ASA: Новая страница: «= Обратная подстановка метода Гаусса (вещественный вариант) = == Свойства и структура алг…»

2015-09-11T08:00:53Z

Новая страница: «= Обратная подстановка метода Гаусса (вещественный вариант) = == Свойства и структура алг…»

Новая страница

= Обратная подстановка метода Гаусса (вещественный вариант) =

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

'''Обратная подстановка''' - решение ''системы линейных алгебраических уравнений'' ('''СЛАУ''') <math>Ux = y</math> с верхней треугольной матрицей <math>U</math>. Матрица <math>U</math> может быть одной из составляющих матрицы <math>A</math> в каких-либо разложениях и получается либо из <math>LU</math>-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, [[Метод Холецкого (квадратного корня), точечный вещественный вариант|разложение Холецкого]] и др.), либо из других (например из QR-разложения). В силу треугольности <math>U</math> решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами.

В<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. - М.: Наука, 1984.</ref> методом '''обратной подстановки''' назван также и метод решения СЛАУ с ''нижней треугольной матрицей''. Там же отмечено, что в литературе иногда под ''обратной подстановкой'' имеют в виду, как и здесь, только решения СЛАУ с ''верхней треугольной матрицей'', а решение ''нижних'' треугольных систем называют [[Прямая подстановка (вещественный вариант)|прямой подстановкой]]. Такой же системы названий будем придерживаться и здесь, во избежание одноимённого названия разных алгоритмов. Кроме того, '''обратная подстановка''', представленная здесь, одновременно может быть частью '''метода Гаусса для решения СЛАУ''', а именно - его '''обратным ходом''', чего нельзя сказать про [[Прямая подстановка (вещественный вариант)|прямую подстановку]].

Существует метод со сходным названием - [[Обратная подстановка с нормировкой]]. При том, что он решает, по существу, ту же задачу, что и простая '''обратная подстановка''', его схема несколько сложнее. Это связано со специальными мерами по уменьшению влияния ошибок округления на результат. [[Обратная подстановка с нормировкой]] на данной странице не рассматривается.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные: верхняя треугольная матрица <math>U</math> (элементы <math>u_{ij}</math>), вектор правой части <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>).

Вычисляемые данные: вектор решения <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>).

Формулы метода:
:<math>
\begin{align}
x_{n} & = y_{n}/u_{nn} \\
x_{i} & = \left (y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} \right ) / u_{ii}, \quad i \in [1, n - 1].
\end{align}
</math>

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро обратной подстановки можно составить из множественных (всего их <math>n-1</math>) вычислений скалярных произведений подстрок матрицы <math>U</math> на уже вычисленную часть вектора <math>x</math>:

:<math> \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} </math>

в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи, с их последующим вычитанием из компоненты вектора <math>y</math> и деления на диагональный элемент матрицы <math>U</math>. В отечественных реализациях, даже в последовательных, упомянутый способ представления не используется. Дело в том, что даже в этих реализациях метода вычисление сумм типа

:<math> y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} </math>

в которых и встречаются скалярные произведения, ведутся не в порядке «вычислили скалярное произведение, а потом вычли его из элемента», а путём вычитания из элемента покомпонентных произведений, являющихся частями скалярных произведений. Поэтому следует считать вычислительным ядром метода не вычисления скалярных произведений, а вычисления выражений

:<math> y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} </math>

в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи, плюс деления результатов этих вычислений на диагональные элементы матрицы.

=== Макроструктура алгоритма ===

Как уже записано в [[#Вычислительное ядро алгоритма|описании ядра алгоритма]], основную часть метода обратной подстановки составляют множественные (всего <math>n-1</math>) вычисления сумм

:<math>y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} </math>

в режиме накопления или без него, плюс деления результатов этих вычислений на диагональные элементы матрицы.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Последовательность исполнения такова:

1. <math>x_{n} = y_{n}/u_{nn}</math>

Далее для всех <math>i</math> от <math>n-1</math> до <math>1</math> ''по убыванию'' выполняются

2. <math>x_{i} = \left (y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} \right ) / u_{ii}</math>

Особо отметим, что вычисления сумм вида <math>y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j}</math> производят в режиме накопления вычитанием из <math>y_{i}</math> произведений <math>u_{ij} x_{j}</math> для <math>j</math> от <math>n</math> до <math>i + 1</math>, '''''c убыванием''''' <math>j</math>. '''''Другие порядки выполнения суммирования приводят к резкому ухудшению параллельных свойств алгоритма''''', хотя, к сожалению, остаются кое-где в литературе и пакетах программ. В качестве примера такого порядка можно привести фрагмент программы из<ref>Дж.Форсайт, К.Моллер. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. - М.:Мир, 1969.</ref>, где обратная подстановка является обратным ходом в методе Гаусса, а возрастание индекса суммирования связано, в основном, с ограничениями используемого авторами книги старого диалекта Фортрана.

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Для обратной подстановки в случае решения линейной системы с верхней треугольной матрицей порядка <math>n</math> в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

* <math>n</math> делений,
* <math>\frac{n^2-n}{2}</math> сложений (вычитаний),
* <math>\frac{n^2-n}{2}</math> умножений.
Умножения и сложения (вычитания) — ''основная часть алгоритма''.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране).

При классификации по последовательной сложности, таким образом, метод обратной подстановки относится к алгоритмам ''со сложностью'' <math>O(n^2)</math>.

=== Информационный граф ===

Опишем [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]] как аналитически, так и в виде рисунка.

Граф алгоритма обратной подстановки состоит из двух групп вершин, расположенных в целочисленных узлах двух областей разной размерности.

[[Файл:DirectU.png|450px|thumb|left|Рис. 1. Обратная подстановка]]

'''Первая''' группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию деления.
Естественно введённая единственная координата каждой из вершин <math>i</math> меняется в диапазоне от <math>n</math> до <math>1</math>, принимая все целочисленные значения.

Делимое в этой операции:

* при <math>i = n</math> — элемент ''входных данных'', а именно <math>y_{n}</math>;
* при <math>i < n</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами <math>i</math>, <math>i+1</math>.

Делитель для этой операции - элемент ''входных данных'', а именно <math>u_{nn}</math>.

Результат срабатывания операции является ''выходным данным'' <math>x_{i}</math>.

'''Вторая''' группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция <math>a-bc</math>.
Естественно введённые координаты области таковы:
* <math>i</math> — меняется в диапазоне от <math>n-1</math> до <math>1</math>, принимая все целочисленные значения;
* <math>j</math> — меняется в диапазоне от <math>n</math> до <math>i+1</math>, принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:
*<math>a</math>:
** при <math>j = n</math> элемент ''входных данных'' <math>y_{i}</math>;
** при <math>j < n</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами <math>i, j+1</math>;
*<math>b</math> — элемент ''входных данных'', а именно <math>u_{ij}</math>;
*<math>c</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатой <math>j</math>.

Результат срабатывания операции является ''промежуточным данным'' алгоритма.

Описанный граф можно посмотреть на рис. 1, выполненном для случая <math>n = 5</math>. Здесь вершины первой группы обозначены жёлтым цветом и знаком деления, вершины второй — зелёным цветом и буквой f. Изображена подача только входных данных из вектора <math>y</math>, подача элементов матрицы <math>U</math>, идущая во все вершины, на рисунке не представлена.

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Для обратной подстановки в случае решения линейной системы с верхней треугольной матрицей порядка <math>n</math> в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:
* <math>n</math> ярусов делений (в каждом из ярусов одно деление),
* по <math>n - 1</math> ярусов умножений и сложений/вычитаний (в каждом из ярусов — линейное количество операций, от <math>1</math> до <math>n-1</math>.

Таким образом, в параллельном варианте, в отличие от последовательного, вычисления делений будут определять довольно значительную долю требуемого времени. При реализации на конкретных архитектурах наличие в отдельных ярусах [[глоссарий#Ярусно-параллельная форма графа алгоритма|ЯПФ]] отдельных делений может породить и другие проблемы. Например, при реализации метода обратной подстановки на ПЛИСах остальные вычисления (умножения и сложения/вычитания) могут быть конвейеризованы, что даёт экономию и по ресурсам на программируемых платах; деления из-за их изолированности приведут к занятию ресурсов на платах, которые будут простаивать большую часть времени.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения алгоритма в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает некоторое увеличение требуемой памяти.

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод обратной подстановки относится к алгоритмам ''с линейной сложностью''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет ''линейной''.

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные''': верхняя треугольная матрица <math>U</math> (элементы <math>u_{ij}</math>), вектор правой части <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>).

'''Объём входных данных''': :<math>\frac{n (n + 3)}{2}</math> (в силу треугольности достаточно хранить только ненулевые элементы матрицы <math>U</math>).

'''Выходные данные''': вектор решения <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>).

'''Объём выходных данных''': :<math>n~.</math>

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является ''линейным'' (отношение квадратической к линейной).

При этом вычислительная мощность алгоритма обратной подстановки, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь ''константа''.

При этом алгоритм обратной подстановки полностью детерминирован. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций в данной версии нами не рассматривается, поскольку в корне меняет структуру алгоритма и меняет сложность с линейной на квадратичную.

Наличие линейного количества ярусов ЯПФ, состоящих из одного-единственного деления, потенциально замедляющее параллельные реализации алгоритма, является его характерным "узким местом", особенно в сравнении со схожей по решаемой математической задаче [[Прямая подстановка (вещественный вариант)|прямой подстановке]], где диагональные элементы единичны. В связи с этим для решения СЛАУ предпочтительны такие разложения, содержащие треугольные матрицы, где в треугольных матрицах диагональные элементы единичны. В тех же случаях, когда получаются неособенные треугольные матрицы, их желательно предварительно, до решения СЛАУ с ними, преобразовать в произведение диагональной и треугольной с единичными диагональными элементами.

У алгоритма обратной подстановки существует несколько блочных вариантов. Граф некоторых из них совпадает с графом точечного варианта, различия связаны в основном с порядком прохождения основных циклов алгоритма, а именно - с их развёртыванием и перестановкой. Эти приёмы могут помочь в оптимизации обменов на конкретных вычислительных системах.

== Литература ==
<references />

Приложение 3 - История изменений

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

ASA в 08:08, 17 сентября 2015

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

ASA в 13:58, 16 сентября 2015

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

ASA: Новая страница: «= Обратная подстановка метода Гаусса (вещественный вариант) = == Свойства и структура алг…»