Участник:Коростелец

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений

[math]\displaystyle{ Ay=f }[/math]

где А - квадратная невырожденная матрица порядка m, у - искомый вектор размерности m, f - заданный вектор той же размерности

Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения такой системы вида

[math]\displaystyle{ B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H, }[/math]

а так же аналогичный двушаговый метод

[math]\displaystyle{ B \frac{y_{n+1}-y_n+(1-\alpha_{n+1})(y_n-y_{n-1})}{\alpha_{n+1}\tau_{n+1}}+Ay_n=f, \frac{y_{1}-y_0}{\tau_{1}}+Ay_0=f; n=1,...; y_0\in H }[/math] Целью алгоритма является решение такой системы.

Математическое описание алгоритма

В описанном методе невырожденная матрица B не зависит от номера итерации n, решение y системы и последовательные приближения y_n - элементы линейного пространства H размерности m, в котором определены скалярное произведение и норма [math]\displaystyle{ ||y||=\sqrt{(y,y)} }[/math]

Можно выразить [math]\displaystyle{ \begin{equation} y_{n+1}=y_n -\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f) \end{equation} }[/math]

Тогда для нахождения [math]\displaystyle{ y_{n+1} }[/math] необходимо определить [math]\displaystyle{ \tau_{n+1} }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ z_n=y_n-y }[/math] - погрешность на n-ой итерации. Выразив [math]\displaystyle{ y_{n+1} }[/math] и [math]\displaystyle{ y_n }[/math]

через погрешность, можно получить

[math]\displaystyle{ B\frac{z_{n+1}+y-z_n-y}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f B\frac{z_{n+1}-z_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f }[/math]

отсюда

[math]\displaystyle{ z_{n+1}=z_n-\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)=(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n }[/math]

Пусть D - произвольная матрица, удовлетворяющая условиям

[math]\displaystyle{ D^T=D\gt 0. }[/math] Выбор итерационных параметров [math]\displaystyle{ \tau_{n+1} }[/math] можно сделать на основе минимизации энергитической нормы [math]\displaystyle{ ||z_{n+1}||_D. }[/math] Такой способ построения итерационного процесса называется локальной минимизацией.

Обозначив [math]\displaystyle{ \begin{equation} w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1} \end{equation} }[/math] получим

[math]\displaystyle{ ||z_{n+1}||_D=\sqrt{(Dz_{n+1},z_{n+1})}=\sqrt{(D^{1/2}z_{n+1},D^{1/2}z_{n+1})}=||w_{n+1}|| }[/math]

Значит минимизация [math]\displaystyle{ ||z_{n+1}||_D }[/math] эквивалентна минимизации [math]\displaystyle{ ||w_{n+1}|| }[/math]

Выразим

[math]\displaystyle{ w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n }[/math],

где [math]\displaystyle{ \begin{equation} C=D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2} \end{equation} }[/math]

- невырожденная матрица.

Пусть [math]\displaystyle{ w_0\neq 0, }[/math] иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда

[math]\displaystyle{ ||w_{n+1}||^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)= }[/math] [math]\displaystyle{ =||w_n||^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)= }[/math] [math]\displaystyle{ =||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})= }[/math] [math]\displaystyle{ =||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)} }[/math]

Это значит, что минимальное значение [math]\displaystyle{ ||w_{n+1}|| }[/math] достигается при

[math]\displaystyle{ \tau_{n+1}=\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \tau_{n+1}\gt 0, }[/math] если C>0

В дальнейшем предполагаем условие C>0 выполненным.

[math]\displaystyle{ \tau_{n+1}=\frac{(DB^{-1}Az_n,z_n)}{(DB^{-1}Aw_n,B^{-1}Aw_n)} }[/math]

Где [math]\displaystyle{ v_n=B^{-1}(Ay_n-f) }[/math] - поправка, [math]\displaystyle{ r_n=(Ay_n-f) }[/math] -невязка на n-ой итерации.

Значит [math]\displaystyle{ \begin{equation} \tau_{n+1}=\frac{(Dv_n,z_n)}{(Dv_n,v_n)} \end{equation} }[/math]

Литература

Абакумов М.В., Гулин А.В. Лекции по численным методам математической физики: Учеб. пособие. - М.:ИНФРА-М,2013