Просмотр кода страницы Участник:AleksLevin/Алгоритм Ланцоша вычисления собственных значений симметричной матрицы для точной арифметики (без переортогонализации)

Основные авторы описания: Левин А.Д. (студент, кафедра вычислительных методов, 604 группа)

= Свойства и структура алгоритмов =


== Общее описание алгоритма ==
Данный алгоритм появился в 1950 г. благодаря стараниям венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матрицы, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых внешних собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276].

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений симметричной матрицы <math style="vertical-align:0%;>A</math> соединяет в себе метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедуру Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих векторов исходной матрицы <math style="vertical-align:0%;>A</math> [2, с.381].

== Математическое описание алгоритма ==
Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы <math style="vertical-align:0%;>A=A^T</math> в точной арифметике: [2, с.381]


:<math>
\begin{align}
q_1 & = \frac{b}{\|b\|_2}, \beta_0=0, q_0=0 \\
&for\ j\ & = 1 & to & k \\
z & = Aq_j \\
\alpha_{j}= q^{T}_{j}\,z \\
z & = z - \alpha_{j}\,q_j - \beta_{j-1}/,q_{j-1} \\
\end{align}
</math>

== Вычислительное ядро алгоритма ==

== Макроструктура алгоритма ==



== Схема реализации последовательного алгоритма ==


== Последовательная сложность алгоритма ==


== Информационный граф ==


== Ресурс параллелизма алгоритма ==




== Входные и выходные данные алгоритма ==


== Свойства алгоритма ==



= Программная реализация алгоритма =


== Особенности реализации последовательного алгоритма ==


== Локальность данных и вычислений ==


== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==


== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==


== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==


== Выводы для классов архитектур ==

== Существующие реализации алгоритма ==

= Литература =
[1] Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы //М.: Мир. - 1983. - С. 276-294

[2] James W. Demmel Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения //Мир. - 2001. С. 381-391

[[en:Description of algorithm properties and structure]]