Участник:Коростелец - История изменений

Коростелец: /* Математическое описание алгоритма */

2017-10-24T01:47:54Z

Математическое описание алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 01:47, 24 октября 2017
Строка 99:		Строка 99:

	<math>\|\|w_{n+1}\|\|^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=</math>		<math>\|\|w_{n+1}\|\|^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=</math>
	<math>=\|\|w_n\|\|^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=/<math>		<math>=\|\|w_n\|\|^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=</math>
	<math>=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=</math>		<math>=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=</math>
	<math>=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>		<math>=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>

Коростелец: /* Математическое описание алгоритма */

2017-10-24T01:47:18Z

Математическое описание алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 01:47, 24 октября 2017
Строка 79:		Строка 79:
	Выразим		Выразим

	<math>w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n=		<math>w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n=</math>

	=(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n</math>,		<math>=(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n</math>,

	где		где
Строка 98:		Строка 98:
	иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда		иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда

	<math>\|\|w_{n+1}\|\|^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=		<math>\|\|w_{n+1}\|\|^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=</math>
	=\|\|w_n\|\|^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=		<math>=\|\|w_n\|\|^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=/<math>
	=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=		<math>=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=</math>
	=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>		<math>=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>

Коростелец: /* Литература */

2017-10-24T01:38:49Z

Литература

← Предыдущая версия		Версия от 01:38, 24 октября 2017
Строка 135:		Строка 135:

	==Литература==		==Литература==
			Абакумов М.В., Гулин А.В. Лекции по численным методам математической физики: Учеб. пособие. - М.:ИНФРА-М,2013

Коростелец: /* Математическое описание алгоритма */

2017-10-24T01:35:55Z

Математическое описание алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 01:35, 24 октября 2017
Строка 20:		Строка 20:
	===Математическое описание алгоритма===		===Математическое описание алгоритма===

	В описанном методе невырожденная матрица B не зависит от номера итерации n, решение y системы и последовательные приближения y_n - элементы линейного пространства H размерности m, в котором определены скалярное произведение и норма		В описанном методе невырожденная матрица B не зависит от номера итерации n, решение y системы и последовательные приближения y_n - элементы линейного пространства H размерности m, в котором определены скалярное произведение и норма
	<math>\|\|y\|\|=\sqrt{(y,y)}</math>		<math>\|\|y\|\|=\sqrt{(y,y)}</math>

	Можно выразить		Можно выразить
	<math>		<math>

Строка 31:		Строка 31:
	</math>		</math>

	Тогда для нахождения		Тогда для нахождения
	<math>y_{n+1}</math>		<math>y_{n+1}</math>
	необходимо определить		необходимо определить
	<math>\tau_{n+1}</math>		<math>\tau_{n+1}</math>

	Пусть		Пусть
	<math>z_n=y_n-y</math>		<math>z_n=y_n-y</math>
	- погрешность на n-ой итерации. Выразив		- погрешность на n-ой итерации. Выразив
	<math>y_{n+1}</math>		<math>y_{n+1}</math>
	и		и
	<math>y_n</math>		<math>y_n</math>

	через погрешность, можно получить		через погрешность, можно получить

	<math>B\frac{z_{n+1}+y-z_n-y}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f		<math>B\frac{z_{n+1}+y-z_n-y}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f

	B\frac{z_{n+1}-z_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f</math>		B\frac{z_{n+1}-z_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f</math>

	отсюда		отсюда

	<math>z_{n+1}=z_n-\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)=(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n</math>		<math>z_{n+1}=z_n-\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)=(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n</math>

	Пусть D - произвольная матрица, удовлетворяющая условиям		Пусть D - произвольная матрица, удовлетворяющая условиям

	<math>D^T=D>0.</math>		<math>D^T=D>0.</math>
	Выбор итерационных параметров		Выбор итерационных параметров
	<math>\tau_{n+1}</math>		<math>\tau_{n+1}</math>
	можно сделать на основе минимизации энергитической нормы		можно сделать на основе минимизации энергитической нормы
	<math>\|\|z_{n+1}\|\|_D.</math>		<math>\|\|z_{n+1}\|\|_D.</math>
	Такой способ построения итерационного процесса называется локальной минимизацией.		Такой способ построения итерационного процесса называется локальной минимизацией.

	Обозначив		Обозначив
	<math>		<math>
	\begin{equation}		\begin{equation}
	w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}		w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}
	\end{equation}		\end{equation}
	</math>		</math>
	получим		получим

	<math>\|\|z_{n+1}\|\|_D=\sqrt{(Dz_{n+1},z_{n+1})}=\sqrt{(D^{1/2}z_{n+1},D^{1/2}z_{n+1})}=\|\|w_{n+1}\|\|</math>		<math>\|\|z_{n+1}\|\|_D=\sqrt{(Dz_{n+1},z_{n+1})}=\sqrt{(D^{1/2}z_{n+1},D^{1/2}z_{n+1})}=\|\|w_{n+1}\|\|</math>

	Значит минимизация		Значит минимизация
	<math>\|\|z_{n+1}\|\|_D</math>		<math>\|\|z_{n+1}\|\|_D</math>
	эквивалентна минимизации		эквивалентна минимизации
	<math>\|\|w_{n+1}\|\|</math>		<math>\|\|w_{n+1}\|\|</math>

	Выразим		Выразим

	<math>w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n=		<math>w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n=

	=(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n</math>,		=(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n</math>,

	где		где
	<math>		<math>
	\begin{equation}		\begin{equation}
	C=D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2}		C=D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2}
Строка 91:		Строка 92:


	- невырожденная матрица.		- невырожденная матрица.

	Пусть		Пусть
	<math>w_0\neq 0,</math>		<math>w_0\neq 0,</math>
	иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда		иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда

	<math>\|\|w_{n+1}\|\|^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=		<math>\|\|w_{n+1}\|\|^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=
	=\|\|w_n\|\|^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=		=\|\|w_n\|\|^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=
	=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=		=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=
	=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>		=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>


	Это значит, что минимальное значение		Это значит, что минимальное значение
	<math>\|\|w_{n+1}\|\|</math>		<math>\|\|w_{n+1}\|\|</math>
	достигается при		достигается при

	<math>\tau_{n+1}=\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)},</math>		<math>\tau_{n+1}=\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)},</math>
	где		где
	<math>\tau_{n+1}>0,</math>		<math>\tau_{n+1}>0,</math>
	если C>0		если C>0

	В дальнейшем предполагаем условие C>0 выполненным.		В дальнейшем предполагаем условие C>0 выполненным.

	<math>\tau_{n+1}=\frac{(DB^{-1}Az_n,z_n)}{(DB^{-1}Aw_n,B^{-1}Aw_n)}</math>		<math>\tau_{n+1}=\frac{(DB^{-1}Az_n,z_n)}{(DB^{-1}Aw_n,B^{-1}Aw_n)}</math>

	Где		Где
	<math>v_n=B^{-1}(Ay_n-f)</math>		<math>v_n=B^{-1}(Ay_n-f)</math>
	- поправка,		- поправка,
	<math>r_n=(Ay_n-f)</math>		<math>r_n=(Ay_n-f)</math>
	-невязка на n-ой итерации.		-невязка на n-ой итерации.

	Значит		Значит
	<math>		<math>
	\begin{equation}		\begin{equation}
	\tau_{n+1}=\frac{(Dv_n,z_n)}{(Dv_n,v_n)}		\tau_{n+1}=\frac{(Dv_n,z_n)}{(Dv_n,v_n)}

Коростелец: /* Свойства и структура алгоритма */

2017-10-24T01:32:37Z

Свойства и структура алгоритма

@@ Строка 16: / Строка 16: @@
 <math> B \frac{y_{n+1}-y_n+(1-\alpha_{n+1})(y_n-y_{n-1})}{\alpha_{n+1}\tau_{n+1}}+Ay_n=f,
   \frac{y_{1}-y_0}{\tau_{1}}+Ay_0=f; n=1,...; y_0\in H</math>
 ==Программная реализация алгоритма ==

Коростелец: /* Свойства и структура алгоритма */

2017-10-24T00:50:03Z

Свойства и структура алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 00:50, 24 октября 2017
Строка 2:		Строка 2:

	=== Общее описание алгоритма ===		=== Общее описание алгоритма ===
			Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений

			<math>Ay=f</math>

			где А - квадратная невырожденная матрица порядка ''m, у'' - искомый вектор размерности ''m, f'' - заданный вектор той же размерности

			Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения такой системы вида

	==~~=[p xj===~~		<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H,</math>

	~~Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный~~ метод ~~решения системы <math>Ay=f</math> вида~~		а так же аналогичный двушаговый метод

	<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H</math>		<math> B \frac{y_{n+1}-y_n+(1-\alpha_{n+1})(y_n-y_{n-1})}{\alpha_{n+1}\tau_{n+1}}+Ay_n=f,
			\frac{y_{1}-y_0}{\tau_{1}}+Ay_0=f; n=1,...; y_0\in H</math>

	==Программная реализация алгоритма ==		==Программная реализация алгоритма ==

Коростелец: /* Свойства и структура алгоритма */

2017-10-24T00:34:33Z

Свойства и структура алгоритма

← Предыдущая версия		Версия от 00:34, 24 октября 2017
Строка 2:		Строка 2:

	=== Общее описание алгоритма ===		=== Общее описание алгоритма ===




			===[p xj===

	Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения системы <math>Ay=f</math> вида		Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения системы <math>Ay=f</math> вида

	<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H</math>		<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H</math>



	==Программная реализация алгоритма ==		==Программная реализация алгоритма ==

Коростелец: Новая страница: «== Свойства и структура алгоритма == === Общее описание алгоритма === Рассмотрим нестациона…»

2017-10-24T00:24:02Z

Новая страница: «== Свойства и структура алгоритма == === Общее описание алгоритма === Рассмотрим нестациона…»

Новая страница

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения системы <math>Ay=f</math> вида

<math>B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H</math>

==Программная реализация алгоритма ==

==Литература==

← Предыдущая версия		Версия от 01:47, 24 октября 2017
Строка 99:		Строка 99:

	<math>\|\|w_{n+1}\|\|^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=</math>		<math>\|\|w_{n+1}\|\|^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=</math>
	<math>=\|\|w_n\|\|^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=/<math>		<math>=\|\|w_n\|\|^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=</math>
	<math>=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=</math>		<math>=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=</math>
	<math>=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>		<math>=\|\|w_n\|\|^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}</math>