Просмотр кода страницы Lanczos, MPI, OpenMP

{{level-i}}

Основные авторы описания: [https://algowiki-project.org/ru/Участник:VolkovNikita94<b>Волков Н.И.</b>].

= Ссылки =

[https://github.com/VolkovNikita94/Lanczos Используемая реализация алгоритма]
Реализация алгоритма гибридная, использует как MPI версии 2.2 (использование MPI_IN_PLACE), так и OpenMP. 

= Локальность данных и вычислений =
== Локальность реализации алгоритма ==
=== Структура обращений в память и качественная оценка локальности ===
=== Количественная оценка локальности ===
= Масштабируемость алгоритма и его реализации =
== Масштабируемость алгоритма ==
== Масштабируемость реализации алгоритма ==

Указанный код компилировался с помощью компилятора IBM (mpixlcxx_r) с опцией -qsmp=omp (она включает в себя оптимизацию -O2). Реализация алгоритма полностью собственная и не использует встроенные библиотеки.

Для проверки масштабируемости алгоритма из реализации была исключена непосредственно задача поиска собственных значений матрицы <math>T_{j}</math> на каждой итерации, так как это является предметом отдельных статей ([https://algowiki-project.org/ru/%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:F-morozov/%D0%9D%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%BC_QR_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_(4) QR-алгоритм], метод [https://algowiki-project.org/ru/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%C2%AB%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D0%B9_%D0%B8_%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83%D0%B9%C2%BB_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B8_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2_%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B «Разделяй-и-властвуй»], [https://en.wikipedia.org/wiki/Arnoldi_iteration итерации Арнольди]  и.т.д.). Таким образом, проверяемая на масштабируемость задача сводится к итерационному вычислению коэффициентов матрицы <math>T_{j}</math>. Матрица <math>A</math> в рассматриваемой реализации хранится построчно и построчно же разделяется между процессорами. Также в целях исключения влияния недетерминированности алгоритма этот процесс изменен так, что при вычислении всех ненулевых собственных значений матрицы <math>A</math> работа алгоритма продолжается над фиктивными данными, пока не будет завершено заранее заданное число итераций. При этом в реализации используется OpenMP для распараллеливания в пределах одного узла. 

[[File:Ланцош_масштабы.png|1000px|thumb|center|Рис. 3: Производительность алгоритма для указанных значений размера задачи и числа MPI процессов (по 4 OpenMP нити каждый). Потенциальная максимальная производительность, которая может быть достигнута - 13.6 GFLOPS на 1 MPI процесс. Тогда, например, эффективность вычислений на 100 процессах при размере задачи 4000<math>{\cdot}</math>4000 составляет приблизительно 14.33%]]

Набор изменяемых параметров запуска реализации алгоритма и границы значений параметров алгоритма:

*Число MPI процессов [1 : 200]
*Число OpenMP нитей [1 : 4] (Запуск с 1 OpenMP нитью производился только для 1 MPI процесса, ускорение замерялось относительно этого запуска).
*Размерность матрицы [400 : 4000]

Эффективность выполнения реализации алгоритма:

*Минимальная эффективность - <1% (неактуально, так как в исследовании достигнут предел масштабируемости алгоритма).
*Максимальная эффективность - ~30% (получается на 2-8 процессов при ~640000 ячеек матрицы на процесс; в случае 8 процессов это входная матрица 1600<math>{\cdot}</math>1600). 

Оценка масштабируемости:

*По числу процессов - при увеличении числа процессов эффективность уменьшается на всей области рассмотренных значений, но не слишком интенсивно. Это связано с небольшим объёмом пересылок данных, реализованных через достаточно эффективные операции редукции.
*По размеру задачи - при увеличении размера задачи эффективность вычислений вначале кратковременно возрастает, но затем начинает относительно равномерно убывать на всей рассматриваемой области.
*По двум направлениям - при рассмотрении увеличения, как вычислительной сложности, так и числа процессов по всей рассмотренной области значений наибольшая эффективность наблюдается при соответствии числа процессов и размера задачи. По этой "диагонали" эффективность вначале кратковременно возрастает, затем начинает убывать.

Интересно, что для разного числа процессоров положительные скачки производительности (зачастую - довольно заметные) имеют место на разных объёмах входных данных.

Далее приводятся графики ускорения программы для разных объёмов входных данных. Ускорение считалось относительно варианта с 1 MPI процессом без дальнейшнего распараллеливания посредством OpenMP. На оси абсцисс отмечается число MPI процессов, число OpenMP нитей во всех случаях равно четырём.

[[File:Speedup_2000.png|600px|thumb|center|Рис. 4: Ускорение для размера задачи 2000<math>{\cdot}</math>2000]]
[[File:Speedup_3000.png|600px|thumb|center|Рис. 5: Ускорение для размера задачи 3000<math>{\cdot}</math>3000]]
[[File:Speedup_4000.png|600px|thumb|center|Рис. 6: Ускорение для размера задачи 4000<math>{\cdot}</math>4000]]
[[File:Speedup total.png|600px|thumb|center|Рис. 6: Сравнение ускорения для различных размеров задачи]]

Каждая "quadcore node" - это 1 узел системы BG/P, содержащий 4 микропроцессорных ядра IBM PowerPC 450 c суммарной пиковой производительностью 13.6 GFLOPS на узел и 2 GB общей памяти с пропускной способностью 13.6 GB/sec.

= Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма =
= Результаты прогонов =

[[Категория:Статьи в работе]]

[[En:Lanczos, MPI, OpenMP]]