Участник:Viktorrulev/Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей

Файл:Symbol wait.svg

Эта работа прошла предварительную проверку Дата последней правки страницы: 03.02.2017 Данная работа соответствует формальным критериям. Проверено Teplov.

Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(M^2 + M^2m_{nbr} + M^{2}logM) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ M \times N }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ M }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(MlogM) }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(M^2) }[/math]

Автор описания: В.А. Рулев.

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Кластеризация (кластерный анализ) — задача разбиения заданной выборки объектов на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались. Каждый объект из выборки характеризуется рядом признаков, которые могут быть вещественными, целочисленными, категорийными (то есть принимающими значения из какого-либо конечного множества), бинарными (принимающими только два значения, обычно [math]\displaystyle{ true }[/math] или [math]\displaystyle{ false }[/math]).

Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей (robust clustering using links, ROCK) был предложен в 2000 году Sudipto Guha (Stanford University), Rajeev Rastogi (Bell Laboratories) и Kyuseok Shim (Bell Laboratories) для кластеризации объектов с бинарными признаками. При этом алгоритм особенно эффективен, если у каждого объекта лишь небольшое количество признаков имеет значение [math]\displaystyle{ true }[/math].

Математическое описание алгоритма

В ходе кластеризации [math]\displaystyle{ M }[/math] имеющихся объектов [math]\displaystyle{ P=\{p_1,...,p_M\} }[/math] (каждый объект имеет [math]\displaystyle{ N }[/math] признаков) должны быть разделены на [math]\displaystyle{ K }[/math] непересекающихся подмножеств (кластеров) [math]\displaystyle{ C_1, ..., C_K }[/math] таким образом, чтобы полученные кластеры максимизировали некоторую критериальную функцию [math]\displaystyle{ E(C_1, ..., C_K) }[/math].

Будет называть два объекта [math]\displaystyle{ p_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ p_2 }[/math] соседями, если мера сходства [math]\displaystyle{ neighbour(p_1,p_2) }[/math] этих объектов больше некоторого заранее заданного порогового значения [math]\displaystyle{ \theta }[/math] В качестве меры сходства в алгоритме устойчивой кластеризации с использованием связей используется основанная на коэффициенте Жаккара мера сходства [math]\displaystyle{ sim(p_1,p_2) }[/math]. В ней [math]\displaystyle{ N(C_i)^{1+2f(\theta)} }[/math] имеет смысл ожидаемого (среднего) количества связей внутри одного кластера.

Количеством связей [math]\displaystyle{ link(p_1,p_2) }[/math] между двумя объектами [math]\displaystyle{ p_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ p_2 }[/math] будем называть количество общих соседей этих объектов.

Для того, чтобы сформировать кластеры, удовлетворяющие поставленному условию, необходимо последовательно объединять среди имеющихся кластеров такие пары кластеров, для которых метрика [math]\displaystyle{ goodness(C_i,C_j) }[/math] достигает максимального значения среди всех пар кластеров. На начальном этапе каждый объект считается отдельным кластером.

Формулы метода:

[math]\displaystyle{ neighbour(p_1,p_2)=(sim(p_1,p_2)\gt \theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ sim(p_1,p_2)=\frac{N(p_1 \cap p_2)}{N(p_1 \cup p_2)} }[/math]

[math]\displaystyle{ link(p_1,p_2)=N \Big( \{ p \in P | sim(p_1,p) \lt \theta \} \cap \{ p \in P | sim(p_2,p) \lt \theta \} \Big) }[/math]

[math]\displaystyle{ E(C_1,...,C_K)=\sum_{i=1}^{K}N(C_i) \ast \sum_{p_q,p_r \in C_i}\frac{link(p_q,p_r)}{N(C_i)^{1+2f(\theta)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ f(\theta)=\frac {1-\theta}{1+\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ goodness(C_i,C_j)=\frac {\sum_{p_r \in C_i, p_q \in C_j}{link(p_r,p_q)}} {(N(C_i) + N(C_j))^{1+2f(\theta)} - N(C_i)^{1+2f(\theta)} - N(C_j)^{1+2f(\theta)}} }[/math]

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма можно разделить на два основных этапа:

1. Вычисление количества связей между каждой парой объектов ([math]\displaystyle{ \frac {M \times M} {2} }[/math] вычислений количества связей)
2. Последовательные объединения пар наиболее подходящих кластеров ([math]\displaystyle{ M-K }[/math] поисков пар и объединений)

Подробнее оба этапа будут описаны ниже.

Макроструктура алгоритма

На макроуровне можно выделить следующие шаги алгоритма:

Шаг 1: вычисление соседних объектов.

Шаг 2: вычисление количества связей между всеми объектами.

Шаг 3: построение для каждого кластера упорядоченного списка значений метрики goodness со всеми остальными кластерами

Шаг 4: построение общего упорядоченного списка значений метрики goodness

Шаг 5 (повторяется то тех пор, пока количество кластеров не достигнет желаемого)

Шаг 5.1: объединение двух кластеров с наилучшим goodness

Шаг 5.2: обновление списков кластеров

Схема реализации последовательного алгоритма

Ниже приведен псевдокод схемы реализации последовательного алгоритма:

procedure compute_links(P)
begin
  for each p[i], p[j] in P do
    if sim(p[i], p[j]) > theta
      is_neighbour[i, j] = true
    else
      is_neighbour[i, j] = false

  links[i, j] = 0
  for each p[i], p[j] in P do
    for p[k] in P do
      if is_neighbour[i, k] && is_neighbour[j, k]
        links[i, j] = links[i, j] + 1
end

procedure cluster(P, k)
begin
  links := compute_links(P)

  for each p in P do
    q[p] := build_local_list(links, p)
  Q := build global_list(P, q)

  while size(Q) > k do
  begin
    u := extract_max(Q)
    v := extract_max(q[u])
    w := merge(u, v)
    delete(Q, v)

    for each x in (q[u] or q[v]) do
    begin
      delete(q[x], u);
      delete(q[x], v)
      insert(q[x], w, goodness(x, w))
      insert(q[w], x, goodness(x, w))
      update(Q, x, q[x])
    end

    insert(Q, w, q[w])
    deallocate(q[u])
    deallocate(q[v])
  end
end

Последовательная сложность алгоритма

Рассмотрим сложности шагов алгоритма из раздела 1.4.

Шаг 1: выполняется с помощью двух вложенных циклов и содержит [math]\displaystyle{ O(M^2) }[/math] операций

Шаг 2: задача сводится к умножению полученной на предыдущем шаге матрицы соседства на саму себя. Это действие быть выполнено с помощью наивного метода за [math]\displaystyle{ O(M^3) }[/math] операций. С помощью алгоритма Копперсмита — Винограда это можно сделать за [math]\displaystyle{ O(M^{2.37}) }[/math] операций. В случае, если среднее количество соседей каждого объекта значительно меньше общего количества объектов, связи могут быть вычислены за [math]\displaystyle{ O(M^2m_{nbr}) }[/math], где [math]\displaystyle{ m_{nbr} }[/math] - среднее количество соседей объекта.

Шаг 3: имеет сложность [math]\displaystyle{ O(M) }[/math].

Шаг 4: имеет сложность [math]\displaystyle{ O(M) }[/math].

Шаг 5: вычислительная сложность каждой итерации цикла составляет [math]\displaystyle{ O(MlogM) }[/math], так как в худшем случае в ходе итерации выполняется [math]\displaystyle{ M }[/math] вставок элемента в упорядоченный список. Желаемое количество кластеров [math]\displaystyle{ K }[/math] мало по сравнению с [math]\displaystyle{ M }[/math], следовательно можно считать, что нужно выполнить [math]\displaystyle{ M }[/math] итераций цикла. Таким образом, общая вычислительная сложность цикла равна [math]\displaystyle{ O(M^{2}logM) }[/math].

Таким образом, общую последовательную сложность алгоритма в общем случае можно оценить, как

[math]\displaystyle{ O(M^2 + M^{2.37} + M^{2}logM) }[/math]

или в случае небольшого количества соседних объектов для каждого объекта выборки, как

[math]\displaystyle{ O(M^2 + M^2m_{nbr} + M^{2}logM) }[/math].

Информационный граф

Информационный граф перемножения плотных матриц с подробным описанием представлен в статье перемножение плотных матриц

Ниже представлен информационный граф наиболее интересного для рассмотрения этапа алгоритма устойчивой кластеризации с использованием связей - тела цикла (полупрозрачным показана следующая итерация цикла) при [math]\displaystyle{ n=5 }[/math].

Рисунок 1. Граф тела цикла; merge - объединение кластеров, insert - вставка goodness с новым кластером в упорядоченные списки соответствующих кластеров.

Ресурс параллелизма алгоритма

Шаг 1: каждая итерация цикла может быть выполнена независимо от всех остальных. Таким образом, в этом случае ширина ЯПФ равна [math]\displaystyle{ O(M^2) }[/math], а высота - [math]\displaystyle{ O(1) }[/math].

Шаг 2: при использовании алгоритма наивного перемножения плотных матриц высота ЯПФ равна [math]\displaystyle{ O(M) }[/math], а ширина - [math]\displaystyle{ O(M^2) }[/math] (см. перемножение плотных матриц)

Шаг 3: имеет небольшую асимптотическую сложность, может быть выполнен последовательно.

Шаг 4: имеет небольшую асимптотическую сложность, может быть выполнен последовательно.

Шаг 5: каждая итерация цикла может быть выполнена только после полного завершения предыдущей, а внутри каждой отдельной итерации все вставки могут быть выполнены независимо друг от друга. Следовательно ширина ЯПФ в этом случае равна [math]\displaystyle{ O(M) }[/math], а высота ЯПФ равна [math]\displaystyle{ O(MlogM) }[/math].

Таким образом, высота ЯПФ зависит от размерности задачи как [math]\displaystyle{ O(MlogM) }[/math], а ширина ЯПФ - как [math]\displaystyle{ O(M^2) }[/math].

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: информация об [math]\displaystyle{ M }[/math] объектах, каждая их которых имеет [math]\displaystyle{ N }[/math] бинарных атрибутов.

Объём входных данных: [math]\displaystyle{ M \times N }[/math] бинарных переменных. В силу того, что обычно в большинстве случаев лишь небольшое количество атрибутов объекта имеет значение "true", каждый объект можно хранить в виде списка номеров атрибутов, значения которых равны "true".

Выходные данные: [math]\displaystyle{ K }[/math] кластеров.

Объём выходных данных: [math]\displaystyle{ M }[/math] индексов объектов, распределенных в [math]\displaystyle{ K }[/math] списков.

Свойства алгоритма

Вычислительная сложность последовательного алгоритма в общем случае равна [math]\displaystyle{ O(M^{2.37}) }[/math], а в случае небольшого количества соседних объектов у каждого объекта сложность равна [math]\displaystyle{ O(M^{2}) }[/math].

Вычислительная мощность алгоритма (соотношение количества операций к объему входных и выходных данных) в общем случае равна O(M^{1.37}), в а случае небольшого количества соседних объектов (то есть в том случае, для которого и разрабатывался алгоритм) вычислительная мощность линейна.

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как показано выше, является квадратичным.

Программная реализация алгоритма

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма устройчивой кластеризации с использованием связей, выполненной с использованием OpenMP. Исследование проводилось на персональном компьютере HP Pavilion dv6 (процессор Intel Core i7 3610QM 2300 МГц, 8 логических ядер).

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

• число нитей [1 : 8] с шагом 1;
• количество точек [500 : 1500] с шагом 100.

На следующих рисунках приведены графики времени выполнения выбранной реализации алгоритма устойчивой кластеризации с использованием связей в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Рисунок 2. Параллельная реализация алгоритма устойчивой кластеризации с использованием связей. Изменение времени выполнения кластеризации в зависимости от количества точек и от количества параллельных нитей.

Время выполнения кластеризации:

	500 объектов	1000 объектов	1500 объектов
1 нить	7.930 с	63.308 с	214.692 с
4 нити	4.815 с	37.275 с	126.502 с
8 нитей	5.312 с	39.986 с	135.251 с

Реализация алгоритма была выполнена автором статьи.

Существующие реализации алгоритма

Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей реализован в пакете CBA языка R.

Литература

<references \>