Danil cherkashin: Новая страница: «Автор: Черкашин Данил Андреевич == Свойства и структура алгоритма == === Общее описание ал...»

2025-11-04T15:07:07Z

Новая страница: «Автор: Черкашин Данил Андреевич == Свойства и структура алгоритма == === Общее описание ал...»

Новая страница

Автор: Черкашин Данил Андреевич

== Свойства и структура алгоритма ==

=== Общее описание алгоритма ===

Алгоритм предназначен для решения задачи оптимального управления в модели нелинейной оптической системы с контуром обратной связи. Целью управления является минимизация интегрального функционала качества, который характеризует отклонение траектории фазовой модуляции <math>u(x, t)</math> от заданной целевой траектории <math>u_d(t)</math> на всем промежутке времени. Управление системой осуществляется путем изменения во времени параметров динамического Фурье-фильтра <math>P(t)</math>, который представляет собой набор комплексных коэффициентов, применяемых к пространственным гармоникам светового поля.

С математической точки зрения, алгоритм решает задачу минимизации для системы, описываемой нелинейным уравнением в частных производных параболического типа (уравнение диффузии с нелинейной правой частью).

Основу алгоритма составляет итерационный метод градиентного спуска. Одна полная итерация метода включает в себя следующие шаги:
# '''Решение прямой задачи:''' При текущем управлении <math>P(t)</math> решается нелинейное уравнение состояния для нахождения траектории системы <math>u(x, t)</math>. Численно задача решается с помощью неявной схемы Кранка-Николсон. На каждом временном шаге нелинейная система уравнений решается методом простой итерации, где основными вычислительными операциями являются прямое и обратное Быстрое Преобразование Фурье (БПФ).
# '''Решение сопряженной задачи:''' Для нахождения сопряженной переменной <math>\psi(x, t)</math> решается линейное параболическое уравнение назад по времени (от <math>t = T</math> до <math>t = 0</math>). Численное решение также основано на схеме Кранка-Николсон и БПФ.
# '''Вычисление градиента:''' С использованием решений прямой и сопряженной задач вычисляется градиент функционала качества по управляющим параметрам.
# '''Обновление управления:''' Параметры фильтра <math>P(t)</math> обновляются шагом в направлении антиградиента.

Алгоритм является вычислительно интенсивным, так как требует многократного решения уравнений в частных производных на всей пространственно-временной области.

=== Математическое описание алгоритма ===

==== Основные математические объекты ====
Основным пространством для состояния системы <math>u(x, t)</math> по пространственной переменной <math>x \in (0, 2\pi)</math> является гильбертово пространство комплекснозначных функций <math>H = L_2(0, 2\pi)</math>. Линейная часть эволюционного уравнения определяется самосопряженным положительно определенным оператором <math>A</math>:
<math>
Au := u - D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
</math>
где <math>D > 0</math> — коэффициент диффузии. Ортонормированный базис собственных функций этого оператора <math>\{e_n\}_{n \in \mathbb{Z}}</math> и соответствующие собственные значения <math>\{\lambda_n\}_{n \in \mathbb{Z}}</math> задаются формулами:
<math>
e_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}, \quad \lambda_n = 1 + Dn^2, \quad n \in \mathbb{Z}
</math>

Управление системой осуществляется через динамический Фурье-фильтр <math>P(t) = \{p_k(t)\}_{k \in \mathbb{Z}}</math>. Оператор фильтра <math>\Phi_{P(t)}</math> действует как умножение на коэффициенты <math>p_k(t)</math> в базисе Фурье:
<math>
\Phi_{P(t)}(f)(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} p_k(t) f_k e_k(x), \quad \text{где } f_k = (f, e_k)_H
</math>

==== Уравнение состояния ====
Эволюция фазовой модуляции <math>u(x, t)</math> описывается следующей начально-краевой задачей:
<math>
\frac{\partial u}{\partial t} + Au = F(u, P(t)), \quad (x, t) \in Q_T = (0, 2\pi) \times (0, T]
</math>
с периодическими граничными условиями
<math>
u(0, t) = u(2\pi, t), \quad \frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = \frac{\partial u}{\partial x}(2\pi, t), \quad t \in (0, T]
</math>
и начальным условием
<math>
u(x, 0) = u_0(x), \quad x \in [0, 2\pi]
</math>
где нелинейная функция <math>F</math> определяется как:
<math>
F(u; P(t)) = K|\Phi_{E+P(t)}(A_{in}e^{iu})|^2
</math>
Здесь <math>K > 0</math> — константа, <math>A_{in}(x)</math> — амплитуда входного поля, <math>\Phi_{E+P(t)} = I + \Phi_{P(t)}</math>.

==== Задача оптимального управления ====
Задача состоит в минимизации интегрального функционала качества <math>J(P)</math>:
<math>
J(P) = \int_0^T \rho(t) \|u(t; P) - u_d(t)\|_H^2 dt \to \inf_{P \in \mathcal{P}}
</math>
где <math>\mathcal{P}</math> — допустимое множество управлений, <math>u_d(t)</math> — заданная траектория, <math>\rho(t) \ge 0</math> — весовая функция.

==== Сопряженная задача и градиент функционала ====
Для нахождения градиента функционала вводится сопряженная переменная <math>\psi(x,t)</math>, которая является решением следующей терминально-краевой задачи (решается назад во времени от <math>t=T</math> до <math>t=0</math>):
<math>
-\frac{\partial \psi}{\partial t} + A^*\psi - F_u^*(u, P)\psi = 2\rho(t)(u(t) - u_d(t)), \quad (x, t) \in Q_T
</math>
с периодическими граничными условиями и терминальным условием <math>\psi(x, T) = 0</math>.
Здесь <math>A^*=A</math>, а <math>F_u^*</math> – сопряженный оператор к производной Фреше <math>F_u</math>.

Градиент функционала <math>J(P)</math> в точке <math>t</math> вычисляется по явной формуле:
<math>
\nabla J(P)(t) = F_p^*(u(t; P), P(t))\psi(t)
</math>
где <math>k</math>-я компонента сопряженного оператора <math>F_p^*</math> имеет вид:
<math>
(F_p^*(u, P)\psi)_k = 2K(\Phi_{E+P}(A)\psi, A_k e_k)_H
</math>
где <math>A = A_{in}e^{iu}</math> и <math>A_k = (A, e_k)_H</math>.

== Литература ==
# Mercer C., Creath K. Liquid-crystal point-diffraction interferometer for wave-front measurements // Applied Optics. — 1996. — T. 35, № 10. — C. 1633–1642.
# Chen W., Javidi B., Chen X. Advances in optical security systems // Advances in Optics and Photonics. — 2014. — T. 6, № 2. — C. 120–155.
# Shirai T. [и др.]. Fourier Synthesis in Classical Ghost Imaging // Imaging and Applied Optics. — Toronto: OSA, 2011. — JWA17.
# Liansheng S. [и др.]. Optical image encryption via high-quality computational ghost imaging using iterative phase retrieval // Laser Physics Letters. — 2018. — T. 15, № 7. — C. 075201.
# Goodman J. Introduction to Fourier optics. — 2nd. — New York : McGraw-Hill, 1996. — (McGraw-Hill series in electrical and computer engineering).
# Degtiarev E., Vorontsov M. Spatial filtering in nonlinear two-dimensional feedback systems: phase-distortion suppression // Journal of the Optical Society of America B. — 1995. — T. 12, № 7. — C. 1238–1248.
# Justh E. [и др.]. Adaptive optics with advanced phase-contrast techniques II Highresolution wave-front control // Journal of the Optical Society of America A. — 2001. — T. 18, № 6. — C. 1300–1309.
# Dale S. [и др.]. Wavefront correction using a self-referencing phase conjugation system based on a Zernike cell // Optics Communications. — 2001. — T. 191, № 1-2.
# Larichev A., Nikolaev I., Shmalgauzen V. Optical dissipative structures with a controlled spatial period in a nonlinear system and with a Fourier filter in a feedback loop // Quantum Electronics. — 1996. — T. 26, № 10. — C. 871–875.
# Larichev A., Nikolaev I., Violino P. LCLV-based system for high resolution wavefront correction: phase knife as a feedback intensity producer // Optics Communications. — 1997. — T. 138, № 1-3. — C. 127–135.
# Nikolaev I., Larichev A., Shmalgauzen V. Controlled optical structures in a nonlinear system involving the suppression of low spatial frequencies in the feedback loop // Quantum Electronics. — 2000. — T. 30, № 7. — C. 617–622.
# Сазонова. Исследование моделей матричной фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью : кандидатская диссертация / Сазонова С.В. — Факультет вычислительной математики и кибернетики, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2021.
# Poyneer L., Macintosh B., Véran J.-P. Fourier transform wavefront control with adaptive prediction of the atmosphere // Journal of the Optical Society of America A. — 2007. — T. 24, № 9. — C. 2645–2655.
# Nagashima M., Agrawal B. Application of complex-valued FXLMS adaptive filter to Fourier basis control of adaptive optics // Proceedings of the 2011 American Control Conference. — San Francisco, CA: IEEE, 2011. — C. 2939–2944.
# Horenstein M. [и др.]. Real time optical correction using electrostatically actuated MEMS devices // Journal of Electrostatics. — 1999. — T. 46, № 2-3.
# Потапов, Чечкина. Об одной модели амплитудно-фазовой фильтрации в нелинейной оптической системе с обратной связью // Вычислительная математика и кибернетика. — 1997. — № 4. — C. 31–36. — (15-я сер.)
# Разгулин, Чушкин. О задаче оптимальной Фурье-фильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2004. — T. 44, № 9. — C. 1608–1618.
# Razgulin A. Projection-difference method for controlled Fourier filtering // Computational Mathematics and Modeling. — 2012. — T. 23, № 1. — C. 56–71.
# Ладыженская, Солонников, Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М. : Наука, 1967.

Участник:Danil cherkashin - История изменений

Danil cherkashin: Новая страница: «Автор: Черкашин Данил Андреевич == Свойства и структура алгоритма == === Общее описание ал...»