Метод Гивенса (вращений) QR-разложения матрицы

Метод Гивенса (в отечественной математической литературе называется также методом вращений) используется для разложения матриц в виде [math]\displaystyle{ A = QR }[/math] ([math]\displaystyle{ Q }[/math] - унитарная, [math]\displaystyle{ R }[/math] — правая треугольная матрица). При этом матрица [math]\displaystyle{ Q }[/math] хранится и используется не в явном виде, а в виде произведения матриц вращения. Каждая из матриц вращения (Гивенса)

номера столбцов: [math]\displaystyle{ \begin{matrix} \ _{i-1}\quad _i\quad _{i+1} & \ & _{j-1}\ \ _j\quad _{j+1}\end{matrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ T_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 0\quad 0\quad 0 & \cdots & 0\quad 0\quad 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1\quad 0\quad 0 & \cdots & 0\quad 0\quad 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0\quad c\quad 0 & \cdots & 0\ -s\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0\quad 0\quad 1 & \cdots & 0\quad 0\quad 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\quad 0\quad 0 & \cdots & 1\quad 0\quad 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0\quad s\quad 0 & \cdots & 0\quad c\quad 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0\quad 0\quad 0 & \cdots & 0\quad 0\quad 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\quad 0\quad 0 & \cdots & 0\quad 0\quad 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix} }[/math]

может быть определена парой индексов и одним параметром. Это позволяет в стандартной реализации метода Гивенса хранить результаты разложения на месте матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] без использования дополнительных массивов.

Кроме стандартной реализации, метод Гивенса имеет и другие, отличающиеся от стандартной либо порядком вращений, либо использованием блочной группировки.