ASA: Полностью удалено содержимое страницы

2015-09-17T08:18:40Z

Полностью удалено содержимое страницы

Внесённые изменения

ASA в 08:18, 17 сентября 2015

2015-09-17T08:18:09Z

Внесённые изменения

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

2015-09-16T14:08:54Z

Полностью удалено содержимое страницы

Внесённые изменения

ASA в 14:08, 16 сентября 2015

2015-09-16T14:08:21Z

Внесённые изменения

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

2015-09-11T08:12:39Z

Полностью удалено содержимое страницы

Внесённые изменения

ASA: Новая страница: «= Перемножение плотных неособенных матриц (последовательный вещественный вариант) = == С…»

2015-09-11T08:12:05Z

Новая страница: «= Перемножение плотных неособенных матриц (последовательный вещественный вариант) = == С…»

Новая страница

= Перемножение плотных неособенных матриц (последовательный вещественный вариант) =

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

'''Перемножение матриц''' - одна из базовых задач в алгоритмах линейной алгебры, широко применяется в большом количестве разных методов.
Здесь мы рассмотрим умножение <math>С = AВ</math>  плотных неособенных матриц (последовательный вещественный вариант), то есть тот вариант, где никак не используются ни специальный вид матрицы, ни ассоциативные свойства операции сложения<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref>.

=== Математическое описание алгоритма ===

Исходные данные: плотная матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>), плотная матрица <math>B</math> (элементы <math>b_{ij}</math>).

Вычисляемые данные: плотная матрица <math>C</math> (элементы <math>c_{ij}</math>).

Формулы метода:
:<math>
\begin{align}
c_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{kj}, \quad i \in [1, m], \quad i \in [1, l].
\end{align}
</math>

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Вычислительное ядро перемножения плотных неособенных матриц можно составить из множественных (всего их <math>l</math>) вычислений умножения матрицы <math>A</math> на столбцы матрицы <math>B</math>, или (при более детальном рассмотрении), из множественных (всего их <math>ml</math>) скалярных произведений строк матрицы <math>A</math> на столбцы матрицы <math>B</math>:

:<math>\sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{kj}</math>

в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи.

=== Макроструктура алгоритма ===

Как уже записано в [[#Вычислительное ядро алгоритма|описании ядра алгоритма]], основную часть умножения матриц составляют множественные (всего <math>ml</math>) вычисления скалярных произведений строк матрицы <math>A</math> на столбцы матрицы <math>B</math>

:<math>\sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{kj}</math>

в режиме накопления или без него.

=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Для всех <math>i</math> от <math>1</math> до <math>m</math> и для всех <math>j</math> от <math>1</math> до <math>l</math> выполняются

:<math>c_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{kj}</math>

Особо отметим, что вычисления сумм вида <math>\sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{kj}</math> производят в режиме накопления прибавлением к текущему (временному) значению вычисляемого элемента матрицы <math>c_{ij}</math> произведений <math>a_{ik} b_{kj}</math> для <math>k</math> от <math>1</math> до <math>n</math>, '''c возрастанием''' <math>k</math>, вначале все элементы инициализируются нулями. При суммировании "по убыванию" общая схема принципиально не отличается и потому нами не рассматривается. Другие порядки выполнения суммирования приводят к изменению параллельных свойств алгоритма и будут рассматриваться нами в отдельных описаниях.

=== Последовательная сложность алгоритма ===

Для умножения двух квадратных матриц порядка <math>n</math> (т.е. при <math>m=n=l</math>) в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

* по <math>n^3</math> умножений и сложений.

Для умножения матрицы размером <math>m</math> строк на <math>n</math> столбцов на матрицу размером <math>m</math> строк на <math>n</math> столбцов в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

* по <math>mnl</math> умножений и сложений.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и сложений в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает затраты во времени, требуемом для выполнения умножения матриц.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, алгоритм умножения матриц относится к алгоритмам ''с кубической сложностью'' (в случае неквадратных матриц - с ''трилинейной'').

=== Информационный граф ===

Опишем [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]] как аналитически, так и в виде рисунка.

Граф алгоритма умножения плотных матриц состоит из одной группы вершин, расположенной в целочисленных узлах трёхмерной области, соответствующая ей операция <math>a+bc</math>.

Естественно введённые координаты области таковы:
* <math>i</math> — меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>m</math>, принимая все целочисленные значения;
* <math>j</math> — меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>l</math>, принимая все целочисленные значения;
* <math>k</math> — меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>n</math>, принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:
*<math>a</math>:
** при <math>k = 1</math> константа <math>0</math>;
** при <math>k > 1</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине с координатами <math>i, j, k-1</math>;
*<math>b</math> — элемент ''входных данных'', а именно <math>a_{ik}</math>;
*<math>c</math> - элемент ''входных данных'' <math>b_{kj}</math>;

Результат срабатывания операции является:
* при <math>k < n</math> - ''промежуточным данным'' алгоритма;
* при <math>k = n</math> - выходным данным <math>c_{ij}</math>.

[[file:Dense mtrx product.png|thumb|center|800px|Рисунок 1. Умножение плотных матриц с отображением выходных данных]]

=== Ресурс параллелизма алгоритма ===

Для алгоритма умножения квадратных матриц порядка n в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

* по <math>n</math> ярусов умножений и сложений (в каждом из ярусов — <math>n^2</math> операций).

Для умножения матрицы размером <math>m</math> строк на <math>n</math> столбцов на матрицу размером <math>n</math> строк на <math>l</math> столбцов в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

* по <math>n</math> ярусов умножений и сложений (в каждом из ярусов — <math>ml</math> операций).

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения алгоритма в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает некоторое увеличение требуемой памяти.

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, алгоритм умножения матриц относится к алгоритмам ''с линейной сложностью''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет ''квадратичной'' (для квадратных матриц) или ''билинейной'' (для матриц общего вида).

=== Входные и выходные данные алгоритма ===

'''Входные данные''': матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>), матрица <math>B</math> (элементы <math>b_{ij}</math>)).

'''Объём входных данных''': <math>mn+nl</math>

'''Выходные данные''': матрица <math>C</math> (элементы <math>c_{ij}</math>).

'''Объём выходных данных''': <math>ml</math>

=== Свойства алгоритма ===

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является ''квадратичным'' или ''билинейным'' (отношение кубической или трилинейной к линейной).

При этом вычислительная мощность алгоритма умножения матриц, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – ''линейно''.

При этом алгоритм умножения матриц полностью детерминирован. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций в данной версии нами не рассматривается.

== Литература ==
<references />

Приложение 9 - История изменений

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

ASA в 08:18, 17 сентября 2015

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

ASA в 14:08, 16 сентября 2015

ASA: Полностью удалено содержимое страницы

ASA: Новая страница: «= Перемножение плотных неособенных матриц (последовательный вещественный вариант) = == С…»