Метод Видемана-Копперсмита - История изменений

GKormakov: /* Алгоритм Видемана-Копперсмита */

2019-11-19T20:34:42Z

Алгоритм Видемана-Копперсмита

← Предыдущая версия		Версия от 20:34, 19 ноября 2019
Строка 128:		Строка 128:
	Таким образом, W удовлетворяет условиям А-ортагональности со всеми блоками векторов вида <math> Y, A^TY, (A^T)^2Y... (A^T)^{M - D - 2}Y </math>. Далее возможно два варианта:		Таким образом, W удовлетворяет условиям А-ортагональности со всеми блоками векторов вида <math> Y, A^TY, (A^T)^2Y... (A^T)^{M - D - 2}Y </math>. Далее возможно два варианта:

	1) Если линейная оболочка блоков вышеперечисленных векторов совпала со всем пространством \mathbb{F}_2^n, то выбором n линейно независимых столбцов и составлением невырожденной матрицы \hat{Y} получили бы следующее равенство:		1) Если линейная оболочка блоков вышеперечисленных векторов совпала со всем пространством <math>\mathbb{F}_2^n</math>, то выбором n линейно независимых столбцов и составлением невырожденной матрицы <math>\hat{Y}</math> получили бы следующее равенство:
	<math> \hat{Y}AW = 0 </math>. Домножив на обратную, получим <math> AW = 0</math> и если <math> W \neq 0 </math>, то задача решена.		<math> \hat{Y}AW = 0 </math>. Домножив на обратную, получим <math> AW = 0</math> и если <math> W \neq 0 </math>, то задача решена.

GKormakov: /* Невырожденный случай */

2019-11-19T20:32:16Z

Невырожденный случай

← Предыдущая версия		Версия от 20:32, 19 ноября 2019
Строка 44:		Строка 44:

	Но как искать эти коэффициенты? Для случая СЛАУ с разреженной матрицей Видеман предложил следующую идею:		Но как искать эти коэффициенты? Для случая СЛАУ с разреженной матрицей Видеман предложил следующую идею:
	~~1Выбрать~~ случайный вектор <math>y \in \mathbb{F}_2^n</math>, тогда для <math>j = 0...n</math> верны следующие соотношения:		Выбрать случайный вектор <math>y \in \mathbb{F}_2^n</math>, тогда для <math>j = 0...n</math> верны следующие соотношения:

	<math>		<math>

GKormakov: /* Метод построения матричного полинома */

2019-11-19T20:04:23Z

Метод построения матричного полинома

← Предыдущая версия		Версия от 20:04, 19 ноября 2019
Строка 134:		Строка 134:

	====Метод построения матричного полинома====		====Метод построения матричного полинома====
			Копперсмит предложил итерационную процедуру:

			# '''Инициализация''':<math> M := 0,\;
			f(x) := [I_{m_b}\; 0],\;
			e(x) := [a(x)\; I_{n_b}],\;
			\delta_j = 0 </math>, где j -- номер столбца <math>f(x), \delta_j</math> -- формальная степень;
			# '''Итерация''':
			##Вычислить <math> e_0 = e(0) </math>;
			##Найти P: <math> e_0P = [0\; F_{n_b}] </math>, причём преобразование P должно быть допустимым;
			##Вычислить <math> e:=\frac{eP(x)}{x}, \; f:=fP(x) </math>, где <math> P(x) = P \begin{pmatrix}I_{m_b} & 0\\ 0 & xI_{n_b}\end{pmatrix} </math>;
			##<math>M:=M+1</math>
			##<math> \delta_{j_k}:= \delta_{j_k} + 1</math> для тех столбцов, которые были умножены на x;
			##Вычислить формальную степень D матричного полинома f(x);
			#'''Останов''' Проверить критерий останова: <math> M - D > \frac{n}{n_b} + \Delta </math>. Если выполнен, то остановиться, нет - продолжить.

			Сколько всего потребуется итераций? Если <math>m_b = n_b</math>, то будет выполнена оценка <math> s \approx 2\left(\frac{n}{n_b} + 1\right) </math>. Если же брать <math>m_b = 2n_b</math>, как советовал Копперсмит, то <math> s \approx \frac{3}{2}\left(\frac{n}{n_b} + 1\right) </math> (Более подробный анализ см. в <ref>Замарашкин, Николай Леонидович.
			Алгоритмы для разряженных систем линейных уравнений в GF(2) [Текст] : учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям ВПО 010400 "Прикладная математика и информатика" и 010300 "Фундаментальная информатика и информационные технологии" / Н. Л. Замарашкин ; Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - Москва : Изд-во Московского ун-та, 2013. - 128, [2] с. : ил., табл.; 21 см. - (Серия: Суперкомпьютерное образование / Суперкомпьютерный консорциум ун-тов России).; ISBN 978-5-211-06483-6</ref> ). С точки зрения вероятностной устойчивости и скорости логичнее использовать второй случай, однако, как показывал опыт, и исходя из указаний Копперсмита (глава 5 <ref> Don Coppersmith. 1994. Solving homogeneous linear equations over GF(2) via block Wiedemann algorithm. Math. Comput. 62, 205 (January 1994), 333-350. DOI=10.2307/2153413 http://dx.doi.org/10.2307/2153413 </ref>), для практического применения подходит первый случай.

	=== Вычислительное ядро алгоритма ===		=== Вычислительное ядро алгоритма ===

GKormakov: /* Алгоритм Видемана-Копперсмита */

2019-11-19T19:15:48Z

Алгоритм Видемана-Копперсмита

← Предыдущая версия		Версия от 19:15, 19 ноября 2019
Строка 128:		Строка 128:
	Таким образом, W удовлетворяет условиям А-ортагональности со всеми блоками векторов вида <math> Y, A^TY, (A^T)^2Y... (A^T)^{M - D - 2}Y </math>. Далее возможно два варианта:		Таким образом, W удовлетворяет условиям А-ортагональности со всеми блоками векторов вида <math> Y, A^TY, (A^T)^2Y... (A^T)^{M - D - 2}Y </math>. Далее возможно два варианта:

	1) Если линейная оболочка блоков вышеперечисленных векторов совпала со всем пространством \~~mathcal~~{F}_2^n, то выбором n линейно независимых столбцов и составлением невырожденной матрицы \hat{Y} получили бы следующее равенство:		1) Если линейная оболочка блоков вышеперечисленных векторов совпала со всем пространством \mathbb{F}_2^n, то выбором n линейно независимых столбцов и составлением невырожденной матрицы \hat{Y} получили бы следующее равенство:
	<math> \hat{Y}AW = 0 </math>. Домножив на обратную, получим <math> AW = 0</math> и если <math> W \neq 0 </math>, то задача решена.		<math> \hat{Y}AW = 0 </math>. Домножив на обратную, получим <math> AW = 0</math> и если <math> W \neq 0 </math>, то задача решена.

	2)Оболочка блоков не охватила всего пространства, тогда можно вероятностно оценить, что: Т.к. <math> M - D - 1 > \frac{n}{n_b} </math>, то почти наверняка размерность линейной оболочки <math> (A^T)^iY, \; \forall i=\overline{0,M-D-2} </math> близка к n. Этого достаточно, чтобы утверждать, что задача решена. (Для деталей см. <ref> Don Coppersmith. 1994. Solving homogeneous linear equations over GF(2) via block Wiedemann algorithm. Math. Comput. 62, 205 (January 1994), 333-350. DOI=10.2307/2153413 http://dx.doi.org/10.2307/2153413 <\ref>)		2)Оболочка блоков не охватила всего пространства, тогда можно вероятностно оценить, что: Т.к. <math> M - D - 1 > \frac{n}{n_b} </math>, то почти наверняка размерность линейной оболочки <math> (A^T)^iY, \; \forall i=\overline{0,M-D-2} </math> близка к n. Этого достаточно, чтобы утверждать, что задача решена. (Для деталей см. <ref> Don Coppersmith. 1994. Solving homogeneous linear equations over GF(2) via block Wiedemann algorithm. Math. Comput. 62, 205 (January 1994), 333-350. DOI=10.2307/2153413 http://dx.doi.org/10.2307/2153413 </ref>)

	Метод построения матричного полинома		====Метод построения матричного полинома====

	=== Вычислительное ядро алгоритма ===		=== Вычислительное ядро алгоритма ===

GKormakov: /* Алгоритм Видемана-Копперсмита */

2019-11-19T19:14:22Z

Алгоритм Видемана-Копперсмита

← Предыдущая версия		Версия от 19:14, 19 ноября 2019
Строка 125:		Строка 125:

	<math> Y^T A^i A\underbrace{\left(\sum\limits_{k=0}^D (A^{k} X) f_{D - k}\right)}_{W} = 0, \; \forall i = \overline{0, M - D - 2}</math>		<math> Y^T A^i A\underbrace{\left(\sum\limits_{k=0}^D (A^{k} X) f_{D - k}\right)}_{W} = 0, \; \forall i = \overline{0, M - D - 2}</math>

			Таким образом, W удовлетворяет условиям А-ортагональности со всеми блоками векторов вида <math> Y, A^TY, (A^T)^2Y... (A^T)^{M - D - 2}Y </math>. Далее возможно два варианта:

			1) Если линейная оболочка блоков вышеперечисленных векторов совпала со всем пространством \mathcal{F}_2^n, то выбором n линейно независимых столбцов и составлением невырожденной матрицы \hat{Y} получили бы следующее равенство:
			<math> \hat{Y}AW = 0 </math>. Домножив на обратную, получим <math> AW = 0</math> и если <math> W \neq 0 </math>, то задача решена.

			2)Оболочка блоков не охватила всего пространства, тогда можно вероятностно оценить, что: Т.к. <math> M - D - 1 > \frac{n}{n_b} </math>, то почти наверняка размерность линейной оболочки <math> (A^T)^iY, \; \forall i=\overline{0,M-D-2} </math> близка к n. Этого достаточно, чтобы утверждать, что задача решена. (Для деталей см. <ref> Don Coppersmith. 1994. Solving homogeneous linear equations over GF(2) via block Wiedemann algorithm. Math. Comput. 62, 205 (January 1994), 333-350. DOI=10.2307/2153413 http://dx.doi.org/10.2307/2153413 <\ref>)

	Метод построения матричного полинома		Метод построения матричного полинома

GKormakov: /* Алгоритм Видемана-Копперсмита */

2019-11-19T18:52:56Z

Алгоритм Видемана-Копперсмита

← Предыдущая версия		Версия от 18:52, 19 ноября 2019
Строка 124:		Строка 124:
	<math>\sum\limits_{k=0}^D a_{i + k + 1}f_{D-k} = 0, \; \forall i=\overline{0, M-D-2}</math>, что эквивалентно, при подстановке <math> a_{i+k+1} </math>, следующему уравнению:		<math>\sum\limits_{k=0}^D a_{i + k + 1}f_{D-k} = 0, \; \forall i=\overline{0, M-D-2}</math>, что эквивалентно, при подстановке <math> a_{i+k+1} </math>, следующему уравнению:

	<math> Y^T A^i A\underbrace{\left(\sum\limits_{k=0}^D (A^{k} X) f_{D - k}\right)}_{W} = 0, \; \forall i = \overline{0, M - D - 2}</math>		<math> Y^T A^i A\underbrace{\left(\sum\limits_{k=0}^D (A^{k} X) f_{D - k}\right)}_{W} = 0, \; \forall i = \overline{0, M - D - 2}</math>

	Метод построения матричного полинома		Метод построения матричного полинома

	=== Вычислительное ядро алгоритма ===		=== Вычислительное ядро алгоритма ===

GKormakov в 18:48, 19 ноября 2019

2019-11-19T18:48:58Z

← Предыдущая версия		Версия от 18:48, 19 ноября 2019
Строка 118:		Строка 118:
	# <math> M </math> и <math> D </math> удовлетворяют соотношению <math> M - D - 1 > \frac{n}{n_b}</math>		# <math> M </math> и <math> D </math> удовлетворяют соотношению <math> M - D - 1 > \frac{n}{n_b}</math>

			(Метод построения матричного полинома <math> f(x) </math> изложим ниже)

			Т.к. <math> deg(g) \leq D</math>, то матричные коэффициенты при степенях, больших D, равны 0. Следовательно, матричные коэффициенты a(x) и f(x) удовлетворяют системе:

			<math>\sum\limits_{k=0}^D a_{i + k + 1}f_{D-k} = 0, \; \forall i=\overline{0, M-D-2}</math>, что эквивалентно, при подстановке <math> a_{i+k+1} </math>, следующему уравнению:

			<math> Y^T A^i A\underbrace{\left(\sum\limits_{k=0}^D (A^{k} X) f_{D - k}\right)}_{W} = 0, \; \forall i = \overline{0, M - D - 2}</math>

			Метод построения матричного полинома
	=== Вычислительное ядро алгоритма ===		=== Вычислительное ядро алгоритма ===

GKormakov в 23:42, 22 октября 2019

2019-10-22T23:42:54Z

← Предыдущая версия		Версия от 23:42, 22 октября 2019
Строка 84:		Строка 84:
	Перепишем итоговый алгоритм Видемана для нахождения вектора из ядра A:		Перепишем итоговый алгоритм Видемана для нахождения вектора из ядра A:

	1. Выбираем случайные векторы <math>x, y \in \mathbb{F}_2^n</math>		'''Шаг 1.''' Выбираем случайные векторы <math>x, y \in \mathbb{F}_2^n</math>

	2. <math>\forall s = 0, ... 2n</math> вычисляем <math>\alpha_s = y^TA^sx</math> и строим полином <math>a(x) = \sum\alpha_ix^i \textit{формальной}</math> степени 2n		'''Шаг 2.''' <math>\forall s = 0, ... 2n</math> вычисляем <math>\alpha_s = y^TA^sx</math> и строим полином <math>a(x) = \sum\alpha_ix^i \textit{формальной}</math> степени 2n

	3. Характеристическому полиному <math>f(x)</math> ставим в соответствие полином <math>\widetilde{f(x)} = x^n f(\frac{1}{x}), тогда f_i = \widetilde{f(x)}_{n-i}</math> и		'''Шаг 3.''' Характеристическому полиному <math>f(x)</math> ставим в соответствие полином <math>\widetilde{f(x)} = x^n f(\frac{1}{x}), тогда f_i = \widetilde{f(x)}_{n-i}</math> и

	<math>\sum_{i=0}^n\alpha_{i+j}f_i = \sum_{i=0}^n\alpha_{i+j}\widetilde{f(x)}_{n-i} = 0, j=0...n</math>, т.е. все коэффициенты в <math>a(x)\widetilde{f(x)}</math> при <math>x^n, x^{n+1}, ..., x^{2n}</math> будут равны 0.		<math>\sum_{i=0}^n\alpha_{i+j}f_i = \sum_{i=0}^n\alpha_{i+j}\widetilde{f(x)}_{n-i} = 0, j=0...n</math>, т.е. все коэффициенты в <math>a(x)\widetilde{f(x)}</math> при <math>x^n, x^{n+1}, ..., x^{2n}</math> будут равны

	Т.е. <math>a(x)\widetilde{f(x)} = g(x) mod \,x^{2n + 1}, где\, deg(g) < n</math>		Т.е. <math>a(x)\widetilde{f(x)} = g(x) mod \,x^{2n + 1}, где\, deg(g) < n</math>
Строка 96:		Строка 96:
	Таким образом построили полином <math>\widetilde{f(x)}</math>		Таким образом построили полином <math>\widetilde{f(x)}</math>

	4. Получаем решение <math>\omega = A^\delta \sum_if_iA^ix : A\omega = 0</math> алгоритмом, описанным выше		'''Шаг 4.''' Получаем решение <math>\omega = A^\delta \sum_if_iA^ix : A\omega = 0</math> алгоритмом, описанным выше

	====Алгоритм Видемана-Копперсмита====		====Алгоритм Видемана-Копперсмита====
	Алгоритм Видемана по поиску вектора из ядра матрицы A сводился к решению СЛАУ с генкелевой или теплицевой матрицей, что ускоряло алгоритм, однако алгоритм Видемана является последовательным алгоритмом (коэффициенты полинома <math>a(x)</math> вычисляются последовательно), т.е. он не имеет выигрыша по скорости перед методом Монтгомери при распараллеливании на несколько узлов. Поэтому Копперсмит добавил в алгоритм Видемана работу с блочными матрицами.		Алгоритм Видемана по поиску вектора из ядра матрицы A сводился к решению СЛАУ с генкелевой или теплицевой матрицей, что ускоряло алгоритм, однако алгоритм Видемана является последовательным алгоритмом (коэффициенты полинома <math>a(x)</math> вычисляются последовательно), т.е. он не имеет выигрыша по скорости перед методом Монтгомери при распараллеливании на несколько узлов. Поэтому Копперсмит добавил в алгоритм Видемана работу с блочными матрицами.

			Пусть также задана однородная СЛАУ <math>Ax = 0\, , A\in\mathbb{F}_2^{n\times n}</math>, так же требуется найти нетривиальное решение. Опишем предложения Копперсмита:

			'''Шаг 1.''' Рассмотрим два случайных блока <math>Z\in \mathbb{F}_2^{n\times m_b}</math> и <math>Y\in \mathbb{F}_2^{n\times n_b}</math>, <math>m_b \neq n_b</math>. Тогда столбцы матрицы <math>AZ = X\in \mathbb{F}_2^{n\times m_b}</math> будут принадлежать линейной оболочке столбцов матрицы <math>A</math>. На практике числа <math>m_b, n_b</math> кратны размеру машинного слова, это будет использовано при параллельной реализации.

			Далее вычисляются матрицы <math>a_i = Y^TA^iX \in \mathbb{F}_2^{n_b\times m_b} \forall\, i=0...L</math>, где <math>L = \frac{n}{n_b} + \frac{n}{m_b} + \Delta</math>, где <math>\Delta</math> - небольшое натуральное число, например, 10.
			С помощью этих матриц определяем полином <math>a(x) = \sum_{i=0}^La_ix^i</math>

			'''Определение'''
			''Степенью матричного полинома'' назовём степень полинома максимальной степени.

			Однако на практике оказывается более важным смотреть на ''формальную степень''. Работая с ними можно использовать следующие правила: 1) Формальная степень суммы полиномов равна максимуму из формальных степеней каждого слагаемого; 2) Умножение полинома на одночлен увеличивает его формальную степень на 1. Таким образом, построенный на шаге 1 полином является формальной степени L.

			'''Шаг 2.''' Построим матричный полином <math> f(x) = \sum_{i=0}^Df_ix^i </math> формальной степени D с матричными коэффициентами <math> f_i\in\mathbb{F}_2^{m_b\times(m_b + n_b)}</math>, для которого выполняются следующие условия:
			# ''Справедливо полиномиальное соотношение'' <math> a(x)f(x) = g(x) + e(x)x^M</math>, где <math> g(x) </math> и <math> e(x) </math> - матричные полиномы;
			# Степень матричного полинома <math> g </math> не превосходит <math> D </math>;
			# <math> M </math> и <math> D </math> удовлетворяют соотношению <math> M - D - 1 > \frac{n}{n_b}</math>


	=== Вычислительное ядро алгоритма ===		=== Вычислительное ядро алгоритма ===

GKormakov в 00:24, 22 октября 2019

2019-10-22T00:24:08Z

@@ Строка 100: / Строка 100: @@
 ====Алгоритм Видемана-Копперсмита====
 Алгоритм Видемана по поиску вектора из ядра матрицы A сводился к решению СЛАУ с генкелевой или теплицевой матрицей, что ускоряло алгоритм, однако алгоритм Видемана является последовательным алгоритмом (коэффициенты полинома <math>a(x)</math> вычисляются последовательно), т.е. он не имеет выигрыша по скорости перед методом Монтгомери при распараллеливании на несколько узлов. Поэтому Копперсмит добавил в алгоритм Видемана работу с блочными матрицами.
 == Литература ==
 <references \>

GKormakov в 00:13, 22 октября 2019

2019-10-22T00:13:21Z

← Предыдущая версия		Версия от 00:13, 22 октября 2019
Строка 1:		Строка 1:
	{~~algorithm~~		{Автор - Участник:GKormakov}
	~~\| name =~~ Участник:GKormakov~~/Метод Видемана-Копперсмита~~}

	== Свойства и структура алгоритма ==		== Свойства и структура алгоритма ==
Строка 100:		Строка 99:

	====Алгоритм Видемана-Копперсмита====		====Алгоритм Видемана-Копперсмита====
			Алгоритм Видемана по поиску вектора из ядра матрицы A сводился к решению СЛАУ с генкелевой или теплицевой матрицей, что ускоряло алгоритм, однако алгоритм Видемана является последовательным алгоритмом (коэффициенты полинома <math>a(x)</math> вычисляются последовательно), т.е. он не имеет выигрыша по скорости перед методом Монтгомери при распараллеливании на несколько узлов. Поэтому Копперсмит добавил в алгоритм Видемана работу с блочными матрицами.
	== Литература ==		== Литература ==

	<references \>		<references \>