Метод Видемана-Копперсмита: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
GKormakov (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
GKormakov (обсуждение | вклад) |
||
| (не показано 7 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 44: | Строка 44: | ||
Но как искать эти коэффициенты? Для случая СЛАУ с разреженной матрицей Видеман предложил следующую идею: | Но как искать эти коэффициенты? Для случая СЛАУ с разреженной матрицей Видеман предложил следующую идею: | ||
Выбрать случайный вектор <math>y \in \mathbb{F}_2^n</math>, тогда для <math>j = 0...n</math> верны следующие соотношения: | |||
<math> | <math> | ||
| Строка 84: | Строка 84: | ||
Перепишем итоговый алгоритм Видемана для нахождения вектора из ядра A: | Перепишем итоговый алгоритм Видемана для нахождения вектора из ядра A: | ||
1. Выбираем случайные векторы <math>x, y \in \mathbb{F}_2^n</math> | '''Шаг 1.''' Выбираем случайные векторы <math>x, y \in \mathbb{F}_2^n</math> | ||
2. <math>\forall s = 0, ... 2n</math> вычисляем <math>\alpha_s = y^TA^sx</math> и строим полином <math>a(x) = \sum\alpha_ix^i \textit{формальной}</math> степени 2n | '''Шаг 2.''' <math>\forall s = 0, ... 2n</math> вычисляем <math>\alpha_s = y^TA^sx</math> и строим полином <math>a(x) = \sum\alpha_ix^i \textit{формальной}</math> степени 2n | ||
3. Характеристическому полиному <math>f(x)</math> ставим в соответствие полином <math>\widetilde{f(x)} = x^n f(\frac{1}{x}), тогда f_i = \widetilde{f(x)}_{n-i}</math> и | '''Шаг 3.''' Характеристическому полиному <math>f(x)</math> ставим в соответствие полином <math>\widetilde{f(x)} = x^n f(\frac{1}{x}), тогда f_i = \widetilde{f(x)}_{n-i}</math> и | ||
<math>\sum_{i=0}^n\alpha_{i+j}f_i = \sum_{i=0}^n\alpha_{i+j}\widetilde{f(x)}_{n-i} = 0, j=0...n</math>, т.е. все коэффициенты в <math>a(x)\widetilde{f(x)}</math> при <math>x^n, x^{n+1}, ..., x^{2n}</math> будут равны | <math>\sum_{i=0}^n\alpha_{i+j}f_i = \sum_{i=0}^n\alpha_{i+j}\widetilde{f(x)}_{n-i} = 0, j=0...n</math>, т.е. все коэффициенты в <math>a(x)\widetilde{f(x)}</math> при <math>x^n, x^{n+1}, ..., x^{2n}</math> будут равны | ||
Т.е. <math>a(x)\widetilde{f(x)} = g(x) mod \,x^{2n + 1}, где\, deg(g) < n</math> | Т.е. <math>a(x)\widetilde{f(x)} = g(x) mod \,x^{2n + 1}, где\, deg(g) < n</math> | ||
| Строка 96: | Строка 96: | ||
Таким образом построили полином <math>\widetilde{f(x)}</math> | Таким образом построили полином <math>\widetilde{f(x)}</math> | ||
4. Получаем решение <math>\omega = A^\delta \sum_if_iA^ix : A\omega = 0</math> алгоритмом, описанным выше | '''Шаг 4.''' Получаем решение <math>\omega = A^\delta \sum_if_iA^ix : A\omega = 0</math> алгоритмом, описанным выше | ||
====Алгоритм Видемана-Копперсмита==== | ====Алгоритм Видемана-Копперсмита==== | ||
Алгоритм Видемана по поиску вектора из ядра матрицы A сводился к решению СЛАУ с генкелевой или теплицевой матрицей, что ускоряло алгоритм, однако алгоритм Видемана является последовательным алгоритмом (коэффициенты полинома <math>a(x)</math> вычисляются последовательно), т.е. он не имеет выигрыша по скорости перед методом Монтгомери при распараллеливании на несколько узлов. Поэтому Копперсмит добавил в алгоритм Видемана работу с блочными матрицами. | Алгоритм Видемана по поиску вектора из ядра матрицы A сводился к решению СЛАУ с генкелевой или теплицевой матрицей, что ускоряло алгоритм, однако алгоритм Видемана является последовательным алгоритмом (коэффициенты полинома <math>a(x)</math> вычисляются последовательно), т.е. он не имеет выигрыша по скорости перед методом Монтгомери при распараллеливании на несколько узлов. Поэтому Копперсмит добавил в алгоритм Видемана работу с блочными матрицами. | ||
Пусть также задана однородная СЛАУ <math>Ax = 0\, , A\in\mathbb{F}_2^{n\times n}</math>, так же требуется найти нетривиальное решение. Опишем предложения Копперсмита: | |||
'''Шаг 1.''' Рассмотрим два случайных блока <math>Z\in \mathbb{F}_2^{n\times m_b}</math> и <math>Y\in \mathbb{F}_2^{n\times n_b}</math>, <math>m_b \neq n_b</math>. Тогда столбцы матрицы <math>AZ = X\in \mathbb{F}_2^{n\times m_b}</math> будут принадлежать линейной оболочке столбцов матрицы <math>A</math>. На практике числа <math>m_b, n_b</math> кратны размеру машинного слова, это будет использовано при параллельной реализации. | |||
Далее вычисляются матрицы <math>a_i = Y^TA^iX \in \mathbb{F}_2^{n_b\times m_b} \forall\, i=0...L</math>, где <math>L = \frac{n}{n_b} + \frac{n}{m_b} + \Delta</math>, где <math>\Delta</math> - небольшое натуральное число, например, 10. | |||
С помощью этих матриц определяем полином <math>a(x) = \sum_{i=0}^La_ix^i</math> | |||
'''Определение''' | |||
''Степенью матричного полинома'' назовём степень полинома максимальной степени. | |||
Однако на практике оказывается более важным смотреть на ''формальную степень''. Работая с ними можно использовать следующие правила: 1) Формальная степень суммы полиномов равна максимуму из формальных степеней каждого слагаемого; 2) Умножение полинома на одночлен увеличивает его формальную степень на 1. Таким образом, построенный на шаге 1 полином является формальной степени L. | |||
'''Шаг 2.''' Построим матричный полином <math> f(x) = \sum_{i=0}^Df_ix^i </math> формальной степени D с матричными коэффициентами <math> f_i\in\mathbb{F}_2^{m_b\times(m_b + n_b)}</math>, для которого выполняются следующие условия: | |||
# ''Справедливо полиномиальное соотношение'' <math> a(x)f(x) = g(x) + e(x)x^M</math>, где <math> g(x) </math> и <math> e(x) </math> - матричные полиномы; | |||
# Степень матричного полинома <math> g </math> не превосходит <math> D </math>; | |||
# <math> M </math> и <math> D </math> удовлетворяют соотношению <math> M - D - 1 > \frac{n}{n_b}</math> | |||
(Метод построения матричного полинома <math> f(x) </math> изложим ниже) | |||
Т.к. <math> deg(g) \leq D</math>, то матричные коэффициенты при степенях, больших D, равны 0. Следовательно, матричные коэффициенты a(x) и f(x) удовлетворяют системе: | |||
<math>\sum\limits_{k=0}^D a_{i + k + 1}f_{D-k} = 0, \; \forall i=\overline{0, M-D-2}</math>, что эквивалентно, при подстановке <math> a_{i+k+1} </math>, следующему уравнению: | |||
<math> Y^T A^i A\underbrace{\left(\sum\limits_{k=0}^D (A^{k} X) f_{D - k}\right)}_{W} = 0, \; \forall i = \overline{0, M - D - 2}</math> | |||
Таким образом, W удовлетворяет условиям А-ортагональности со всеми блоками векторов вида <math> Y, A^TY, (A^T)^2Y... (A^T)^{M - D - 2}Y </math>. Далее возможно два варианта: | |||
1) Если линейная оболочка блоков вышеперечисленных векторов совпала со всем пространством <math>\mathbb{F}_2^n</math>, то выбором n линейно независимых столбцов и составлением невырожденной матрицы <math>\hat{Y}</math> получили бы следующее равенство: | |||
<math> \hat{Y}AW = 0 </math>. Домножив на обратную, получим <math> AW = 0</math> и если <math> W \neq 0 </math>, то задача решена. | |||
2)Оболочка блоков не охватила всего пространства, тогда можно вероятностно оценить, что: Т.к. <math> M - D - 1 > \frac{n}{n_b} </math>, то почти наверняка размерность линейной оболочки <math> (A^T)^iY, \; \forall i=\overline{0,M-D-2} </math> близка к n. Этого достаточно, чтобы утверждать, что задача решена. (Для деталей см. <ref> Don Coppersmith. 1994. Solving homogeneous linear equations over GF(2) via block Wiedemann algorithm. Math. Comput. 62, 205 (January 1994), 333-350. DOI=10.2307/2153413 http://dx.doi.org/10.2307/2153413 </ref>) | |||
====Метод построения матричного полинома==== | |||
Копперсмит предложил итерационную процедуру: | |||
# '''Инициализация''':<math> M := 0,\; | |||
f(x) := [I_{m_b}\; 0],\; | |||
e(x) := [a(x)\; I_{n_b}],\; | |||
\delta_j = 0 </math>, где j -- номер столбца <math>f(x), \delta_j</math> -- формальная степень; | |||
# '''Итерация''': | |||
##Вычислить <math> e_0 = e(0) </math>; | |||
##Найти P: <math> e_0P = [0\; F_{n_b}] </math>, причём преобразование P должно быть допустимым; | |||
##Вычислить <math> e:=\frac{eP(x)}{x}, \; f:=fP(x) </math>, где <math> P(x) = P \begin{pmatrix}I_{m_b} & 0\\ 0 & xI_{n_b}\end{pmatrix} </math>; | |||
##<math>M:=M+1</math> | |||
##<math> \delta_{j_k}:= \delta_{j_k} + 1</math> для тех столбцов, которые были умножены на x; | |||
##Вычислить формальную степень D матричного полинома f(x); | |||
#'''Останов''' Проверить критерий останова: <math> M - D > \frac{n}{n_b} + \Delta </math>. Если выполнен, то остановиться, нет - продолжить. | |||
Сколько всего потребуется итераций? Если <math>m_b = n_b</math>, то будет выполнена оценка <math> s \approx 2\left(\frac{n}{n_b} + 1\right) </math>. Если же брать <math>m_b = 2n_b</math>, как советовал Копперсмит, то <math> s \approx \frac{3}{2}\left(\frac{n}{n_b} + 1\right) </math> (Более подробный анализ см. в <ref>Замарашкин, Николай Леонидович. | |||
Алгоритмы для разряженных систем линейных уравнений в GF(2) [Текст] : учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям ВПО 010400 "Прикладная математика и информатика" и 010300 "Фундаментальная информатика и информационные технологии" / Н. Л. Замарашкин ; Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - Москва : Изд-во Московского ун-та, 2013. - 128, [2] с. : ил., табл.; 21 см. - (Серия: Суперкомпьютерное образование / Суперкомпьютерный консорциум ун-тов России).; ISBN 978-5-211-06483-6</ref> ). С точки зрения вероятностной устойчивости и скорости логичнее использовать второй случай, однако, как показывал опыт, и исходя из указаний Копперсмита (глава 5 <ref> Don Coppersmith. 1994. Solving homogeneous linear equations over GF(2) via block Wiedemann algorithm. Math. Comput. 62, 205 (January 1994), 333-350. DOI=10.2307/2153413 http://dx.doi.org/10.2307/2153413 </ref>), для практического применения подходит первый случай. | |||
=== Вычислительное ядро алгоритма === | === Вычислительное ядро алгоритма === | ||
Текущая версия от 20:34, 19 ноября 2019
{Автор - Участник:GKormakov}
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Алгоритм Видемана-Копперсмита был предложен Дугласом Видеманом в статье 1986 года [1]. Алгоритм позволял получить решение системы линейных уравнений [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math] над полем GF(2) (в общем случае, над конечным полем GF(q)) в случае, когда матрица A являлась разреженной. В частности, совместный алгоритм Видемана-Копперсмита решал задачу поиска нетривиальных векторов из ядра матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], т.е. нетривиальные решения уравнения [math]\displaystyle{ Ax = 0 }[/math]
Стоит отметить, что алгоритм описывался для квадратной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], однако его легко можно обобщить на случай прямоугольной матрицы, переходя к матрице [math]\displaystyle{ A^T A }[/math]
Статья обосновывала корректность алгоритма, оценивала сложность вычислений, рассматривала разложения многочленов на множители и вычисление матричных полиномов. После выхода статьи сам метод не получил широкого применения, однако теоретические оценки и вспомогательные алгоритмы получили признание.
В рамках вычислений алгоритм является улучшенной версией алгоритма Копперсмита и алгоритма Монтгомери. В отличии от алгоритма Монтгомери имеет более эффективную реализацию на параллельных вычислительных системах - одним из главных отличий является меньший обмен данными между вычислительными узлами.
Алгоритм получил широкое применение в алгоритмах криптографии, в том числе, в алгоритме факторизации, использующего факторные базы[2]
Использование стандартных методов Крылова (например, метода Ланцоша) не могли гарантировать условий на матрицу в GF(2), которые гарантировали сходимость, в связи с этим и были предложены перечисленные выше методы.
Математическое описание алгоритма
Метод Видемана
Невырожденный случай
Пусть [math]\displaystyle{ Ax = b, A\in\mathbb{F}_2^{n \times n}, b\in \mathbb{F}_2^n }[/math] - согласованная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей.
[math]\displaystyle{ \begin{align} f(\lambda) = 1 + \sum_{i=1}^n f_i \lambda^i \end{align} }[/math] - характеристический полином матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] с коэффициентами [math]\displaystyle{ f_i\in\mathbb{F}_2 }[/math]
По теореме Гамильтона-Кэли [math]\displaystyle{ f(A) = 0 }[/math], следовательно, [math]\displaystyle{ f(A)b = 0 }[/math]. И, учитывая вид характеристической функции:
[math]\displaystyle{ \begin{align} b = \sum_{i=1}^n f_i A^i b = A(\sum_{i=1}^{n-1} f_{i+1}A^i b ) \end{align} }[/math]
Таким образом, если коэффициенты характеристического полинома известны, то единственное решение исследуемой системы можно найти как линейную комбинацию векторов Крылова: [math]\displaystyle{ \begin{align} x = \sum_{i=1}^{n-1} f_{i+1}A^i b \end{align} }[/math]
Но как искать эти коэффициенты? Для случая СЛАУ с разреженной матрицей Видеман предложил следующую идею: Выбрать случайный вектор [math]\displaystyle{ y \in \mathbb{F}_2^n }[/math], тогда для [math]\displaystyle{ j = 0...n }[/math] верны следующие соотношения:
[math]\displaystyle{ \begin{align} y^Tf(A)A^jb = y^T(\sum_{i=0}^{n} f_iA^i)A^jb = \sum_{i=0}^{n}(y^TA^{i+j}b)f_i = 0 \end{align} }[/math]
Пусть [math]\displaystyle{ \alpha_i = y^T A^ib \in \mathbb{F}_2, \forall i=0...n }[/math], тогда верхняя система преобразуется в однородную СЛАУ:
[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{i=0}^{n}\alpha_{i+j}f_i = 0 , j = 0...n \end{align} }[/math]
с матрицей [math]\displaystyle{ H_{ij}=\alpha_{i+j} }[/math] порядка n + 1, имеющую ганкелеву структуру, что позволяет проще (за [math]\displaystyle{ O(n^2) }[/math] - алгоритм Тренча) решать СЛАУ, поскольку матрица задаётся 2n + 1 параметрами. Если переставить строки матрицы [math]\displaystyle{ H }[/math] в обратном порядке, то матрица станет теплицевой. Над GF(2) также известны быстрые алгоритмы решения СЛАУ (алгоритм Берлекампа - Масси)
Вырожденный случай
Для случая нахождения произвольного вектора из ядра матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] идея Видемана применяется в следующем виде:
Поскольку [math]\displaystyle{ A }[/math] теперь вырожденная, то характеристический полином будет выглядеть иначе (занулятся младшие коэффициенты):
[math]\displaystyle{ \begin{align} f(\lambda) = \lambda^s(\sum_{i=0}^{n-s} f_{i+s} \lambda^i), причём f_s \neq 0 \end{align} }[/math]
В этом случае выбираем произвольный вектор [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{F}_2^n }[/math] и находим вектор [math]\displaystyle{ \omega \in \mathbb{F}_2^n }[/math]: [math]\displaystyle{ \begin{align} \omega = (\sum_{i=0}^{n-s} f_{i+s} A^i)x \end{align} }[/math]
Т.к. размерность ядра матрицы [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-s} f_{i+s} A^i }[/math] не может быть больше n - 1, а размерность пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] равна n, то с вероятностью 1/2 [math]\displaystyle{ \omega \neq 0 }[/math]. Если же он равен 0, то выбираем другой x и ищем степень матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]: [math]\displaystyle{ A^\delta \omega \neq 0, а A^{\delta + 1} \omega = 0 }[/math], тогда [math]\displaystyle{ A^\delta \omega }[/math] - искомый вектор из ядра.
Перепишем итоговый алгоритм Видемана для нахождения вектора из ядра A:
Шаг 1. Выбираем случайные векторы [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{F}_2^n }[/math]
Шаг 2. [math]\displaystyle{ \forall s = 0, ... 2n }[/math] вычисляем [math]\displaystyle{ \alpha_s = y^TA^sx }[/math] и строим полином [math]\displaystyle{ a(x) = \sum\alpha_ix^i \textit{формальной} }[/math] степени 2n
Шаг 3. Характеристическому полиному [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ставим в соответствие полином [math]\displaystyle{ \widetilde{f(x)} = x^n f(\frac{1}{x}), тогда f_i = \widetilde{f(x)}_{n-i} }[/math] и
[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n\alpha_{i+j}f_i = \sum_{i=0}^n\alpha_{i+j}\widetilde{f(x)}_{n-i} = 0, j=0...n }[/math], т.е. все коэффициенты в [math]\displaystyle{ a(x)\widetilde{f(x)} }[/math] при [math]\displaystyle{ x^n, x^{n+1}, ..., x^{2n} }[/math] будут равны
Т.е. [math]\displaystyle{ a(x)\widetilde{f(x)} = g(x) mod \,x^{2n + 1}, где\, deg(g) \lt n }[/math]
Таким образом построили полином [math]\displaystyle{ \widetilde{f(x)} }[/math]
Шаг 4. Получаем решение [math]\displaystyle{ \omega = A^\delta \sum_if_iA^ix : A\omega = 0 }[/math] алгоритмом, описанным выше
Алгоритм Видемана-Копперсмита
Алгоритм Видемана по поиску вектора из ядра матрицы A сводился к решению СЛАУ с генкелевой или теплицевой матрицей, что ускоряло алгоритм, однако алгоритм Видемана является последовательным алгоритмом (коэффициенты полинома [math]\displaystyle{ a(x) }[/math] вычисляются последовательно), т.е. он не имеет выигрыша по скорости перед методом Монтгомери при распараллеливании на несколько узлов. Поэтому Копперсмит добавил в алгоритм Видемана работу с блочными матрицами.
Пусть также задана однородная СЛАУ [math]\displaystyle{ Ax = 0\, , A\in\mathbb{F}_2^{n\times n} }[/math], так же требуется найти нетривиальное решение. Опишем предложения Копперсмита:
Шаг 1. Рассмотрим два случайных блока [math]\displaystyle{ Z\in \mathbb{F}_2^{n\times m_b} }[/math] и [math]\displaystyle{ Y\in \mathbb{F}_2^{n\times n_b} }[/math], [math]\displaystyle{ m_b \neq n_b }[/math]. Тогда столбцы матрицы [math]\displaystyle{ AZ = X\in \mathbb{F}_2^{n\times m_b} }[/math] будут принадлежать линейной оболочке столбцов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. На практике числа [math]\displaystyle{ m_b, n_b }[/math] кратны размеру машинного слова, это будет использовано при параллельной реализации.
Далее вычисляются матрицы [math]\displaystyle{ a_i = Y^TA^iX \in \mathbb{F}_2^{n_b\times m_b} \forall\, i=0...L }[/math], где [math]\displaystyle{ L = \frac{n}{n_b} + \frac{n}{m_b} + \Delta }[/math], где [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] - небольшое натуральное число, например, 10. С помощью этих матриц определяем полином [math]\displaystyle{ a(x) = \sum_{i=0}^La_ix^i }[/math]
Определение Степенью матричного полинома назовём степень полинома максимальной степени.
Однако на практике оказывается более важным смотреть на формальную степень. Работая с ними можно использовать следующие правила: 1) Формальная степень суммы полиномов равна максимуму из формальных степеней каждого слагаемого; 2) Умножение полинома на одночлен увеличивает его формальную степень на 1. Таким образом, построенный на шаге 1 полином является формальной степени L.
Шаг 2. Построим матричный полином [math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{i=0}^Df_ix^i }[/math] формальной степени D с матричными коэффициентами [math]\displaystyle{ f_i\in\mathbb{F}_2^{m_b\times(m_b + n_b)} }[/math], для которого выполняются следующие условия:
- Справедливо полиномиальное соотношение [math]\displaystyle{ a(x)f(x) = g(x) + e(x)x^M }[/math], где [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ e(x) }[/math] - матричные полиномы;
- Степень матричного полинома [math]\displaystyle{ g }[/math] не превосходит [math]\displaystyle{ D }[/math];
- [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math] удовлетворяют соотношению [math]\displaystyle{ M - D - 1 \gt \frac{n}{n_b} }[/math]
(Метод построения матричного полинома [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] изложим ниже)
Т.к. [math]\displaystyle{ deg(g) \leq D }[/math], то матричные коэффициенты при степенях, больших D, равны 0. Следовательно, матричные коэффициенты a(x) и f(x) удовлетворяют системе:
[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^D a_{i + k + 1}f_{D-k} = 0, \; \forall i=\overline{0, M-D-2} }[/math], что эквивалентно, при подстановке [math]\displaystyle{ a_{i+k+1} }[/math], следующему уравнению:
[math]\displaystyle{ Y^T A^i A\underbrace{\left(\sum\limits_{k=0}^D (A^{k} X) f_{D - k}\right)}_{W} = 0, \; \forall i = \overline{0, M - D - 2} }[/math]
Таким образом, W удовлетворяет условиям А-ортагональности со всеми блоками векторов вида [math]\displaystyle{ Y, A^TY, (A^T)^2Y... (A^T)^{M - D - 2}Y }[/math]. Далее возможно два варианта:
1) Если линейная оболочка блоков вышеперечисленных векторов совпала со всем пространством [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_2^n }[/math], то выбором n линейно независимых столбцов и составлением невырожденной матрицы [math]\displaystyle{ \hat{Y} }[/math] получили бы следующее равенство: [math]\displaystyle{ \hat{Y}AW = 0 }[/math]. Домножив на обратную, получим [math]\displaystyle{ AW = 0 }[/math] и если [math]\displaystyle{ W \neq 0 }[/math], то задача решена.
2)Оболочка блоков не охватила всего пространства, тогда можно вероятностно оценить, что: Т.к. [math]\displaystyle{ M - D - 1 \gt \frac{n}{n_b} }[/math], то почти наверняка размерность линейной оболочки [math]\displaystyle{ (A^T)^iY, \; \forall i=\overline{0,M-D-2} }[/math] близка к n. Этого достаточно, чтобы утверждать, что задача решена. (Для деталей см. [3])
Метод построения матричного полинома
Копперсмит предложил итерационную процедуру:
- Инициализация:[math]\displaystyle{ M := 0,\; f(x) := [I_{m_b}\; 0],\; e(x) := [a(x)\; I_{n_b}],\; \delta_j = 0 }[/math], где j -- номер столбца [math]\displaystyle{ f(x), \delta_j }[/math] -- формальная степень;
- Итерация:
- Вычислить [math]\displaystyle{ e_0 = e(0) }[/math];
- Найти P: [math]\displaystyle{ e_0P = [0\; F_{n_b}] }[/math], причём преобразование P должно быть допустимым;
- Вычислить [math]\displaystyle{ e:=\frac{eP(x)}{x}, \; f:=fP(x) }[/math], где [math]\displaystyle{ P(x) = P \begin{pmatrix}I_{m_b} & 0\\ 0 & xI_{n_b}\end{pmatrix} }[/math];
- [math]\displaystyle{ M:=M+1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \delta_{j_k}:= \delta_{j_k} + 1 }[/math] для тех столбцов, которые были умножены на x;
- Вычислить формальную степень D матричного полинома f(x);
- Останов Проверить критерий останова: [math]\displaystyle{ M - D \gt \frac{n}{n_b} + \Delta }[/math]. Если выполнен, то остановиться, нет - продолжить.
Сколько всего потребуется итераций? Если [math]\displaystyle{ m_b = n_b }[/math], то будет выполнена оценка [math]\displaystyle{ s \approx 2\left(\frac{n}{n_b} + 1\right) }[/math]. Если же брать [math]\displaystyle{ m_b = 2n_b }[/math], как советовал Копперсмит, то [math]\displaystyle{ s \approx \frac{3}{2}\left(\frac{n}{n_b} + 1\right) }[/math] (Более подробный анализ см. в [4] ). С точки зрения вероятностной устойчивости и скорости логичнее использовать второй случай, однако, как показывал опыт, и исходя из указаний Копперсмита (глава 5 [5]), для практического применения подходит первый случай.
Вычислительное ядро алгоритма
Макроструктура алгоритма
Схема реализации последовательного алгоритма
Последовательная сложность алгоритма
Информационный граф
Ресурс параллелизма алгоритма
Входные и выходные данные алгоритма
Свойства алгоритма
Программная реализация алгоритма
Особенности реализации последовательного алгоритма
Локальность данных и вычислений
Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
Масштабируемость алгоритма и его реализации
Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
Выводы для классов архитектур
Существующие реализации алгоритма
Литература
<references \>
- ↑ Wiedemann D.H. Solving sparce linear equations over finite fields (англ.). — 1986. — Январь (т. 32, № 1). — С. 54—62.
- ↑ Замарашкин, Николай Леонидович. Алгоритмы для разряженных систем линейных уравнений в GF(2) [Текст] : учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям ВПО 010400 "Прикладная математика и информатика" и 010300 "Фундаментальная информатика и информационные технологии" / Н. Л. Замарашкин ; Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - Москва : Изд-во Московского ун-та, 2013. - 128, [2] с. : ил., табл.; 21 см. - (Серия: Суперкомпьютерное образование / Суперкомпьютерный консорциум ун-тов России).; ISBN 978-5-211-06483-6
- ↑ Don Coppersmith. 1994. Solving homogeneous linear equations over GF(2) via block Wiedemann algorithm. Math. Comput. 62, 205 (January 1994), 333-350. DOI=10.2307/2153413 http://dx.doi.org/10.2307/2153413
- ↑ Замарашкин, Николай Леонидович. Алгоритмы для разряженных систем линейных уравнений в GF(2) [Текст] : учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям ВПО 010400 "Прикладная математика и информатика" и 010300 "Фундаментальная информатика и информационные технологии" / Н. Л. Замарашкин ; Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - Москва : Изд-во Московского ун-та, 2013. - 128, [2] с. : ил., табл.; 21 см. - (Серия: Суперкомпьютерное образование / Суперкомпьютерный консорциум ун-тов России).; ISBN 978-5-211-06483-6
- ↑ Don Coppersmith. 1994. Solving homogeneous linear equations over GF(2) via block Wiedemann algorithm. Math. Comput. 62, 205 (January 1994), 333-350. DOI=10.2307/2153413 http://dx.doi.org/10.2307/2153413