Метод ортогонализации - История изменений

ASA в 13:59, 16 марта 2018

2018-03-16T13:59:31Z

← Предыдущая версия		Версия от 13:59, 16 марта 2018
Строка 44:		Строка 44:
	Наиболее используемой на практике формой метода является [[Метод ортогонализации с переортогонализацией\|вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]].		Наиболее используемой на практике формой метода является [[Метод ортогонализации с переортогонализацией\|вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]].

	~~[[Категория:Законченные статьи без перевода на английский язык]]~~
	[[Категория:Законченные статьи]]		[[Категория:Законченные статьи]]

	[[en:Orthogonalization method]]		[[en:Orthogonalization method]]

ASA в 08:04, 2 марта 2018

2018-03-02T08:04:40Z

← Предыдущая версия		Версия от 08:04, 2 марта 2018
Строка 46:		Строка 46:
	[[Категория:Законченные статьи без перевода на английский язык]]		[[Категория:Законченные статьи без перевода на английский язык]]
	[[Категория:Законченные статьи]]		[[Категория:Законченные статьи]]

			[[en:Orthogonalization method]]

Frolov в 12:48, 15 февраля 2018

2018-02-15T12:48:08Z

← Предыдущая версия		Версия от 12:48, 15 февраля 2018
Строка 43:		Строка 43:

	Наиболее используемой на практике формой метода является [[Метод ортогонализации с переортогонализацией\|вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]].		Наиболее используемой на практике формой метода является [[Метод ортогонализации с переортогонализацией\|вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]].

			[[Категория:Законченные статьи без перевода на английский язык]]
			[[Категория:Законченные статьи]]

Frolov: /* Математические основы метода */

2017-11-20T10:07:32Z

Математические основы метода

← Предыдущая версия		Версия от 10:07, 20 ноября 2017
Строка 7:		Строка 7:
	== Математические основы метода ==		== Математические основы метода ==

	[[Классический метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы (вещественный вариант)~~\|Классический метод ортогонализации~~]] довольно прост, однако из-за неустойчивости, проявляющейся в неортогональности получаемых систем, редко применяется на практике.		[[Классический метод ортогонализации\|Классический метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы (вещественный вариант)]] довольно прост, однако из-за неустойчивости, проявляющейся в неортогональности получаемых систем, крайне редко применяется на практике.

	Пусть имеются линейно независимые векторы <math>\mathbf{a}_1,\;\ldots,\;\mathbf{a}_N</math>.		Пусть имеются линейно независимые векторы <math>\mathbf{a}_1,\;\ldots,\;\mathbf{a}_N</math>.
Строка 42:		Строка 42:
	<math>\mathbf{e}_1,\;\ldots,\;\mathbf{e}_N</math> — система ортонормированных векторов.		<math>\mathbf{e}_1,\;\ldots,\;\mathbf{e}_N</math> — система ортонормированных векторов.

	Наиболее используемой на практике формой метода является [[Метод ортогонализации ~~QR-разложения квадратной матрицы~~ с переортогонализацией ~~(вещественный~~ вариант~~)\|Вариант~~ метода ортогонализации с переортогонализацией]].		Наиболее используемой на практике формой метода является [[Метод ортогонализации с переортогонализацией\|вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]].

Frolov в 11:45, 4 мая 2017

2017-05-04T11:45:04Z

← Предыдущая версия		Версия от 11:45, 4 мая 2017
Строка 1:		Строка 1:
	{{level-m}}		{{level-m}}

			Основные авторы описания: [[Участник:DVIN\|Инжелевская Дарья Валерьевна]](текст), [[Участник:Frolov\|А.В.Фролов]](общая редактура)

	'''Ортогонализация Грама-Шмидта''' — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}</math> строится множество ортогональных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}} </math> или ортонормированных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}} </math>, причём так, что каждый вектор <math>{\displaystyle \mathbf {b} _{j}} </math> или <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}</math> может быть выражен линейной комбинацией векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}}</math>. Данный процесс может быть использован для получения [[QR-разложения плотных неособенных матриц\|QR-разложения]], в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду.		'''Ортогонализация Грама-Шмидта''' — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}</math> строится множество ортогональных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}} </math> или ортонормированных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}} </math>, причём так, что каждый вектор <math>{\displaystyle \mathbf {b} _{j}} </math> или <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}</math> может быть выражен линейной комбинацией векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}}</math>. Данный процесс может быть использован для получения [[QR-разложения плотных неособенных матриц\|QR-разложения]], в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду.

Frolov в 11:35, 4 мая 2017

2017-05-04T11:35:58Z

← Предыдущая версия		Версия от 11:35, 4 мая 2017
Строка 31:		Строка 31:


	На основе каждого вектора <math>\mathbf{b}_j \;(j = 1 \ldots N)</math> может быть получен нормированный вектор: <math>\mathbf{e}_j = {\mathbf{b}_j\over \\| \mathbf{b}_j \\|}</math> (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а ~~длина~~ — единичной). ~~Причем берется норма~~ согласованная со скалярным произведением <math>\\| x \\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math>		На основе каждого вектора <math>\mathbf{b}_j \;(j = 1 \ldots N)</math> может быть получен нормированный вектор: <math>\mathbf{e}_j = {\mathbf{b}_j\over \\| \mathbf{b}_j \\|}</math> (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а норма — единичной). Норма в формуле - согласованная со скалярным произведением: <math>\\| x \\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math>

	Результаты процесса Грама — Шмидта:		Результаты процесса Грама — Шмидта:
Строка 39:		Строка 39:
	<math>\mathbf{e}_1,\;\ldots,\;\mathbf{e}_N</math> — система ортонормированных векторов.		<math>\mathbf{e}_1,\;\ldots,\;\mathbf{e}_N</math> — система ортонормированных векторов.

	Вычисление <math>\mathbf{b}_1,\;\ldots,\;\mathbf{b}_N</math> носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а <math>\mathbf{e}_1,\;\ldots,\;\mathbf{e}_N</math> — ортонормализации Грама — Шмидта.		Наиболее используемой на практике формой метода является [[Метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы с переортогонализацией (вещественный вариант)\|Вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]].


	Наиболее ~~распространённой~~ формой метода является [[Метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы с переортогонализацией (вещественный вариант)\|Вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]].

Frolov: /* Математические основы метода */

2017-05-04T11:18:05Z

Математические основы метода

← Предыдущая версия		Версия от 11:18, 4 мая 2017
Строка 5:		Строка 5:

	[[Классический метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы (вещественный вариант)\|Классический метод ортогонализации]] довольно прост, однако из-за неустойчивости, проявляющейся в неортогональности получаемых систем, редко применяется на практике.		[[Классический метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы (вещественный вариант)\|Классический метод ортогонализации]] довольно прост, однако из-за неустойчивости, проявляющейся в неортогональности получаемых систем, редко применяется на практике.

			Пусть имеются линейно независимые векторы <math>\mathbf{a}_1,\;\ldots,\;\mathbf{a}_N</math>.
			Пусть оператор проекции вектора <math>\mathbf{a}</math> на вектор <math>\mathbf{b}</math> определён следующим образом: <math>\mathbf{proj}_{\mathbf{b}}\,\mathbf{a} = {\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \over \langle \mathbf{b}, \mathbf{b}\rangle} \mathbf{b} ,</math>

			где <math>\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle</math> — скалярное произведение векторов <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math>.

			Скалярное произведение для двух векторов <math>\mathbf{ a= [a_1, a_2, ...,a_k]}</math> и <math>\mathbf{ b= [b_1, b_2, ..., b_k]}</math> в '''''k'''''-мерном действительном пространстве определяется как:
			:<math>\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle=\sum_{i=1}^k a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+ a_kb_k</math>.

			Этот оператор проецирует вектор <math>\mathbf{a}</math> коллинеарно вектору <math>\mathbf{b}</math>.

			Ортогональность векторов <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> достигается на шаге (2).

			Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом:

			: <math>
			{\begin{array}{lclr}
			{\mathbf {b}}_{1}&=&{\mathbf {a}}_{1}&(1)\\
			{\mathbf {b}}_{2}&=&{\mathbf {a}}_{2}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{1}}}\,{\mathbf {a}}_{2}&(2)\\
			{\mathbf {b}}_{3}&=&{\mathbf {a}}_{3}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{1}}}\,{\mathbf {a}}_{3}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{2}}}\,{\mathbf {a}}_{3}&(3)\\
			{\mathbf {b}}_{4}&=&{\mathbf {a}}_{4}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{1}}}\,{\mathbf {a}}_{4}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{2}}}\,{\mathbf {a}}_{4}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{3}}}\,{\mathbf {a}}_{4}&(4)\\
			&\vdots &&\\{\mathbf {b}}_{N}&=&{\mathbf {a}}_{N}-\displaystyle \sum _{{j=1}}^{{N-1}}{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{j}}}\,{\mathbf {a}}_{N}&(N)
			\end{array}}
			</math>


			На основе каждого вектора <math>\mathbf{b}_j \;(j = 1 \ldots N)</math> может быть получен нормированный вектор: <math>\mathbf{e}_j = {\mathbf{b}_j\over \\| \mathbf{b}_j \\|}</math> (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а длина — единичной). Причем берется норма согласованная со скалярным произведением <math>\\| x \\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math>

			Результаты процесса Грама — Шмидта:

			<math>\mathbf{b}_1,\;\ldots,\;\mathbf{b}_N</math> — система ортогональных векторов либо

			<math>\mathbf{e}_1,\;\ldots,\;\mathbf{e}_N</math> — система ортонормированных векторов.

			Вычисление <math>\mathbf{b}_1,\;\ldots,\;\mathbf{b}_N</math> носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а <math>\mathbf{e}_1,\;\ldots,\;\mathbf{e}_N</math> — ортонормализации Грама — Шмидта.


	Наиболее распространённой формой метода является [[Метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы с переортогонализацией (вещественный вариант)\|Вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]].		Наиболее распространённой формой метода является [[Метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы с переортогонализацией (вещественный вариант)\|Вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]].

Frolov в 11:12, 4 мая 2017

2017-05-04T11:12:48Z

← Предыдущая версия		Версия от 11:12, 4 мая 2017
Строка 1:		Строка 1:
	{{level-m}}		{{level-m}}
	'''Ортогонализация Грама-Шмидта''' — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}</math> строится множество ортогональных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}} </math> или ортонормированных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}} </math>, причём так, что каждый вектор <math>{\displaystyle \mathbf {b} _{j}} </math> или <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}</math> может быть выражен линейной комбинацией векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}}</math>. Данный процесс может быть использован для получения [[QR-разложения плотных неособенных матриц\|QR-разложения]], в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду.		'''Ортогонализация Грама-Шмидта''' — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}</math> строится множество ортогональных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}} </math> или ортонормированных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}} </math>, причём так, что каждый вектор <math>{\displaystyle \mathbf {b} _{j}} </math> или <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}</math> может быть выражен линейной комбинацией векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}}</math>. Данный процесс может быть использован для получения [[QR-разложения плотных неособенных матриц\|QR-разложения]], в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду.

			== Математические основы метода ==

			[[Классический метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы (вещественный вариант)\|Классический метод ортогонализации]] довольно прост, однако из-за неустойчивости, проявляющейся в неортогональности получаемых систем, редко применяется на практике.

			Наиболее распространённой формой метода является [[Метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы с переортогонализацией (вещественный вариант)\|Вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]].

Frolov: Новая страница: «{{level-m}} '''Ортогонализация Грама-Шмидта''' — это один из методов, в которых на основе множес…»

2017-05-04T11:03:09Z

Новая страница: «{{level-m}} '''Ортогонализация Грама-Шмидта''' — это один из методов, в которых на основе множес…»

Новая страница

{{level-m}}
'''Ортогонализация Грама-Шмидта''' — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}</math> строится множество ортогональных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}} </math> или ортонормированных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}} </math>, причём так, что каждый вектор <math>{\displaystyle \mathbf {b} _{j}} </math> или <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}</math> может быть выражен линейной комбинацией векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}}</math>. Данный процесс может быть использован для получения [[QR-разложения плотных неособенных матриц|QR-разложения]], в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду.