ASA: Полностью удалено содержимое страницы

2015-09-17T08:20:07Z

Полностью удалено содержимое страницы

Внесённые изменения

ASA в 08:19, 17 сентября 2015

2015-09-17T08:19:35Z

Внесённые изменения

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

2015-09-16T14:10:26Z

Полностью удалено содержимое страницы

Внесённые изменения

ASA в 14:09, 16 сентября 2015

2015-09-16T14:09:55Z

Внесённые изменения

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

2015-09-11T08:14:11Z

Полностью удалено содержимое страницы

Внесённые изменения

ASA: Новая страница: «= Умножение плотной неособенной матрицы на вектор (последовательный вещественный вариа…»

2015-09-11T08:13:40Z

Новая страница: «= Умножение плотной неособенной матрицы на вектор (последовательный вещественный вариа…»

Новая страница

= Умножение плотной неособенной матрицы на вектор (последовательный вещественный вариант) =

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

'''Умножение матрицы на вектор''' - одна из базовых задач в алгоритмах линейной алгебры, широко применяется в большом количестве разных методов.
Здесь мы рассмотрим умножение <math>y = Ax</math> плотной неособенной матрицы на вектор (последовательный вещественный вариант)<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref>, то есть тот вариант, где никак не используются ни специальный вид матрицы, ни ассоциативные свойства операции сложения.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные: плотная матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>), умножаемый на неё вектор <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>).

Вычисляемые данные: вектор решения <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>).

Формулы метода:
:<math>
\begin{align}
y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}, \quad i \in [1, m].
\end{align}
</math>

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро умножения матрицы на вектор можно составить из множественных (всего их <math>m</math>) вычислений скалярных произведений строк матрицы <math>A</math> вектор <math>x</math>:

:<math> \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}</math>

в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи.

=== Макроструктура алгоритма ===

Как уже записано в [[#Вычислительное ядро алгоритма|описании ядра алгоритма]], основную часть умножения матрицы на вектор составляют множественные (всего <math>m</math>) вычисления скалярных произведений строк матрицы <math>A</math> вектор <math>x</math>

:<math> \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}</math>

в режиме накопления или без него.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Для всех <math>i</math> от <math>1</math> до <math>m</math> по возрастанию выполняются

:<math>y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}</math>

Особо отметим, что вычисления сумм вида <math>\sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}</math> производят в режиме накопления прибавлением к текущему (временному) значению вычисляемой компоненты вектора <math>y_{i}</math> произведений <math>a_{ij} x_{j}</math> для <math>j</math> от <math>1</math> до <math>n</math>, '''c возрастанием''' <math>j</math>, вначале все компоненты инициализируются нулями. При суммировании "по убыванию" общая схема принципиально не отличается и потому нами не рассматривается. Другие порядки выполнения суммирования приводят к изменению параллельных свойств алгоритма и будут рассматриваться нами в отдельных описаниях.

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Для умножения квадратной матрицы на вектор порядка <math>n</math> (т.е. при <math>m=n</math>) в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

* по <math>n^2</math> умножений и сложений.

Для умножения матрицы размером <math>m</math> строк на <math>n</math> столбцов на вектор порядка <math>n</math> в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

* по <math>mn</math> умножений и сложений.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и сложений в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает затраты во времени, требуемом для выполнения умножения матрицы на вектор.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, алгоритм умножения матрицы на вектор относится к алгоритмам ''с квадратической сложностью'' (в случае неквадратной матрицы - с ''билинейной'').

=== Информационный граф ===

Опишем [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]] как аналитически, так и в виде рисунка.

[[Файл:YeqAX.png|500px|thumb|center|Рисунок 1. Граф последовательного умножения плотной матрицы на вектор с отображением входных и выходных данных]]

Граф алгоритма умножения плотной матрицы на вектор состоит из одной группы вершин, расположенной в целочисленных узлах двумерной области, соответствующая ей операция <math>a+bc</math>.

Естественно введённые координаты области таковы:
* <math>i</math> — меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>m</math>, принимая все целочисленные значения;
* <math>j</math> — меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>n</math>, принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:
*<math>a</math>:
** при <math>j = 1</math> константа <math>0.</math>;
** при <math>j > 1</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине с координатами <math>i, j-1</math>;
*<math>b</math> — элемент ''входных данных'', а именно <math>a_{ij}</math>;
*<math>c</math> - элемент входных данных <math>x_{j}</math>;

Результат срабатывания операции является:
* при <math>j < n</math> - ''промежуточным данным'' алгоритма;
* при <math>j = n</math> - выходным данным.

Описанный граф можно посмотреть на рисунке, выполненном для случая <math>m = 4, n = 5</math>. Здесь вершины обозначены голубым цветом. Изображена подача только входных данных из вектора <math>x</math>, подача элементов матрицы <math>A</math>, идущая во все вершины, на рисунке не представлена.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Для алгоритма умножения квадратной матрицы на вектор порядка n в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

* по <math>n</math> ярусов умножений и сложений (в каждом из ярусов — <math>n</math> операций).

Для умножения матрицы размером <math>m</math> строк на <math>n</math> столбцов на вектор порядка <math>n</math> в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

* по <math>n</math> ярусов умножений и сложений (в каждом из ярусов — <math>m</math> операций).

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и сложений в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения алгоритма в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает некоторое увеличение требуемой памяти.

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, алгоритм умножения матрицы на вектор относится к алгоритмам ''с линейной сложностью''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет ''линейной''.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные''': матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>), вектор <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>).

'''Объём входных данных''': <math>mn+n</math> .

'''Выходные данные''': вектор <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>).

'''Объём выходных данных''': <math>m</math>.

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является ''линейным'' (отношение квадратической или билинейной к линейной).

При этом вычислительная мощность алгоритма умножения матрицы на вектор, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь ''константа''.

При этом алгоритм умножения матрицы на вектор полностью детерминирован. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций в данной версии нами не рассматривается.

== Литература ==
<references />

Приложение 10 - История изменений

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

ASA в 08:19, 17 сентября 2015

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

ASA в 14:09, 16 сентября 2015

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

ASA: Новая страница: «= Умножение плотной неособенной матрицы на вектор (последовательный вещественный вариа…»