. В ходе исследования было произведено множество запусков программы с различными значениями параметра <math>n</math> (размер матрицы Адамара) и числом процессоров.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
*число процессоров (p): [2,64] с шагом 2;
*размер матрицы: простые числа в диапазоне [4,10000].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:
*минимальная эффективность реализации 0.0000036% при n=4, p=2;
*максимальная эффективность реализации 0.333426% при n=948, p=2.

Ниже представлены графики времени работы, производительности и эффективности данной реализации алгоритма построения матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.
[[Файл:time_graph1.png|500px|thumb|center|Время работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:perform_graph1.png|500px|thumb|center|Изменение производительности параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:efficiency_graph1.png|500px|thumb|center|Эффективность работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]

[https://github.com/snikersman/Hadamard Исследованная параллельная реализация на языке C++]

Построим оценки масштабируемости, используя полученные результаты:
*По размерности задачи. Увеличение размерности задачи приводит к увеличению производительности.
*По числу процессоров. С ростом числа процессоров растет производительность, но при малых размерностях задачи этот рост незначителен. Это связано с дополнительными издержками по записи в участок памяти каждого процессора вспомогательного массива вычетов, а также с обменом информации между процессорами.
*По двум направлениям. При увеличении как числа процессоров, так и размерности задачи, производительность увеличивается. Причем чем больше используется процессоров, тем сильнее увеличивается производительность при увеличении размерности.

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-11-22T11:08:18Z

Tsyganov Nikita: /* Схема реализации последовательного алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

Авторы статьи: [[Участник:Nikita|Иванов Н.В.]] (1.1,1.7,1.9,1.10,2.4,2.7), [[Участник:Tsyganov Nikita|Цыганов Н.И.]] (1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,2.4).

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики.<ref name="rt">http://cyberleninka.ru/article/n/matritsy-adamara-nechetnogo-poryadka.pdf</ref> Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). <ref name="rt2">Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57</ref> Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

=== Математическое описание алгоритма ===

Для решения поставленной задачи будем использовать метод Пейли.
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Чтобы найти все вычеты по модулю p, достаточно рассмотреть квадраты чисел от <math>1^2</math> до <math>(p-1)^2</math>. Но если учесть, что <math>(p-a)^2 </math> <math>mod </math> <math> p = (-a)^2 </math> <math> mod </math> <math> p = a^2 </math> <math>mod</math> <math> p</math>, то достаточно рассмотреть лишь числа <math>1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod </math> <math>p</math> .

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Все элементы главной диагонали этой матрицы, кроме элемента <math>h_{00}</math>, равны <math>X(0)-1=-1</math>. Нетрудно заметить, что данная матрица состоит только лишь из элементов 1 и -1.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.<ref name="rt3">http://tc.nsu.ru/uploads/codingtheory.pdf</ref>

Исходные данные алгоритма - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector< vector<int> > & result)
{
// 1) matrix size changing
result.resize(n);
for (int i=0; i<n; i++) {
result[i].resize(n);
}

// 2) residue array building
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
for (int i=0; i<p; i++) {
residues[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residues[i*i % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residues[i] = residues[i-p];
}
// 3) Paley matrix building
// first line filling
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// first column filling
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// others
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Под сложностью будем понимать зависимость числа операций от задаваемого порядка матрицы <math>n</math>.

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph2.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания, каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания, а вершины, окрашенные серым, представляют собой промежуточные точки синхронизации.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' число <math>n</math> - порядок матрицы Адамара <math>H_n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n</math> - натуральное;
* <math>n</math> делится на 4;
* <math>n-1</math> - простое.
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>).

'''Выходные данные:''' построенная матрица Адамара <math>H_n</math> (её элементы <math>h_{ij}</math>).

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара размера <math>n*n</math>).

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов является квадратичным.

Вычислительная мощность алгоритма является постоянной (<math>O(1)</math>).

Алгоритм является полностью детерминированным.

Для вершин <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math> информационного графа степени исхода являются линейными, что означает, что при возможности на этапе реализации необходимо позаботиться об эффективном доступе к элементам массива "<math>residues</math>".

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма построения матрицы Адамара проводилось на суперкомпьютере «Ломоносов». Для этого была исследована собственная реализация алгоритма с использованием средств MPI. В ходе исследования было произведено множество запусков программы с различными значениями параметра <math>n</math> (размер матрицы Адамара) и числом процессоров.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
*число процессоров (p): [2,64] с шагом 2;
*размер матрицы: простые числа в диапазоне [4,10000].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:
*минимальная эффективность реализации 0.0000029% при n=4, p=2;
*максимальная эффективность реализации 0.323409% при n=908, p=2.

Ниже представлены графики времени работы, производительности и эффективности данной реализации алгоритма построения матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.
[[Файл:time_graph.png|500px|thumb|center|Время работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:perform_graph.png|500px|thumb|center|Изменение производительности параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:efficiency_graph.png|500px|thumb|center|Эффективность работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]

[https://github.com/snikersman/Hadamard Исследованная параллельная реализация на языке C++]

Построим оценки масштабируемости, используя полученные результаты:
*По размерности задачи. Увеличение размерности задачи приводит к увеличению производительности.
*По числу процессоров. С ростом числа процессоров растет производительность, но при малых размерностях задачи этот рост незначителен. Это связано с дополнительными издержками по записи в участок памяти каждого процессора вспомогательного массива вычетов, а также с обменом информации между процессорами.
*По двум направлениям. При увеличении как числа процессоров, так и размерности задачи, производительность увеличивается. Причем чем больше используется процессоров, тем сильнее увеличивается производительность при увеличении размерности.

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-11-22T09:29:58Z

Tsyganov Nikita: /* Математическое описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

Авторы статьи: [[Участник:Nikita|Иванов Н.В.]] (1.1,1.7,1.9,1.10,2.4,2.7), [[Участник:Tsyganov Nikita|Цыганов Н.И.]] (1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,2.4).

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики.<ref name="rt">http://cyberleninka.ru/article/n/matritsy-adamara-nechetnogo-poryadka.pdf</ref> Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). <ref name="rt2">Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57</ref> Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

=== Математическое описание алгоритма ===

Для решения поставленной задачи будем использовать метод Пейли.
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Чтобы найти все вычеты по модулю p, достаточно рассмотреть квадраты чисел от <math>1^2</math> до <math>(p-1)^2</math>. Но если учесть, что <math>(p-a)^2 </math> <math>mod </math> <math> p = (-a)^2 </math> <math> mod </math> <math> p = a^2 </math> <math>mod</math> <math> p</math>, то достаточно рассмотреть лишь числа <math>1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod </math> <math>p</math> .

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Все элементы главной диагонали этой матрицы, кроме элемента <math>h_{00}</math>, равны <math>X(0)-1=-1</math>. Нетрудно заметить, что данная матрица состоит только лишь из элементов 1 и -1.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.<ref name="rt3">http://tc.nsu.ru/uploads/codingtheory.pdf</ref>

Исходные данные алгоритма - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Под сложностью будем понимать зависимость числа операций от задаваемого порядка матрицы <math>n</math>.

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph2.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания, каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания, а вершины, окрашенные серым, представляют собой промежуточные точки синхронизации.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' число <math>n</math> - порядок матрицы Адамара <math>H_n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n</math> - натуральное;
* <math>n</math> делится на 4;
* <math>n-1</math> - простое.
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>).

'''Выходные данные:''' построенная матрица Адамара <math>H_n</math> (её элементы <math>h_{ij}</math>).

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара размера <math>n*n</math>).

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов является квадратичным.

Вычислительная мощность алгоритма является постоянной (<math>O(1)</math>).

Алгоритм является полностью детерминированным.

Для вершин <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math> информационного графа степени исхода являются линейными, что означает, что при возможности на этапе реализации необходимо позаботиться об эффективном доступе к элементам массива "<math>residues</math>".

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма построения матрицы Адамара проводилось на суперкомпьютере «Ломоносов». Для этого была исследована собственная реализация алгоритма с использованием средств MPI. В ходе исследования было произведено множество запусков программы с различными значениями параметра <math>n</math> (размер матрицы Адамара) и числом процессоров.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
*число процессоров (p): [2,64] с шагом 2;
*размер матрицы: простые числа в диапазоне [4,10000].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:
*минимальная эффективность реализации 0.0000029% при n=4, p=2;
*максимальная эффективность реализации 0.323409% при n=908, p=2.

Ниже представлены графики времени работы, производительности и эффективности данной реализации алгоритма построения матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.
[[Файл:time_graph.png|500px|thumb|center|Время работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:perform_graph.png|500px|thumb|center|Изменение производительности параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:efficiency_graph.png|500px|thumb|center|Эффективность работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]

[https://github.com/snikersman/Hadamard Исследованная параллельная реализация на языке C++]

Построим оценки масштабируемости, используя полученные результаты:
*По размерности задачи. Увеличение размерности задачи приводит к увеличению производительности.
*По числу процессоров. С ростом числа процессоров растет производительность, но при малых размерностях задачи этот рост незначителен. Это связано с дополнительными издержками по записи в участок памяти каждого процессора вспомогательного массива вычетов, а также с обменом информации между процессорами.
*По двум направлениям. При увеличении как числа процессоров, так и размерности задачи, производительность увеличивается. Причем чем больше используется процессоров, тем сильнее увеличивается производительность при увеличении размерности.

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-11-22T09:07:42Z

Tsyganov Nikita: /* Свойства и структура алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

Авторы статьи: [[Участник:Nikita|Иванов Н.В.]] (1.1,1.7,1.9,1.10,2.4,2.7), [[Участник:Tsyganov Nikita|Цыганов Н.И.]] (1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,2.4).

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики.<ref name="rt">http://cyberleninka.ru/article/n/matritsy-adamara-nechetnogo-poryadka.pdf</ref> Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). <ref name="rt2">Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57</ref> Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

=== Математическое описание алгоритма ===

Для решения поставленной задачи будем использовать метод Пейли.
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.<ref name="rt3">http://tc.nsu.ru/uploads/codingtheory.pdf</ref>

Исходные данные алгоритма - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Под сложностью будем понимать зависимость числа операций от задаваемого порядка матрицы <math>n</math>.

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph2.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания, каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания, а вершины, окрашенные серым, представляют собой промежуточные точки синхронизации.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' число <math>n</math> - порядок матрицы Адамара <math>H_n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n</math> - натуральное;
* <math>n</math> делится на 4;
* <math>n-1</math> - простое.
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>).

'''Выходные данные:''' построенная матрица Адамара <math>H_n</math> (её элементы <math>h_{ij}</math>).

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара размера <math>n*n</math>).

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов является квадратичным.

Вычислительная мощность алгоритма является постоянной (<math>O(1)</math>).

Алгоритм является полностью детерминированным.

Для вершин <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math> информационного графа степени исхода являются линейными, что означает, что при возможности на этапе реализации необходимо позаботиться об эффективном доступе к элементам массива "<math>residues</math>".

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма построения матрицы Адамара проводилось на суперкомпьютере «Ломоносов». Для этого была исследована собственная реализация алгоритма с использованием средств MPI. В ходе исследования было произведено множество запусков программы с различными значениями параметра <math>n</math> (размер матрицы Адамара) и числом процессоров.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
*число процессоров (p): [2,64] с шагом 2;
*размер матрицы: простые числа в диапазоне [4,10000].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:
*минимальная эффективность реализации 0.0000029% при n=4, p=2;
*максимальная эффективность реализации 0.323409% при n=908, p=2.

Ниже представлены графики времени работы, производительности и эффективности данной реализации алгоритма построения матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.
[[Файл:time_graph.png|500px|thumb|center|Время работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:perform_graph.png|500px|thumb|center|Изменение производительности параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:efficiency_graph.png|500px|thumb|center|Эффективность работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]

[https://github.com/snikersman/Hadamard Исследованная параллельная реализация на языке C++]

Построим оценки масштабируемости, используя полученные результаты:
*По размерности задачи. Увеличение размерности задачи приводит к увеличению производительности.
*По числу процессоров. С ростом числа процессоров растет производительность, но при малых размерностях задачи этот рост незначителен. Это связано с дополнительными издержками по записи в участок памяти каждого процессора вспомогательного массива вычетов, а также с обменом информации между процессорами.
*По двум направлениям. При увеличении как числа процессоров, так и размерности задачи, производительность увеличивается. Причем чем больше используется процессоров, тем сильнее увеличивается производительность при увеличении размерности.

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-11-19T20:54:29Z

Tsyganov Nikita: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{Assignment|Sleo}}
{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

Авторы статьи: [[Участник:Nikita|Иванов Н.В.]] (1.1,1.7,1.9,1.10,2.7), [[Участник:Tsyganov Nikita|Цыганов Н.И.]] (1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8).

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики.<ref name="rt">http://cyberleninka.ru/article/n/matritsy-adamara-nechetnogo-poryadka.pdf</ref> Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). <ref name="rt2">Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57</ref> Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.<ref name="rt3">http://tc.nsu.ru/uploads/codingtheory.pdf</ref>

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Под сложностью будем понимать зависимость числа операций от задаваемого порядка матрицы <math>n</math>.

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph2.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания, каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания, а вершины, окрашенные серым, представляют собой промежуточные точки синхронизации.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' число <math>n</math> - порядок матрицы Адамара <math>H_n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n</math> - натуральное;
* <math>n</math> делится на 4;
* <math>n-1</math> - простое.
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>).

'''Выходные данные:''' построенная матрица Адамара <math>H_n</math> (её элементы <math>h_{ij}</math>).

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара размера <math>n*n</math>).

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов является квадратичным.

Вычислительная мощность алгоритма является постоянной (<math>O(1)</math>).

Алгоритм является полностью детерминированным.

Для вершин <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math> информационного графа степени исхода являются линейными, что означает, что при возможности на этапе реализации необходимо позаботиться об эффективном доступе к элементам массива "<math>residues</math>".

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма построения матрицы Адамара проводилось на суперкомпьютере «Ломоносов». Для этого была исследована собственная реализация алгоритма с использованием средств MPI. В ходе исследования было произведено множество запусков программы с различными значениями параметра <math>n</math> (размер матрицы Адамара) и числом процессоров.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
*число процессоров (p): [2,64] с шагом 2;
*размер матрицы: простые числа в диапазоне [4,10000].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:
*минимальная эффективность реализации 0.0000029% при n=4, p=2;
*максимальная эффективность реализации 0.323409% при n=908, p=2.

Ниже представлены графики времени работы, производительности и эффективности данной реализации алгоритма построения матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.
[[Файл:time_graph.png|500px|thumb|center|Время работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:perform_graph.png|500px|thumb|center|Изменение производительности параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:efficiency_graph.png|500px|thumb|center|Эффективность работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]

[https://github.com/snikersman/Hadamard Исследованная параллельная реализация на языке C++]

Построим оценки масштабируемости, используя полученные результаты:
*По размерности задачи. Увеличение размерности задачи приводит к увеличению производительности.
*По числу процессоров. С ростом числа процессоров растет производительность, но при малых размерностях задачи этот рост незначителен. Это связано с дополнительными издержками по записи в участок памяти каждого процессора вспомогательного массива вычетов, а также с обменом информации между процессорами.
*По двум направлениям. При увеличении как числа процессоров, так и размерности задачи, производительность увеличивается. Причем чем больше используется процессоров, тем сильнее увеличивается производительность при увеличении размерности.

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-11-19T20:52:45Z

Tsyganov Nikita: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{Assignment|Sleo}}
{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

Авторы статьи: [[Участник:Nikita|Иванов Н.В.]] (1.1,1.7,1.9,1.10,2.7), [[Участник:Tsyganov Nikita|Цыганов Н.И.]] (1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8).

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики.<ref name="rt">http://cyberleninka.ru/article/n/matritsy-adamara-nechetnogo-poryadka.pdf</ref> Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). <ref name="rt2">Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57</ref> Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.<ref name="rt3">http://tc.nsu.ru/uploads/codingtheory.pdf</ref>

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Под сложностью будем понимать зависимость числа операций от задаваемого порядка матрицы <math>n</math>.

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph2.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания, каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания, а вершины, окрашенные серым, представляют собой промежуточные точки синхронизации.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' число <math>n</math> - порядок матрицы Адамара <math>H_n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n</math> - натуральное;
* <math>n</math> делится на 4;
* <math>n-1</math> - простое.
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>).

'''Выходные данные:''' построенная матрица Адамара <math>H_n</math> (её элементы <math>h_{ij}</math>).

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара размера <math>n*n</math>).

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов является квадратичным.

Вычислительная мощность алгоритма является постоянной (<math>O(1)</math>).

Алгоритм является полностью детерминированным.

Для вершин <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math> информационного графа степени исхода являются линейными, что означает, что при возможности на этапе реализации необходимо позаботиться об эффективном доступе к элементам массива "<math>residues</math>".

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма построения матрицы Адамара проводилось на суперкомпьютере «Ломоносов». Для этого была исследована собственная реализация алгоритма с использованием средств MPI. В ходе исследования было произведено множество запусков программы с различными значениями параметра <math>n</math> (размер матрицы Адамара) и числом процессоров.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
*число процессоров (p): [2,64] с шагом 2;
*размер матрицы: простые числа в диапазоне [4,10000].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:
*минимальная эффективность реализации 0.0000029% при n=4, p=2;
*максимальная эффективность реализации 0.323409% при n=908, p=2.

Ниже представлены графики времени работы, производительности и эффективности данной реализации алгоритма построения матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.
[[Файл:time_graph.png|500px|thumb|center|Время работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:perform_graph.png|500px|thumb|center|Изменение производительности параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:efficiency_graph.png|500px|thumb|center|Эффективность работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]

[https://github.com/snikersman/Hadamard Исследованная параллельная реализация на языке C++]

Построим оценки масштабируемости, используя полученные результаты:
*По размерности задачи. Увеличение размерности задачи приводит к увеличению производительности. Причем чем больше используется процессоров, тем сильнее увеличивается производительность при увеличении размерности.
*По числу процессоров. С ростом числа процессоров растет производительность, но при малых размерностях задачи этот рост незначителен. Это связано с дополнительными издержками по записи в участок памяти каждого процессора вспомогательного массива вычетов, а также с обменом информации между процессорами.
*По двум направлениям. При увеличении как числа процессоров, так и размерности задачи, производительность увеличивается.

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-11-19T20:50:29Z

Tsyganov Nikita: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{Assignment|Sleo}}
{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

Авторы статьи: [[Участник:Nikita|Иванов Н.В.]] (1.1,1.7,1.9,1.10,2.7), [[Участник:Tsyganov Nikita|Цыганов Н.И.]] (1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8).

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики.<ref name="rt">http://cyberleninka.ru/article/n/matritsy-adamara-nechetnogo-poryadka.pdf</ref> Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). <ref name="rt2">Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57</ref> Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.<ref name="rt3">http://tc.nsu.ru/uploads/codingtheory.pdf</ref>

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Под сложностью будем понимать зависимость числа операций от задаваемого порядка матрицы <math>n</math>.

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph2.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания, каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания, а вершины, окрашенные серым, представляют собой промежуточные точки синхронизации.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' число <math>n</math> - порядок матрицы Адамара <math>H_n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n</math> - натуральное;
* <math>n</math> делится на 4;
* <math>n-1</math> - простое.
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>).

'''Выходные данные:''' построенная матрица Адамара <math>H_n</math> (её элементы <math>h_{ij}</math>).

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара размера <math>n*n</math>).

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов является квадратичным.

Вычислительная мощность алгоритма является постоянной (<math>O(1)</math>).

Алгоритм является полностью детерминированным.

Для вершин <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math> информационного графа степени исхода являются линейными, что означает, что при возможности на этапе реализации необходимо позаботиться об эффективном доступе к элементам массива "<math>residues</math>".

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма построения матрицы Адамара проводилось на суперкомпьютере «Ломоносов». Для этого была исследована собственная реализация алгоритма с использованием средств MPI. В ходе исследования было произведено множество запусков программы с различными значениями параметра <math>n</math> (размер матрицы Адамара) и числом процессоров.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
*число процессоров (p): [2,64] с шагом 2;
*размер матрицы: простые числа в диапазоне [4,10000].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:
*минимальная эффективность реализации 0.0000029% при n=4, p=2;
*максимальная эффективность реализации 0.323409% при n=908, p=2.

Ниже представлены графики времени работы, производительности и эффективности данной реализации алгоритма построения матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.
[[Файл:time_graph.png|500px|thumb|center|Время работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:perform_graph.png|500px|thumb|center|Изменение производительности параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:efficiency_graph.png|500px|thumb|center|Эффективность работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]

[https://github.com/snikersman/Hadamard Исследованная параллельная реализация на языке C++]

Построим оценки масштабируемости, используя полученные результаты:
*По размерности задачи. Увеличение размерности задачи приводит к увеличению производительности. Причем чем больше используется процессоров, тем сильнее увеличивается производительность при увеличении размерности.
*По числу процессоров. С ростом числа процессоров растет производительность, но при малых размерностях задачи этот рост незначителен. Это связано с дополнительными издержками по записи в участок памяти каждого процессора вспомогательного массива вычетов, а также с обменом информации между процессорами.

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-11-19T20:46:28Z

Tsyganov Nikita: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

{{Assignment|Sleo}}
{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

Авторы статьи: [[Участник:Nikita|Иванов Н.В.]] (1.1,1.7,1.9,1.10,2.7), [[Участник:Tsyganov Nikita|Цыганов Н.И.]] (1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8).

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики.<ref name="rt">http://cyberleninka.ru/article/n/matritsy-adamara-nechetnogo-poryadka.pdf</ref> Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). <ref name="rt2">Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57</ref> Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.<ref name="rt3">http://tc.nsu.ru/uploads/codingtheory.pdf</ref>

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Под сложностью будем понимать зависимость числа операций от задаваемого порядка матрицы <math>n</math>.

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph2.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания, каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания, а вершины, окрашенные серым, представляют собой промежуточные точки синхронизации.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' число <math>n</math> - порядок матрицы Адамара <math>H_n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n</math> - натуральное;
* <math>n</math> делится на 4;
* <math>n-1</math> - простое.
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>).

'''Выходные данные:''' построенная матрица Адамара <math>H_n</math> (её элементы <math>h_{ij}</math>).

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара размера <math>n*n</math>).

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов является квадратичным.

Вычислительная мощность алгоритма является постоянной (<math>O(1)</math>).

Алгоритм является полностью детерминированным.

Для вершин <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math> информационного графа степени исхода являются линейными, что означает, что при возможности на этапе реализации необходимо позаботиться об эффективном доступе к элементам массива "<math>residues</math>".

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

Исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма построения матрицы Адамара проводилось на суперкомпьютере «Ломоносов». Для этого была исследована собственная реализация алгоритма с использованием средств MPI. В ходе исследования было произведено множество запусков программы с различными значениями параметра <math>n</math> (размер матрицы Адамара) и числом процессоров.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
*число процессоров (p): [2,64] с шагом 2;
*размер матрицы: простые числа в диапазоне [4,10000].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:
*минимальная эффективность реализации 0.0000029% при n=4, p=2;
*максимальная эффективность реализации 0.323409% при n=908, p=2.

Ниже представлены графики времени работы, производительности и эффективности данной реализации алгоритма построения матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.
[[Файл:time_graph.png|500px|thumb|center|Время работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:perform_graph.png|500px|thumb|center|Изменение производительности параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]
[[Файл:efficiency_graph.png|500px|thumb|center|Эффективность работы параллельного алгоритма в зависимости от размерности системы и числа процессоров.]]

[https://github.com/snikersman/Hadamard Исследованная параллельная реализация на языке C++]
Построим оценки масштабируемости, используя полученные результаты:
*По размерности задачи. Увеличение размерности задачи приводит к увеличению производительности. Причем чем больше используется процессоров, тем сильнее увеличивается производительность при увеличении размерности.
*По числу процессоров. С ростом числа процессоров растет производительность, но при малых размерностях задачи этот рост незначителен. Это связано с дополнительными издержками по

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

Участник:Tsyganov Nikita

2016-10-15T19:17:04Z

Tsyganov Nikita:

Цыганов Никита, студент 611 группы

[[Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара]]

Участник:Tsyganov Nikita

2016-10-15T19:16:49Z

Tsyganov Nikita:

Цыганов Никита, студент 611 группы
Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

Участник:Tsyganov Nikita

2016-10-15T19:15:20Z

Tsyganov Nikita:

Цыганов Никита, студент 611 группы

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T19:12:01Z

Tsyganov Nikita: /* Последовательная сложность алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

Авторы статьи: [[Участник:Nikita|Иванов Н.В.]] (1.1,1.7,1.9,2.7), [[Участник:Tsyganov Nikita|Цыганов Н.И.]] (1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7).

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Под сложностью будем понимать зависимость числа операций от задаваемого порядка матрицы <math>n</math>.

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания. А каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' порядок матрицы Адамара <math>n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n>0</math>
* <math>n</math> делится на 4
* <math>n-1</math> - простое число
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>)

'''Выходные данные:''' матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>)

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара порядка <math>n</math>)

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

[1] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T18:38:56Z

Tsyganov Nikita: /* Схема реализации последовательного алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang="C">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания. А каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' порядок матрицы Адамара <math>n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n>0</math>
* <math>n</math> делится на 4
* <math>n-1</math> - простое число
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>)

'''Выходные данные:''' матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>)

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара порядка <math>n</math>)

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

[1] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T18:03:39Z

Tsyganov Nikita: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания. А каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из этого можно сделать вывод, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' порядок матрицы Адамара <math>n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n>0</math>
* <math>n</math> делится на 4
* <math>n-1</math> - простое число
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>)

'''Выходные данные:''' матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>)

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара порядка <math>n</math>)

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

[1] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T18:02:38Z

Tsyganov Nikita: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

[[Файл:i_graph.png]]

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания. А каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Как видно из информационного графа алгоритма, в параллельном варианте необходимо последовательно выполнить следующие блоки:

* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>\frac{n}{2}-1</math> участков, состоящих из трёх операций: умножения, взятия остатка и присваивания;
* <math>n-1</math> операций присваивания;
* <math>n^2</math> операций присваивания.

Из чего следует, что высота ярусно-параллельной формы информационного графа равняется 6 (присваивание, умножение, взятие остатка, присваивание, присваивание, присваивание). Ширина ярусно-параллельной формы равняется <math>n^2</math>, что означает, что при использовании <math>n^2</math> процессоров матрица Адамара будет строиться за 6 операций.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' порядок матрицы Адамара <math>n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n>0</math>
* <math>n</math> делится на 4
* <math>n-1</math> - простое число
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>)

'''Выходные данные:''' матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>)

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара порядка <math>n</math>)

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

[1] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T17:17:37Z

Tsyganov Nikita: /* Информационный граф */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

Каждая вершина из <math>A_1-A_{n-1}</math>, <math>C_1-C_{n-1}</math>, <math>D_1-D_{n^2}</math> соответствует операции присваивания. А каждая вершина из <math>B_1-B_{\frac{n}{2}-1}</math> соответствует трём последовательным операциям: умножения, взятия остатка по модулю и присваивания.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' порядок матрицы Адамара <math>n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n>0</math>
* <math>n</math> делится на 4
* <math>n-1</math> - простое число
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>)

'''Выходные данные:''' матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>)

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара порядка <math>n</math>)

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

[1] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T17:05:32Z

Tsyganov Nikita: /* Последовательная сложность алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+\frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' порядок матрицы Адамара <math>n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n>0</math>
* <math>n</math> делится на 4
* <math>n-1</math> - простое число
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>)

'''Выходные данные:''' матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>)

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара порядка <math>n</math>)

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

[1] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T17:05:11Z

Tsyganov Nikita: /* Последовательная сложность алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+frac{5}{2}n-3</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' порядок матрицы Адамара <math>n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n>0</math>
* <math>n</math> делится на 4
* <math>n-1</math> - простое число
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>)

'''Выходные данные:''' матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>)

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара порядка <math>n</math>)

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

[1] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T16:41:57Z

Tsyganov Nikita: /* Информационный граф */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+2n-2</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

Информационный граф алгоритма можно представить в виде четырёх последовательных блоков. Первый блок содержит <math>n-1</math> параллельных ветвей, второй блок - <math>\frac{n}{2}-1</math> параллельных ветвей, третий - <math>n-1</math> и четвёртый - <math>n^2</math>.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные:''' порядок матрицы Адамара <math>n</math>. Дополнительные ограничения на <math>n</math>:
* <math>n>0</math>
* <math>n</math> делится на 4
* <math>n-1</math> - простое число
'''Объем входных данных:''' 1 (число <math>n</math>)

'''Выходные данные:''' матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>)

'''Объем выходных данных:''' <math>n^2</math> (количество элементов матрицы Адамара порядка <math>n</math>)

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/hadamard.html?requestedDomain=www.mathworks.com MATLAB] (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
* [http://r-survey.r-forge.r-project.org/survey/html/hadamard.html R]
* [https://reference.wolframcloud.com/cloudplatform/ref/HadamardMatrix.html Wolfram Mathematica]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.linalg.hadamard.html SciPy для Python]

== Литература ==

[1] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T09:07:15Z

Tsyganov Nikita: /* Общее описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+2n-2</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

[1] http://info.sernam.ru/book_tcod.php?id=16

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T08:46:41Z

Tsyganov Nikita: /* Последовательная сложность алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Известно большое число методов построения, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+2n-2</math> операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

[1] http://info.sernam.ru/book_tcod.php?id=16

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-15T08:10:45Z

Tsyganov Nikita: /* Последовательная сложность алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Известно большое число методов построения, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Основными операциями алгоритма являются:

* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций умножения;
* <math>\frac{n}{2}-2</math> операций взятия остатка;
* <math>n^2+2n-2</math> операций присваивания.

Следовательно, алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

[1] http://info.sernam.ru/book_tcod.php?id=16

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T14:47:03Z

Tsyganov Nikita: /* Схема реализации последовательного алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Известно большое число методов построения, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на <math>4</math>, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

<references \>

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T14:46:24Z

Tsyganov Nikita: /* Схема реализации последовательного алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

<math>H_1 = (1)</math>
<math>,
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
</math>,
<math>,
H_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
</math>

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Известно большое число методов построения, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

====Метод Пейли====
Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.

'''Определение.''' Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция <math>X(i)</math>, называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:
* <math>X(i)=0</math>, если i кратно p;
* <math>X(i)=1</math>, если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
* <math>X(i)=-1</math>, если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_{ij})</math>. Она представляет собой <math>(p*p)</math>-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_{ij}=X(j-i)</math>.

Пусть теперь <math>
H =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1^T & Q-I\end{pmatrix}
</math>.

Доказано, что такая матрица <math>H</math> представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы <math>n</math> и ссылка на заполняемую матрицу <math>result</math>. Считаем, что <math>n</math> положительно, делится на 4, <math>n-1</math> - простое число, а размер матрицы <math>result</math> равен <math>n \times n</math>.

<source lang=c++">
void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
int p=n-1;
vector<int> residues;
residues.resize(2*p);
// Заполняем массив
for (int i=0; i<p; i++) {
residue[i] = -1;
}
for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
residue[i^2 % p] = 1;
}
for (int i=p; i<2*p; i++) {
residue[i] = residue[i-p];
}

// 2) Построение матрицы Адамара
// Заполнение первой строки 1-цами
for (int j=0; j<n; j++) {
result[0][j] = 1;
}
// Заполнение первого столбца 1-цами
for (int i=1; i<n; i++) {
result[i][0] = 1;
}
// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
for (int i=1; i<n; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
result[i][j] = residues[j-i+p];
}
}
}
</source>

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

<references \>

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T13:36:16Z

Tsyganov Nikita: /* Макроструктура алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Для матриц Адамара справедлива следующая '''гипотеза''': если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4, однако до сих пор не была доказана.

Примеры матриц (1,2,4,8)

Предполагается, что существуют матрицы Адамара всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Известно большое число методов построения, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования. Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.
Сначала мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_ij)</math>. Она представляет собой (pxp)-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_ij=X(j-i)</math>

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T13:35:56Z

Tsyganov Nikita: /* Макроструктура алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Для матриц Адамара справедлива следующая '''гипотеза''': если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4, однако до сих пор не была доказана.

Примеры матриц (1,2,4,8)

Предполагается, что существуют матрицы Адамара всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Известно большое число методов построения, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования. Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.
Сначала мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_ij)</math>. Она представляет собой (pxp)-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_ij=X(j-i)</math>

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма соответствует его математическому описанию.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T13:33:29Z

Tsyganov Nikita: /* Математическое описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Для матриц Адамара справедлива следующая '''гипотеза''': если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4, однако до сих пор не была доказана.

Примеры матриц (1,2,4,8)

Предполагается, что существуют матрицы Адамара всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Известно большое число методов построения, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования. Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.
Сначала мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_ij)</math>. Она представляет собой (pxp)-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_ij=X(j-i)</math>

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:
:1. Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>.
:: Первые <math>p</math> элементов вектора <math>R</math> (<math>i=0,1,...,p-1</math>) определяются следующим образом:
::: <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
::: <math>r_i=-1</math>, иначе.
::Вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов:
:::<math>r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.</math>
:2. Строится матрица Адамара <math>H</math>.
::Элементы матрицы Адамара <math>H</math> находятся следующим образом:
::: <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
::: <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T13:15:25Z

Tsyganov Nikita: /* Математическое описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Для матриц Адамара справедлива следующая '''гипотеза''': если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4, однако до сих пор не была доказана.

Примеры матриц (1,2,4,8)

Предполагается, что существуют матрицы Адамара всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Известно большое число методов построения, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования. Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.
Сначала мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_ij)</math>. Она представляет собой (pxp)-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_ij=X(j-i)</math>

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>, <math>i=p,1,...,2p-1</math), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
** <math>r_i=-1</math>, иначе.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
** <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

Алгоритм:
# Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>;
# Строится матрица Адамара <math>H</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T13:06:56Z

Tsyganov Nikita: /* Вычислительное ядро алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
* Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Для матриц Адамара справедлива следующая '''гипотеза''': если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4, однако до сих пор не была доказана.

Примеры матриц (1,2,4,8)

Предполагается, что существуют матрицы Адамара всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Известно большое число методов построения, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования. Это построение дает матрицы Адамара любого порядка <math>n=p+1</math>, кратного 4, где p-простое число.
Сначала мы построим матрицу Джекобстола <math>Q=(q_ij)</math>. Она представляет собой (pxp)-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы <math>q_ij=X(j-i)</math>

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
** <math>r_i=-1</math>, иначе.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
** <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

Алгоритм:
# Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>;
# Строится матрица Адамара <math>H</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания следующего вида:

:<math>h_{ij}=r_{j-i+p},</math> <math> i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T12:59:29Z

Tsyganov Nikita: /* Вычислительное ядро алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара

Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной.

Для матриц Адамара справедливо следующее утверждение: если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4.

Примеры матриц (1,2,4,8)

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
** <math>r_i=-1</math>, иначе.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
** <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

Алгоритм:
# Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>;
# Строится матрица Адамара <math>H</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро алгоритма состоит из <math>(n-1) \times (n-1)</math> операций присваивания вида <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T12:57:51Z

Tsyganov Nikita: /* Математическое описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара

Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной.

Для матриц Адамара справедливо следующее утверждение: если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4.

Примеры матриц (1,2,4,8)

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
** <math>r_i=-1</math>, иначе.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
** <math>h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

Алгоритм:
# Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>;
# Строится матрица Адамара <math>H</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T12:57:10Z

Tsyganov Nikita: /* Математическое описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара

Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной.

Для матриц Адамара справедливо следующее утверждение: если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4.

Примеры матриц (1,2,4,8)

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
** <math>r_i=-1</math>, иначе.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
** <math>h_{1j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{i1}=1, i=1,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

Алгоритм:
# Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>;
# Строится матрица Адамара <math>H</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T12:55:14Z

Tsyganov Nikita: /* Математическое описание алгоритма */

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара

Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной.

Для матриц Адамара справедливо следующее утверждение: если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4.

Примеры матриц (1,2,4,8)

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
** <math>r_i=-1</math>, иначе.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
** <math>h_{1j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{i1}=1, i=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.</math>

Алгоритм:
# Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>;
# Строится матрица Адамара <math>H</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T12:44:20Z

Tsyganov Nikita:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара

Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной.

Для матриц Адамара справедливо следующее утверждение: если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4.

Примеры матриц (1,2,4,8)

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
** <math>r_i=-1</math>, иначе.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
** <math>h_{1j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{i1}=1, i=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=0,1, ... ,n-1, j=0,1, ... ,n-1.</math>

Алгоритм:
# Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>;
# Строится матрица Адамара <math>H</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T12:42:16Z

Tsyganov Nikita:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара

Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной.

Для матриц Адамара справедливо следующее утверждение: если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4.

Примеры матриц (1,2,4,8)

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
** <math>r_i=-1</math>, иначе.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
** <math>h_{1j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{i1}=1, i=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=0,1, ... ,n-1, j=0,1, ... ,n-1.</math>

Алгоритм:
1) Строится вектор квадратичных вычетов <math>R</math>;
2) Строится матрица Адамара <math>H</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T12:37:24Z

Tsyganov Nikita:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара

Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной.

Для матриц Адамара справедливо следующее утверждение: если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4.

Примеры матриц (1,2,4,8)

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
** <math>r_i=-1</math>, иначе.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
** <math>h_{1j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{i1}=1, i=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=0,1, ... ,n-1, j=0,1, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T12:35:35Z

Tsyganov Nikita:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

'''''Матрицей Адамара порядка n''''' называется <math>n*n</math> матрица <math>H</math>, элементами которой являются +1 и −1 такая, что <math>H H^T = n E_n</math>,
где <math>E_n</math> - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими ''свойствами'':
* Различные строки матрицы ортогональны
* Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
* Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара

Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной.

Для матриц Адамара справедливо следующее утверждение: если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4.

Примеры матриц (1,2,4,8)

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>;
** <math>r_i=-1</math>, иначе.

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
** <math>h_{1j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{i1}=1, i=0,1, ... ,n-1;</math>
** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=0,1, ... ,n-1, j=0,1, ... ,n-1.</math>

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T10:48:46Z

Tsyganov Nikita:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара <math>n</math>, удовлетворяющее следующим свойствам:

* <math>n>0</math>;

* <math>n</math> делится на 4;

* <math>n-1</math> - простое число.

Вспомогательные данные:

* Число <math>p=n-1</math>;
* Вектор вычетов <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идет от нуля, первые <math>p</math> элементов образуются следующим образом:
** ыфвыв

Вычисляемые данные:

* Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

2016-10-14T09:52:30Z

Tsyganov Nikita:

{{algorithm
| name = Построение матрицы Адамара
| serial_complexity = <math>O(n^2)</math>
| pf_height = <math>O(1)</math>
| pf_width = <math>O(n^2)</math>
| input_data = <math>1</math>
| output_data = <math>n^2</math>
}}

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

=== Математическое описание алгоритма ===

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

=== Макроструктура алгоритма ===

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

=== Последовательная сложность алгоритма ===

=== Информационный граф ===

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

=== Свойства алгоритма ===

== Программная реализация алгоритма ==

=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===

=== Локальность данных и вычислений ===

=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===

=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===

=== Выводы для классов архитектур ===

=== Существующие реализации алгоритма ===

== Литература ==

Участник:Tsyganov Nikita

2016-10-14T09:23:42Z

Tsyganov Nikita:

[[Участник:Tsyganov Nikita/Построение матрицы Адамара]]

[[Участник:Tsyganov Nikita/Построение матрицы Адамара произвольного размера]]

[[Участник:Tsyganov Nikita/Построить матрицу Адамара произвольного размера]]

Участник:Tsyganov Nikita

2016-10-14T09:23:17Z

Tsyganov Nikita:

[[Участник:Tsyganov Nikita/Построение матрицы Адамара]]

[[Участник:Tsyganov Nikita/Построение матрицы Адамара произвольного размера]]

Участник:Tsyganov Nikita

2016-10-14T09:22:51Z

Tsyganov Nikita:

[[Участник:Tsyganov Nikita/Построение матрицы Адамара]]
[[Участник:Tsyganov Nikita/Построение матрицы Адамара произвольного размера]]

Участник:Tsyganov Nikita

2016-10-14T09:11:47Z

Tsyganov Nikita:

[[Участник:Tsyganov Nikita/Построение матрицы Адамара]]

Участник:Tsyganov Nikita

2016-10-14T08:55:40Z

Tsyganov Nikita: Новая страница: «Участник:Tsyganov Nikita/Построить матрицу Адамара произвольного размера»

[[Участник:Tsyganov Nikita/Построить матрицу Адамара произвольного размера]]