|
|
| (не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| = Нахождение суммы элементов массива сдваиванием =
| |
|
| |
|
| == Свойства и структура алгоритма ==
| |
|
| |
| === Общее описание алгоритма ===
| |
|
| |
| '''Метод сдваивания''' используется в качестве быстрого варианта вычисления длинных последовательностей ассоциативных операций (например, массового суммирования). Получил распространение благодаря как наименьшей из возможных высоте алгортима, так и из-за ряда своих вычислительных характеристик, а также (в среде нечисленных алгоритмов) из-за своей рекурсивности, то есть лёгкости записи.
| |
|
| |
| === Математическое описание алгоритма ===
| |
|
| |
| Исходные данные: одномерный массив <math>n</math> чисел.
| |
|
| |
| Вычисляемые данные: сумма элементов массива.
| |
|
| |
| Формулы метода: элементы на каждом этапе алгоритма разбиваются на пары. В каждой из пар находится сумма составляющих её элементов. На следующем этапе на пары разбиваются уже эти суммы (и те элементы, которые не вошли в уже вычисленные суммы), и т. д.
| |
|
| |
| === Вычислительное ядро алгоритма ===
| |
|
| |
| Вычислительное ядро последовательно-параллельного метода суммирования можно составить как из элементарных бинарных (всего <math>n - 1</math>) вычислений сумм, так и (рекуррентно) из набора реализаций метода сдваивания меньших размерностей.
| |
|
| |
| === Макроструктура алгоритма ===
| |
|
| |
| Как уже записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют рекурсивные вызовы сумм массивов меньшей размерности.
| |
|
| |
| === Схема реализации последовательного алгоритма ===
| |
|
| |
| В своём чистом виде суммирование сдваиванием редко используют при последовательной реализации, поскольку при этом усложняется общая схема алгоритма и резко растёт потребность в памяти, нужной для хранения промежуточных данных.
| |
|
| |
| === Последовательная сложность алгоритма ===
| |
|
| |
| Для вычисления суммы массива, состоящего из <math>N</math> элементов, при любых разложениях <math>N</math> на пары суть алгоритма сводится к простому переставлению скобок в формуле суммирования, и количество операций неизменно и равно <math>N - 1</math>. Поэтому алгоритм должен быть отнесён к алгоритмам ''линейной сложности'' по количеству последовательных операций.
| |
|
| |
| === Информационный граф ===
| |
|
| |
| На рис.1 изображён граф алгоритма. В данном случае выполнено суммирование 16 элементов массива.
| |
| Вершины, соответствующие входным данным, даны синим цветом, выходным данным - красным цветом.
| |
|
| |
| [[file:binary-tree-based summation graph.png|center|thumb|500px|Рисунок 1. Суммирование массива методом сдваивания]]
| |
|
| |
| === Ресурс параллелизма алгоритма ===
| |
|
| |
| Для суммирования массива порядка <math>n</math> методом сдваивания в параллельном варианте требуется последовательно выполнить <math>\lceil \log_2 n \rceil</math> ярусов с убывающим (от <math>\frac{n}{2}</math> до <math>1</math>) количеством операций суммирования.
| |
| При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод сдваивания относится к алгоритмам с ''логарифмической сложностью''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность будет ''линейной''.
| |
|
| |
| === Входные и выходные данные алгоритма ===
| |
|
| |
| Входные данные: массив <math>x</math> (элементы <math>x_i</math>).
| |
|
| |
| Дополнительные ограничения: отсутствуют.
| |
|
| |
| Объём входных данных: <nowiki/><math>N</math>.
| |
|
| |
| Выходные данные: сумма элементов массива.
| |
|
| |
| Объём выходных данных: один скаляр.
| |
|
| |
| === Свойства алгоритма ===
| |
|
| |
| Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является <math>\frac{n}{\log_2 n}</math> (отношение линейной к логарифмической). При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных — всего-навсего ''1 (входных и выходных данных столько же, сколько операций)''. При этом алгоритм полностью детерминирован. Дуги информационного графа нелокальны, от яруса к ярусу наблюдается показательный рост их длины, при любом размещении вершин графа.
| |
|
| |
| == Литература ==
| |
| <references />
| |