Алговики - Вклад [ru]

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-12-07T14:24:49Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов".
{| class="wikitable"
|-
! Компилятор C++
|-
| Intel 13.0.1 + impi 4.1.0
|-
|}

1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|300px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|1
|479.915
|-
|2
|492.614
|-
|4
|313.172
|-
|8
|170.866
|-
|16
|82.375
|-
|32
|43.812
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|300px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|1
|600.270
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

=== Реализация с помощью NVIDIA CUDA ===

Использовалось следующее программное обеспечение:

{| class="wikitable"
|-
! OS
|-
| Microsoft Windows 10 Education Edition
|-
| Ubuntu 16.10 Yakkety Yak
|}
{| class="wikitable"
|-
! Компиляторы C++
|-
| nvcc из пакета NVIDIA CUDA SDK 8.0.44 + Microsoft Visual C++ 2015(Windows)
|-
| nvcc из пакета NVIDIA CUDA SDK 8.0.44 + gcc-4.9(Linux)
|-
|}

Результаты тестирования получены на следующих машинах:

{| class="wikitable"
|-
! CPU
! RAM
! GPU
! OS
|-
| Core i5-3210m 3.1GHz
| 6Gb DDR3 1333MHz
| NVIDIA GT 640m 2.0Gb DDR3
| Ubuntu 16.10
|-
| Core i5-6600 3.9GHz
| 16Gb DDR4 2133MHz
| NVIDIA GTX 1070 8.0Gb GDDR5
| Ubuntu 16.10
|}

В программной реализации на CUDA изображение делится на окна меньшего размера.
Затем происходит отрисовка каждого окна, при этом цвета пикселей в каждом окне вычисляются параллельно.

[[File:CudaRaytracer_scene1.png | 500px]] [[File:CudaRaytracerPerformance.png| 500px]]

{| class="wikitable"
|-
! Лучей в окне
! GTX 1070
! GT 640m
|-
|512
|29.8 c
|58.0 c
|-
|1024
|15.2 c
|35.5 c
|-
|2048
|8.2 c
|25.2 c
|-
|4096
|4.6 c
|24.5 c
|-
|8192
|3.0 c
|23.5 c
|-
|16384
|3.1 c
|23.4 c
|-
|32768
|2.8 c
|23.2 c
|-
|65536
|2.5 c
|23.1 c
|-
|131072
|2.4 c
|23.0 c
|-
|}
Видно, что с ростом размера окна "исчезает" рост производительности. Это связано с накладными расходами на хранение данных в памяти GPU.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

[https://ru.wikipedia.org/wiki/RenderMan RenderMan] — очень известный пакет программ для рендеринга 3D-анимации, который был создан компанией Pixar в 1986 году.
Данный пакет использовался во множестве известных фильмов и мультфильмов, например: [https://en.wikipedia.org/wiki/Avatar_(2009_film) Аватар](2009), [https://en.wikipedia.org/wiki/Harry_Potter_and_the_Order_of_the_Phoenix_(film) Гарри Поттер и Орден Феникса](2007), [https://en.wikipedia.org/wiki/Finding_Nemo В поисках Немо](2003).

[https://ru.wikipedia.org/wiki/V-Ray V-Ray] — система рендеринга, разработанная компанией Chaos Group в 2000 году.
VRay — это рейтрейсный рендерер, в котором присутствует несколько алгоритмов просчета глобального освещения.

[http://www.nvidia.com/object/nvidia-iray.html NVIDIA IRay] — технология создания фотореалистичных изображений с использованием графических ускорителей, созданная компанией NVIDIA.

[https://ru.wikipedia.org/wiki/Mental_ray mental ray] — профессиональная система рендеринга и визуализации изображений, разработанная компанией mental images(является дочерней компанией NVIDIA) в 1986 году.
Использован в фильмах [https://en.wikipedia.org/wiki/Terminator_3:_Rise_of_the_Machines Терминатор 3: Восстание машин](2003), [https://en.wikipedia.org/wiki/Tron:_Legacy Трон: Наследие](2010).

[http://www.raytracing.ru/ Hydra Renderer] — это плагин для рендера реалистичных изображений в 3D Studio Max. Разработан при поддержке Лаборатории компьютерной графики и мультимедиа факультета ВМК МГУ.

= Литература =

1. [http://www.raytracegroundup.com/ Suffern, Kevin G. "Ray Tracing from the Ground Up / Kevin G. Suffern", 2007]

2. [http://www.scratchapixel.com/ Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!]

3. Параллельные вычисления на GPU. Архитектура и программная модель CUDA: Учеб. пособие / А.В. Боресков и др. - М.: Издательство Московского университета, 2012. - 336 с.

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
File:CudaRaytracer_scene1.png
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-12-07T14:24:01Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов".
{| class="wikitable"
|-
! Компилятор C++
|-
| Intel/13.0.1 + impi/4.1.0
|-
|}

1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|300px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|1
|479.915
|-
|2
|492.614
|-
|4
|313.172
|-
|8
|170.866
|-
|16
|82.375
|-
|32
|43.812
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|300px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|1
|600.270
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

=== Реализация с помощью NVIDIA CUDA ===

Использовалось следующее программное обеспечение:

{| class="wikitable"
|-
! OS
|-
| Microsoft Windows 10 Education Edition
|-
| Ubuntu 16.10 Yakkety Yak
|}
{| class="wikitable"
|-
! Компиляторы C++
|-
| nvcc из пакета NVIDIA CUDA SDK 8.0.44 + Microsoft Visual C++ 2015(Windows)
|-
| nvcc из пакета NVIDIA CUDA SDK 8.0.44 + gcc-4.9(Linux)
|-
|}

Результаты тестирования получены на следующих машинах:

{| class="wikitable"
|-
! CPU
! RAM
! GPU
! OS
|-
| Core i5-3210m 3.1GHz
| 6Gb DDR3 1333MHz
| NVIDIA GT 640m 2.0Gb DDR3
| Ubuntu 16.10
|-
| Core i5-6600 3.9GHz
| 16Gb DDR4 2133MHz
| NVIDIA GTX 1070 8.0Gb GDDR5
| Ubuntu 16.10
|}

В программной реализации на CUDA изображение делится на окна меньшего размера.
Затем происходит отрисовка каждого окна, при этом цвета пикселей в каждом окне вычисляются параллельно.

[[File:CudaRaytracer_scene1.png | 500px]] [[File:CudaRaytracerPerformance.png| 500px]]

{| class="wikitable"
|-
! Лучей в окне
! GTX 1070
! GT 640m
|-
|512
|29.8 c
|58.0 c
|-
|1024
|15.2 c
|35.5 c
|-
|2048
|8.2 c
|25.2 c
|-
|4096
|4.6 c
|24.5 c
|-
|8192
|3.0 c
|23.5 c
|-
|16384
|3.1 c
|23.4 c
|-
|32768
|2.8 c
|23.2 c
|-
|65536
|2.5 c
|23.1 c
|-
|131072
|2.4 c
|23.0 c
|-
|}
Видно, что с ростом размера окна "исчезает" рост производительности. Это связано с накладными расходами на хранение данных в памяти GPU.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

[https://ru.wikipedia.org/wiki/RenderMan RenderMan] — очень известный пакет программ для рендеринга 3D-анимации, который был создан компанией Pixar в 1986 году.
Данный пакет использовался во множестве известных фильмов и мультфильмов, например: [https://en.wikipedia.org/wiki/Avatar_(2009_film) Аватар](2009), [https://en.wikipedia.org/wiki/Harry_Potter_and_the_Order_of_the_Phoenix_(film) Гарри Поттер и Орден Феникса](2007), [https://en.wikipedia.org/wiki/Finding_Nemo В поисках Немо](2003).

[https://ru.wikipedia.org/wiki/V-Ray V-Ray] — система рендеринга, разработанная компанией Chaos Group в 2000 году.
VRay — это рейтрейсный рендерер, в котором присутствует несколько алгоритмов просчета глобального освещения.

[http://www.nvidia.com/object/nvidia-iray.html NVIDIA IRay] — технология создания фотореалистичных изображений с использованием графических ускорителей, созданная компанией NVIDIA.

[https://ru.wikipedia.org/wiki/Mental_ray mental ray] — профессиональная система рендеринга и визуализации изображений, разработанная компанией mental images(является дочерней компанией NVIDIA) в 1986 году.
Использован в фильмах [https://en.wikipedia.org/wiki/Terminator_3:_Rise_of_the_Machines Терминатор 3: Восстание машин](2003), [https://en.wikipedia.org/wiki/Tron:_Legacy Трон: Наследие](2010).

[http://www.raytracing.ru/ Hydra Renderer] — это плагин для рендера реалистичных изображений в 3D Studio Max. Разработан при поддержке Лаборатории компьютерной графики и мультимедиа факультета ВМК МГУ.

= Литература =

1. [http://www.raytracegroundup.com/ Suffern, Kevin G. "Ray Tracing from the Ground Up / Kevin G. Suffern", 2007]

2. [http://www.scratchapixel.com/ Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!]

3. Параллельные вычисления на GPU. Архитектура и программная модель CUDA: Учеб. пособие / А.В. Боресков и др. - М.: Издательство Московского университета, 2012. - 336 с.

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
File:CudaRaytracer_scene1.png
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-12-07T14:21:28Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов".

1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|300px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|1
|479.915
|-
|2
|492.614
|-
|4
|313.172
|-
|8
|170.866
|-
|16
|82.375
|-
|32
|43.812
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|300px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|1
|600.270
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

=== Реализация с помощью NVIDIA CUDA ===

Использовалось следующее программное обеспечение:

{| class="wikitable"
|-
! OS
|-
| Microsoft Windows 10 Education Edition
|-
| Ubuntu 16.10 Yakkety Yak
|}
{| class="wikitable"
|-
! Компиляторы C++
|-
| nvcc из пакета NVIDIA CUDA SDK 8.0.44 + Microsoft Visual C++ 2015(Windows)
|-
| nvcc из пакета NVIDIA CUDA SDK 8.0.44 + gcc-4.9(Linux)
|-
|}

Результаты тестирования получены на следующих машинах:

{| class="wikitable"
|-
! CPU
! RAM
! GPU
! OS
|-
| Core i5-3210m 3.1GHz
| 6Gb DDR3 1333MHz
| NVIDIA GT 640m 2.0Gb DDR3
| Ubuntu 16.10
|-
| Core i5-6600 3.9GHz
| 16Gb DDR4 2133MHz
| NVIDIA GTX 1070 8.0Gb GDDR5
| Ubuntu 16.10
|}

В программной реализации на CUDA изображение делится на окна меньшего размера.
Затем происходит отрисовка каждого окна, при этом цвета пикселей в каждом окне вычисляются параллельно.

[[File:CudaRaytracer_scene1.png | 500px]] [[File:CudaRaytracerPerformance.png| 500px]]

{| class="wikitable"
|-
! Лучей в окне
! GTX 1070
! GT 640m
|-
|512
|29.8 c
|58.0 c
|-
|1024
|15.2 c
|35.5 c
|-
|2048
|8.2 c
|25.2 c
|-
|4096
|4.6 c
|24.5 c
|-
|8192
|3.0 c
|23.5 c
|-
|16384
|3.1 c
|23.4 c
|-
|32768
|2.8 c
|23.2 c
|-
|65536
|2.5 c
|23.1 c
|-
|131072
|2.4 c
|23.0 c
|-
|}
Видно, что с ростом размера окна "исчезает" рост производительности. Это связано с накладными расходами на хранение данных в памяти GPU.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

[https://ru.wikipedia.org/wiki/RenderMan RenderMan] — очень известный пакет программ для рендеринга 3D-анимации, который был создан компанией Pixar в 1986 году.
Данный пакет использовался во множестве известных фильмов и мультфильмов, например: [https://en.wikipedia.org/wiki/Avatar_(2009_film) Аватар](2009), [https://en.wikipedia.org/wiki/Harry_Potter_and_the_Order_of_the_Phoenix_(film) Гарри Поттер и Орден Феникса](2007), [https://en.wikipedia.org/wiki/Finding_Nemo В поисках Немо](2003).

[https://ru.wikipedia.org/wiki/V-Ray V-Ray] — система рендеринга, разработанная компанией Chaos Group в 2000 году.
VRay — это рейтрейсный рендерер, в котором присутствует несколько алгоритмов просчета глобального освещения.

[http://www.nvidia.com/object/nvidia-iray.html NVIDIA IRay] — технология создания фотореалистичных изображений с использованием графических ускорителей, созданная компанией NVIDIA.

[https://ru.wikipedia.org/wiki/Mental_ray mental ray] — профессиональная система рендеринга и визуализации изображений, разработанная компанией mental images(является дочерней компанией NVIDIA) в 1986 году.
Использован в фильмах [https://en.wikipedia.org/wiki/Terminator_3:_Rise_of_the_Machines Терминатор 3: Восстание машин](2003), [https://en.wikipedia.org/wiki/Tron:_Legacy Трон: Наследие](2010).

[http://www.raytracing.ru/ Hydra Renderer] — это плагин для рендера реалистичных изображений в 3D Studio Max. Разработан при поддержке Лаборатории компьютерной графики и мультимедиа факультета ВМК МГУ.

= Литература =

1. [http://www.raytracegroundup.com/ Suffern, Kevin G. "Ray Tracing from the Ground Up / Kevin G. Suffern", 2007]

2. [http://www.scratchapixel.com/ Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!]

3. Параллельные вычисления на GPU. Архитектура и программная модель CUDA: Учеб. пособие / А.В. Боресков и др. - М.: Издательство Московского университета, 2012. - 336 с.

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
File:CudaRaytracer_scene1.png
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-26T10:58:09Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|1
|479.915
|-
|2
|492.614
|-
|4
|313.172
|-
|8
|170.866
|-
|16
|82.375
|-
|32
|43.812
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|1
|600.270
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/

2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-26T10:44:04Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|1
|479.915
|-
|2
|492.614
|-
|4
|313.172
|-
|8
|170.866
|-
|16
|82.375
|-
|32
|43.812
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/

2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-26T10:34:50Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|492.614
|-
|4
|313.172
|-
|8
|170.866
|-
|16
|82.375
|-
|32
|43.812
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/

2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-26T10:27:15Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|313.172
|-
|8
|170.866
|-
|16
|82.375
|-
|32
|43.812
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/

2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-26T10:22:26Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|170.866
|-
|16
|82.375
|-
|32
|43.812
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/

2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-26T10:18:06Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|82.375
|-
|32
|43.812
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/

2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-26T10:14:58Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|43.812
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/

2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-26T10:12:43Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|22.318
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/

2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-26T10:06:54Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|12.195
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/

2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T18:11:48Z

Vlamakarenko: /* Литература */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/

2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T18:11:31Z

Vlamakarenko: /* Литература */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

1. Kevin Suffern "Ray Tracing from the Ground Up", 2007 http://www.raytracegroundup.com/
2. "Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T18:06:12Z

Vlamakarenko: /* Литература */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

"Scratchapixel 2.0. Learn Computer Graphics From Scratch!". http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T17:55:03Z

Vlamakarenko: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N_p \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N_p - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T17:54:22Z

Vlamakarenko: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O\Big(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p}\Big)</math>, где <math>N_p</math> - число процессов.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T17:53:58Z

Vlamakarenko: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv).

Время работы: <math>O(\frac{depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays}}{N_p})</math>, где <math>N_p</math> - число процессов.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T17:51:23Z

Vlamakarenko: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>\Big[\frac{w \cdot h}{N - 1}\Big] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv). Время работы:

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T17:51:02Z

Vlamakarenko: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме первого поручим обработать свою часть изображения (каждый процесс обработает <math>[\frac{w \cdot h}{N - 1}] </math> пикселей, а оставшуюся часть работы поручим произвольному процессу). Первому процессу поручим принять работу и собрать итоговое изображение (используем MPI_Gatherv). Время работы:

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T17:45:57Z

Vlamakarenko: /* Ресурс параллелизма алгоритма */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

Из информационного графа видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других, а затем происходит соединение всех пикселей в итоговое изображение. Пусть <math>N \geqslant 2</math> - количество процессов. Всем процессам, кроме одного поручим визуализировать сцену (каждый процесс обработает <math>[\frac{w \cdot h}{N - 1}] </math> пикселей, а оставшуюся часть пикселей поручим обработать произвольному процессу), а другому поручим принять работу процессов и склеить в итоговое изображение.

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T17:38:23Z

Vlamakarenko: /* Информационный граф */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T17:29:51Z

Vlamakarenko: /* Информационный граф */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

[[file: Raytracer_graph.png|400px]]

Зеленые вершины - генерация лучей для данного пикселя. 
Желтые вершины - трассировка лучей данного пикселя.

Видно, что обработка каждого пикселя происходит независимо от других пикселей.

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T14:31:25Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

2) 
Размер изображения 1340 на 1340 пикселей, 1024 лучей на пиксел, глубина рекурсии 5. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene8.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|610.583
|-
|4
|243.261
|-
|8
|136.025
|-
|16
|67.517
|-
|32
|33.467
|-
|64
|17.234
|-
|128
|9.361
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Файл:Raytracer scene8.jpeg

2016-11-25T14:25:45Z

Vlamakarenko:

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T13:39:17Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===
1) 
Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T13:00:35Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T12:59:57Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|1024
|6.741
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (собственно визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-25T00:16:23Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы параллельной части алгоритма (собственно визуализация) мало по сравнению с накладными расходами MPI и временем, которое расходуется на инициализацию сцены (загрузка сцены из файла, построение оптимизирующих структур данных для ускорения визуализации 3d-моделей).

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T15:11:43Z

Vlamakarenko: /* Полученные изображения */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы каждого процесса становится соразмерным с накладными расходами MPI.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
File:Raytracer_scene7.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T12:06:53Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

Алгоритм перестает масштабироваться, когда время работы каждого процесса становится соразмерным с накладными расходами MPI.

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T12:05:21Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T12:04:43Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

[[File:Raytracer_stat1.jpg|400px|График ускорения от числа процессов]]

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T12:04:15Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

[[File:Raytracer_stat1.jpg|200px|График ускорения от числа процессов]]

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T12:03:47Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

[File:Raytracer_stat1.jpg|200px|График ускорения от числа процессов]

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T11:25:50Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|200px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T11:24:38Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|300px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T11:24:05Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|left|300px]] 

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T11:23:31Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|left|300px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T11:23:00Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|thumb|left|300px]]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T11:21:27Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3. 
Сцена: 
[[file: Raytracer_scene5.jpeg|thumb|left|300px]

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T11:19:27Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3.
Изображение:

{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T11:12:21Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3.
{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|505.963
|-
|4
|314.106
|-
|8
|185.988
|-
|16
|86.771
|-
|32
|45.171
|-
|64
|25.555
|-
|128
|13.962
|-
|256
|8.793
|-
|512
|6.954
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T10:56:47Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3.
{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|8m:26s
|-
|4
|5m:14s
|-
|8
|3m:6s
|-
|16
|1m:27s
|-
|32
|0m:45s
|-
|64
|0m:26s
|-
|128
|0m:14s
|-
|256
|0m:9s
|-
|512
|0m:6.5s
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T10:49:52Z

Vlamakarenko: /* Реализация с помощью MPI */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

Размер изображения 700 на 700 пикселей, 256 лучей на пиксел, глубина рекурсии 3.
{| class="wikitable"
|-
! Число процессов
! Время (с)
|-
|2
|8m:26s
|-
|}

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T10:44:41Z

Vlamakarenko: /* Масштабируемость алгоритма и его реализации */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==

=== Реализация с помощью MPI ===

== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T10:41:39Z

Vlamakarenko: /* Последовательная сложность алгоритма */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T10:41:18Z

Vlamakarenko: /* Последовательная сложность алгоритма */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии (помимо луча, выходящего из камеры)

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-24T10:40:42Z

Vlamakarenko: /* Последовательная сложность алгоритма */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

==== Поиск приближенного решения уравнения рендеринга ====

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

=== Определения ===

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

==== Камера ====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

==== Видовая плоскость ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

==== Источники света ====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектора направления <math>\overline{dir}_n</math>:

<math>\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}_n.z = d</math>,

где <math> \delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2</math> - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора <math>\overline{dir}_n</math> и переведем лучи в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление энергитической яркости <math>L_o</math>, выходящей из точки пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла <math> \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i </math> методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

=== Улучшение визуальных качеств изображения ===

Заметим, что чем больше лучей выпускается через каждый пиксел изображения, тем лучше получается картинка.

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. 

Для каждого луча находится точка первого пересечения с объектами сцены, расчитывается входящие излучения и на основе этого - итоговое выходящее. 
Для упрощения модели разобьем входящее излучение на ''прямое'' и ''непрямое''. 
Прямое излучение - излучение, приходящее в точку непосредственно от источников света. 
Непрямое излучение состоит из отраженного от других объектов сцены света.

После этого цвет усредняется по всем лучам, проходящим через данный пиксел.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0}; //прямое излучение
indirect_illumintaion = {0,0,0}; //непрямое излучение

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==
Вычислим последовательную сложность алгоритма в терминах пересечения луча с объектами сцены.

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии (помимо первичного луча)

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - готовое изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

Scratchapixel 2.0 - http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

HydraRenderer - http://www.raytracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>

Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

2016-11-21T16:58:24Z

Vlamakarenko: /* Полученные изображения */

авторы: [[Участник:vlamakarenko|В.А.Макаренко]], [[Участник:Rgabdullin|Р.А.Габдуллин]]

= Свойства и структура алгоритма =

== Общее описание алгоритма ==

'''Трассировка лучей''' - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику).
Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

== Математическое описание алгоритма ==

=== Некоторые понятия из радиометрии ===

[[file: Radiance_raytracer.png|thumb|right|300px|Энергетическая яркость]]
[[file: BRDF Diagram.svg|thumb|right|300px|BRDF]]

'''Энергия излучения''' - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  <math>Q</math>.

'''Поток излучения''' - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  <math>\Phi = \frac{dQ}{dt}</math>.

'''Плотность потока излучения''' - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Облученность''' - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   <math>E=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Энергетическая светимость''' - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  <math>M=\frac{d\Phi}{dA}</math>,   где   <math>dA</math> - дифференциал поверхности.

'''Сила излучения''' - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   <math>I=\frac{d\Phi}{d\omega}</math>.

'''Энергетическая яркость''' - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  <math>L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}</math>

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать '''падающей яркостью''' и обозначать <math>L_i</math>. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть '''отраженной яркостью''' и обозначать <math>L_o</math>.

Из определений следует, что:

1) <math>dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math> 
2) <math>E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i</math>,  где интегрирование проводится по направлениям <math>\overline{\omega}_i</math> таким, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i)</math> > 0,  то есть по полусфере. (<math>\overline{n}</math> - нормаль к поверхности в точке <math>\overline{p}</math>,   <math>\Omega_i = 2\pi^{+}</math>).

Пусть <math>\overline{p}</math> - точка поверхности, <math>\overline{n}</math> - нормаль в этой точке, <math>\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o</math> - единичные вектора такие, что <math>(\overline{n}, \overline{\omega}_i) > 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) > 0 </math> 
Будем считать, что   <math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math> пропорционален   <math>dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>: 
<math>dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)</math>. 
Функция   <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}</math>   называется '''двулучевой функцией отражательной способности (BRDF)'''. 
В точке <math>\overline{p}</math> может быть задано несколько BRDF - множество <math>\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}</math>. 
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: <math>f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)</math>. 
<math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.   - уравнение отражений. 
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

==== Уравнение рендеринга ====

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов <math>L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)</math>.

Уравнение рендеринга имеет вид <math>L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i</math>.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

=== Алгоритм трассировки лучей ===

Введем оператор поиска первого пересечения.
<math>r_c(\overline{p}, \overline{\omega})</math> - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки <math>\overline{p}</math> по направлению <math>\overline{\omega}</math>.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

<math> L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) </math>.

и уравнение рендеринга превратится в ''уравнение Фредгольма второго рода''

<math>
L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i
</math>.

Обозначим интеграл в правой части как <math> K \circ L_o </math>.
Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

<math> L_o = L_e + K \circ L_o </math>.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение <math> L_{o}^{(0)} </math>. Найдем значение правой части <math>L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}</math>, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения <math>L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)} </math> и т.д.

В конечном итоге получим, что <math>L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}</math>.

Этот метод называется ''методом последовательных приближений''.

==== Определения ====

[[file: Ray trace diagram.svg|thumb|right|300px|Камера и видовая плоскость]]

'''Объект''' - поверхность в трехмерном пространстве. 
'''Материал объекта''' - множество BRDF. 
'''Сцена''' - четверка '''{камера, объекты, источники света, видовая плоскость}'''.

===== Камера =====

'''Камера''' - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> (локальная система координат). <math>\overline{u}_c</math> направлен вправо относительно наблюдателя, <math>\overline{v}_c</math> - вверх, <math>\overline{w}_c</math> - на наблюдателя. Таким образом, <math>(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)</math> - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: <math>(0, 0, -1)</math>.

===== Видовая плоскость =====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

<math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением <math>d</math> уменьшается угол обзора, а <math>s</math> влияет на масштаб.

===== Источники света =====

Типы источников света: 
1) '''Point light''' - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях. 
2) '''Directional light''' - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя. 
3) '''Area light''' - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

==== Генерация луча ====

Перед камерой на расстоянии <math>d</math> поставим пиксельную сетку <math>w \times h</math> с размером пикселя <math>s \times s</math> так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть <math>p(i, j)</math>, где <math>i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}</math> - пиксел <math>i</math>-ой строки снизу <math>j</math>-го столбца слева. Проведем луч из камеры к центру пикселя в локальной системе координат камеры. Начало луча в точке <math>\overline{pos}=(0,0,0)</math>.
Найдем вектор направления <math>\overline{dir}</math>:

<math>\overline{dir}.x = s (j -\frac{w}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}.y = s (i -\frac{h}{2} + \frac{1}{2}) </math>

<math>\overline{dir}.z = d</math>

Нормируем вектор <math>\overline{dir}</math> и переведем луч в глобальную систему координат.

==== Пересечение луча с объектами сцены ====

Все точки луча <math>ray(\overline{p}, \overline{d})</math> можно представить в виде:

<math>h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty) </math>.

Луч пересекает объект <math>O_i</math> тогда и только тогда, когда <math>t_i = \inf\{t > 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, < \infty</math>

Если луч пересекает объект <math>O_i</math>, то <math>h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}</math> - их первое пересечение, <math>t_i</math> - расстояние от начала луча до точки пересечения.

==== Вычисление цвета в точке пересечения ====

Найдем <math>T = \{t_i\}</math> - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

<math>t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}</math>

Если <math>t_{min} = \infty</math>, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если <math>t_{min} < \infty</math>, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта, прямого (излучение, исходящее от источников света) и непрямого (отраженный свет) излучений, входящих в точку пересечения; угла между нормалью к поверхности в точке пересечения и направлением луча.

==== Вычисление прямого излучения ====

<math>h_{min}(x,y,z) = \overline{p}+t_{min} \cdot \overline{d}</math>.

<math>L_{is} = \sum_i L(S_i, h_{min})</math> - прямое входящее излучение.

<math>L(S_i, h_{min})</math> - излучение источника света <math>S_i</math>, приходящее в точку <math>h_{min}</math>.

Суммирование ведется по <math>i</math> таким, что <math>S_i</math> "виден" из точки <math>h_{min}</math>, в противном случае какой-то объект загораживает источник света, и в точку <math>h_{min}</math> будет падать тень от этого объекта.

==== Вычисление непрямого излучения ====

Рассмотрим упрощенную модель непрямого излучения. Пусть материал объекта <math>O_{min}</math> обладает способностью отражать свет.

Тогда нужно найти излучение, приходящее со стороны отраженного луча:

<math>ray(\overline{h}_{min}, \overline{w}_i)</math> - отраженный луч.

<math>\overline{w}_i = \overline{d} -2\cdot (\overline{n}, \overline{d})\cdot \overline{n}</math>.

<math>L\{ray(\overline{h}_{min}, \overline{w}_i)\}</math> - излучение приходящее со стороны отраженного луча. Оно находится тем же самым алгоритмом, что и цвет пикселя (то есть рекурсивно).

==== Улучшение визуальных качеств изображения ====

Чтобы сгладить изображение и избавиться от шума, обычно через пиксел проводят не один луч, а достаточно много лучей, для каждого считают цвет, а потом усредняют по всем лучам (берут среднее арифметическое).

== Вычислительное ядро алгоритма ==

Основные вычисления связаны с: 
1) поиском пересечения луча с объектами сцены. 
2) расчетом излучения от каждого источника света (требуется определить, "виден" ли источник света из точки пересечения с объектом).

== Макроструктура алгоритма ==

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. Для каждого луча находится первое пересечение с объектами сцены, расчитывается прямое и непрямое входящие излучения и итоговое выходящее. После этого цвет усредняется по всем лучам данного пикселя.

== Схема реализации последовательного алгоритма ==

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

<source lang="c++">
//Покраска пикселей изображения

for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
{
for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
{
image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
}
}
</source>

<source lang="c++">
//renderPixel(r, c)

pixel_color = {0,0,0};

for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
{
pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

//вычисляем координаты точки на полотне
x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

//cоздаем луч
Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);

pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
}
</source>

<source lang="c++">
//traceRay(ray, depth)

if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
{
return black; //возвращаем черный цвет
}

Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
//материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

if (is) //если есть пересечение
{
is.ray = ray; //запомнили луч
is.depth = depth; // и глубину

return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
//от материала объекта, используя информацию о пересечении

}

return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона
</source>

<source lang="c++">
//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0};
indirect_illumintaion = {0,0,0};

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
{
direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
}
}

if (isReflective(is.object))
{
indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...
</source>

== Последовательная сложность алгоритма ==

<math>w</math> - ширина полотна

<math>h</math> - высота полотна

<math>depth_{max}</math> - максимальная глубина луча в рекурсии (помимо первичного луча)

<math>N_{obj}</math> - количество объектов сцены

<math>N_{lights}</math> - количество источников света сцены

<math>N_{rays}</math> - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: <math>O(N_{obj})</math>

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется <math>O(N_{lights} \cdot N_{obj})</math> операций.

Для каждого луча понадобится <math>O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})</math> операций.

Всего лучей, выходящих из камеры <math>w \cdot h \cdot N_{rays}</math>.

В итоге получаем <math>O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})</math> операций.

== Информационный граф ==

== Ресурс параллелизма алгоритма ==

== Входные и выходные данные алгоритма ==

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света). 
Выходные данные алгоритма - изображение.

== Свойства алгоритма ==

= Программная реализация алгоритма =
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
== Локальность данных и вычислений ==
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
== Выводы для классов архитектур ==
== Существующие реализации алгоритма ==

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

= Литература =

http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

http://www.ray-tracing.ru/

= Полученные изображения =

<gallery>
File:Raytracer_scene1.jpeg
File:Raytracer_scene2.jpeg
File:Raytracer_scene3.jpeg
File:Raytracer_scene4.jpeg
File:Raytracer_scene5.jpeg
File:Raytracer_scene6.jpeg
</gallery>