Квадратурные формулы - История изменений

Kukarkin: /* Квадратурные Формулы Гаусса */

2019-07-31T08:07:51Z

Квадратурные Формулы Гаусса

← Предыдущая версия		Версия от 08:07, 31 июля 2019
Строка 97:		Строка 97:
	: <math>\int\limits_{-1}^1 f(t)\,dt\approx\sum\limits_{i=1}^n c_i f(t_i)</math>		: <math>\int\limits_{-1}^1 f(t)\,dt\approx\sum\limits_{i=1}^n c_i f(t_i)</math>
	является квадратурной формулой Гаусса тогда и только тогда, когда она является интерполяционной, а ее узлы <math>t_i</math> являются корнями многочлена Лежандра		является квадратурной формулой Гаусса тогда и только тогда, когда она является интерполяционной, а ее узлы <math>t_i</math> являются корнями многочлена Лежандра
	: <math>P_n(t)=\frac1{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}((x^2-1)^n).</math>		: <math>P_n(t)=\frac1{2^nn!}\frac{d^n}{dt^n}((t^2-1)^n).</math>

	В частности, при <math>n=2</math> и <math>n=3</math> квадратурные формулы Гаусса для отрезка <math>[-1,1]</math> таковы:		В частности, при <math>n=2</math> и <math>n=3</math> квадратурные формулы Гаусса для отрезка <math>[-1,1]</math> таковы:

ASA в 14:27, 14 марта 2018

2018-03-14T14:27:19Z

← Предыдущая версия		Версия от 14:27, 14 марта 2018
Строка 1:		Строка 1:
			{{level-a}}

	Основные авторы описания: [[Участник:Kukarkin\|А.Б.Кукаркин]]		Основные авторы описания: [[Участник:Kukarkin\|А.Б.Кукаркин]]

Строка 125:		Строка 127:

	[[Категория:Численные методы интегрирования]]		[[Категория:Численные методы интегрирования]]

			[[Категория:Статьи в работе]]

			[[en:Cubature rules]]

Kukarkin: /* Математическое описание алгоритма */

2016-10-28T12:28:53Z

Математическое описание алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 12:28, 28 октября 2016
Строка 120:		Строка 120:
	Если квадратурная формула выбрана, то алгоритм приближенного вычисления интеграла состоит в вычислении квадратурной суммы, т.е. в вычислении значений функции в <math>n</math> узлах, умножении их на соответствующие коэффициенты и суммировании полученных чисел.		Если квадратурная формула выбрана, то алгоритм приближенного вычисления интеграла состоит в вычислении квадратурной суммы, т.е. в вычислении значений функции в <math>n</math> узлах, умножении их на соответствующие коэффициенты и суммировании полученных чисел.

	Исходные данные: функция <math>f(x)</math> и два одномерных массива <math>n</math> чисел: массив узлов и массив коэффициентов.		Исходные данные: функция <math>f(x)</math> и два одномерных массива <math>n</math> чисел — массив узлов и массив коэффициентов.

	Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.		Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.

	[[Категория:Численные методы интегрирования]]		[[Категория:Численные методы интегрирования]]

Kukarkin: /* Общее описание алгоритма */

2016-10-26T10:41:16Z

Общее описание алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 10:41, 26 октября 2016
Строка 13:		Строка 13:
	: <math>I\approx\sum\limits_{i=1}^n C_i f(x_i).</math>		: <math>I\approx\sum\limits_{i=1}^n C_i f(x_i).</math>

	Сумма в правой части называется квадратурной суммой, различные точки <math>x_i</math> отрезка <math>[a,b]</math> называются узлами, а числа <math>C_i</math> — коэффициентами квадратурной формулы.		Сумма в правой части называется квадратурной суммой; различные точки <math>x_i</math> отрезка <math>[a,b]</math> называются узлами, а числа <math>C_i</math> — коэффициентами квадратурной формулы.

	Значение квадратурной суммы, принимаемое за приближенное значение интеграла, зависит от выбора узлов <math>x_i</math> и коэффициентов <math>C_i</math>. При вычислении значения квадратурной суммы основные временные затраты приходятся на вычисление значений подынтегральной функции в узлах.		Значение квадратурной суммы, принимаемое за приближенное значение интеграла, зависит от выбора узлов <math>x_i</math> и коэффициентов <math>C_i</math>. При вычислении значения квадратурной суммы основные временные затраты приходятся на вычисление значений подынтегральной функции в узлах.
Строка 34:		Строка 34:
	==== Формулы Ньютона-Котеса ====		==== Формулы Ньютона-Котеса ====

	Формулами Ньютона-Котеса называются интерполяционные квадратурные формулы, <math>n</math> узлов которых заданы равноотстоящими: <math>x_1=\frac{b-a}2</math> при <math>n=1</math> и <math>x_i=a+(i-1)\frac{b-a}{n-1}, 1\le i \le n</math>		Формулами Ньютона-Котеса называются интерполяционные квадратурные формулы, <math>n</math> узлов которых заданы равноотстоящими: <math>x_1=\frac{a+b}2</math> при <math>n=1</math> и <math>x_i=a+(i-1)\frac{b-a}{n-1}, 1\le i \le n</math>
	при <math>n>1</math>.		при <math>n>1</math>.

AntonChupin в 13:16, 8 июля 2016

2016-07-08T13:16:39Z

← Предыдущая версия		Версия от 13:16, 8 июля 2016
Строка 123:		Строка 123:

	Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.		Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.

			[[Категория:Численные методы интегрирования]]

Kukarkin в 08:57, 9 февраля 2016

2016-02-09T08:57:43Z

← Предыдущая версия		Версия от 08:57, 9 февраля 2016
Строка 1:		Строка 1:
			Основные авторы описания: [[Участник:Kukarkin\|А.Б.Кукаркин]]

	== Свойства и структура алгоритма ==		== Свойства и структура алгоритма ==

Kukarkin: /* Математическое описание алгоритма */

2016-02-09T08:50:06Z

Математическое описание алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 08:50, 9 февраля 2016
Строка 121:		Строка 121:

	Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.		Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.

	~~[[Умножение плотных матриц]]~~

Kukarkin: /* Математическое описание алгоритма */

2016-02-09T08:49:05Z

Математическое описание алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 08:49, 9 февраля 2016
Строка 121:		Строка 121:

	Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.		Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.

			[[Умножение плотных матриц]]

Kukarkin: /* Свойства и структура алгоритма */

2016-02-04T14:18:13Z

Свойства и структура алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 14:18, 4 февраля 2016
Строка 107:		Строка 107:
	: <math>I\approx\frac{b-a}2\sum\limits_{i=1}^n c_i f(x_i),</math>		: <math>I\approx\frac{b-a}2\sum\limits_{i=1}^n c_i f(x_i),</math>
	где <math>x_i=0.5(a+b+(b-a)t_i)</math>, <math>t_i</math> — корни многочлена Лежандра <math>P_n(t)</math>.		где <math>x_i=0.5(a+b+(b-a)t_i)</math>, <math>t_i</math> — корни многочлена Лежандра <math>P_n(t)</math>.

			Для погрешности квадратурной формулы Гаусса c <math>n</math> узлами справедлива оценка
			:<math>\|R_n(f)\|\le\frac{M_{2n}(n!)^4}{((2n)!)^3(2n+1)}(b-a)^{2n+1},</math>
			где <math>M_{2n}=\max\limits_{x\in[a,b]}\|f^{(2n)}(x)\|</math>.

	Коэффициенты квадратурных формул Гаусса положительны. Поэтому использование квадратурных формул Гаусса с большим числом узлов не приводит к тем осложнениям, которые возникают при использовании формул Ньютона-Котеса.		Коэффициенты квадратурных формул Гаусса положительны. Поэтому использование квадратурных формул Гаусса с большим числом узлов не приводит к тем осложнениям, которые возникают при использовании формул Ньютона-Котеса.

Kukarkin: /* Свойства и структура алгоритма */

2016-02-04T13:47:04Z

Свойства и структура алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 13:47, 4 февраля 2016
Строка 4:		Строка 4:

	Задача одномерного численного интегрирования состоит в приближенном вычислении определенного интеграла по отрезку: требуется вычислить		Задача одномерного численного интегрирования состоит в приближенном вычислении определенного интеграла по отрезку: требуется вычислить
	: <math>I=\int\limits_a^b f(x)dx,</math>		: <math>I=\int\limits_a^b f(x)\,dx,</math>
	где <math>f(x)</math> — интегрируемая функция, определенная на отрезке <math>[a,b]</math>.		где <math>f(x)</math> — интегрируемая функция, определенная на отрезке <math>[a,b]</math>.

Строка 91:		Строка 91:

	В случае отрезка <math>[-1,1]</math> квадратурная формула		В случае отрезка <math>[-1,1]</math> квадратурная формула
	: <math>\int\limits_{-1}^1 f(t)dt\approx\sum\limits_{i=1}^n c_i f(t_i)</math>		: <math>\int\limits_{-1}^1 f(t)\,dt\approx\sum\limits_{i=1}^n c_i f(t_i)</math>
	является квадратурной формулой Гаусса тогда и только тогда, когда она является интерполяционной, а ее узлы <math>t_i</math> являются корнями многочлена Лежандра		является квадратурной формулой Гаусса тогда и только тогда, когда она является интерполяционной, а ее узлы <math>t_i</math> являются корнями многочлена Лежандра
	: <math>P_n(t)=\frac1{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}((x^2-1)^n).</math>		: <math>P_n(t)=\frac1{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}((x^2-1)^n).</math>
Строка 104:		Строка 104:
	в результате которой		в результате которой
	: <math>\int\limits_a^b\!f(x)\,dx=\frac{b-a}2\int\limits_{-1}^1\!f\left(\frac{a+b}2+\frac{b-a}2\,t\right)\,dt.</math>		: <math>\int\limits_a^b\!f(x)\,dx=\frac{b-a}2\int\limits_{-1}^1\!f\left(\frac{a+b}2+\frac{b-a}2\,t\right)\,dt.</math>
			Воспользовавшись квадратурной формулой Гаусса для отрезка <math>[-1,1]</math>, получим квадратурную формулу Гаусса для отрезка <math>[a,b]</math>:
			: <math>I\approx\frac{b-a}2\sum\limits_{i=1}^n c_i f(x_i),</math>
			где <math>x_i=0.5(a+b+(b-a)t_i)</math>, <math>t_i</math> — корни многочлена Лежандра <math>P_n(t)</math>.

			Коэффициенты квадратурных формул Гаусса положительны. Поэтому использование квадратурных формул Гаусса с большим числом узлов не приводит к тем осложнениям, которые возникают при использовании формул Ньютона-Котеса.

	=== Математическое описание алгоритма ===		=== Математическое описание алгоритма ===