Алгоритм Прима: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
| [непроверенная версия] | [досмотренная версия] |
Daryin (обсуждение | вклад) |
ASA (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
| (не показано 9 промежуточных версий 2 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Свойства и структура | {{level-a}} | ||
== Свойства и структура алгоритма == | |||
=== Общее описание алгоритма === | === Общее описание алгоритма === | ||
Алгоритм Прима<ref>Prim, R C. “Shortest Connection Networks and Some Generalizations.” Bell System Technical Journal 36, no. 6 (November 1957): 1389–1401. doi:10.1002/j.1538-7305.1957.tb01515.x.</ref><ref>Dijkstra, E W. “A Note on Two Problems in Connexion with Graphs.” Numerische Mathematik 1, no. 1 (December 1959): 269–71. doi:10.1007/BF01386390.</ref> предназначен для решения [[Построение минимального остовного дерева (MST)|задачи о построении минимального остовного дерева]] во взвешенном неориентированном графе. | '''Алгоритм Прима'''<ref>Prim, R C. “Shortest Connection Networks and Some Generalizations.” Bell System Technical Journal 36, no. 6 (November 1957): 1389–1401. doi:10.1002/j.1538-7305.1957.tb01515.x.</ref><ref>Dijkstra, E W. “A Note on Two Problems in Connexion with Graphs.” Numerische Mathematik 1, no. 1 (December 1959): 269–71. doi:10.1007/BF01386390.</ref> предназначен для решения [[Построение минимального остовного дерева (MST)|задачи о построении минимального остовного дерева]] во взвешенном неориентированном графе. | ||
=== Математическое описание алгоритма === | |||
Пусть задан связный неориентированный граф <math>G = (V, E)</math> с весами рёбер <math>f(e)</math>. Предполагается, что веса всех рёбер различны (если это не так, то можно упорядочить рёбра сначала по весу, а потом по номеру). | |||
Алгоритм Прима основан на следующих двух свойствах задачи: | |||
* '''Минимальное ребро фрагмента'''. Пусть <math>F</math> – фрагмент минимального остовного дерева и <math>e_F</math> – ребро наименьшего веса, исходящее из <math>F</math> (т.е. ровно один его конец является вершиной из <math>F</math>). Если ребро <math>e_F</math> единственно, то оно принадлежит минимальному остовному дереву. | |||
* '''Схлопывание фрагментов'''. Пусть <math>F</math> – фрагмент минимального остовного дерева графа <math>G</math>, а граф <math>G'</math> получен из <math>G</math> склеиванием вершин, принадлежащих <math>F</math>. Тогда объединение <math>F</math> и минимального остовного дерева графа <math>G'</math> даёт минимальное остовное дерево исходного графа <math>G</math>. | |||
В начале работы алгоритма создаётся фрагмент, содержащий одну произвольную вершину графа. На каждом шаге выбирается ребро минимального веса, исходящее из текущего фрагмента. Это ребро помещается в минимальное остовное дерево, а его конец добавляется в текущий фрагмент. Процесс останавливается, когда у текущего фрагмента не остаётся исходящих рёбер. Тогда выбирается одна из ранее не посещённых вершин графа, и начиная с неё «выращивается» новый фрагмент. Алгоритм прекращает работу, когда посещены все вершины графа. | |||
=== Вычислительное ядро алгоритма === | === Вычислительное ядро алгоритма === | ||
=== Макроструктура алгоритма === | === Макроструктура алгоритма === | ||
=== | === Схема реализации последовательного алгоритма === | ||
=== Последовательная сложность алгоритма === | === Последовательная сложность алгоритма === | ||
Основной объём вычислений в алгоритме Прима приходится на поддержание набора рёбер, выходящих из текущего фрагмента. Необходимо добавлять новые рёбра или вершины в набор, и находить ребро с наименьшим весом. | |||
* При использовании списков вершин сложность <math>O(n^2)</math>. | |||
* При использовании бинарной кучи рёбер сложность <math>O(m \ln m)</math>. | |||
* При использовании бинарной кучи вершин и сортировке рёбер у каждой вершины сложность <math>O(m \ln n)</math>. | |||
* При использовании быстрой кучи<ref>Navarro, Gonzalo, and Rodrigo Paredes. “On Sorting, Heaps, and Minimum Spanning Trees.” Algorithmica 57, no. 4 (March 23, 2010): 585–620. doi:10.1007/s00453-010-9400-6.</ref> сложность <math>O(m + n \ln^2 n)</math>. | |||
* При использовании фибоначчиевой кучи<ref>Fredman, Michael L, and Robert Endre Tarjan. “Fibonacci Heaps and Their Uses in Improved Network Optimization Algorithms.” Journal of the ACM 34, no. 3 (July 1987): 596–615. doi:10.1145/28869.28874.</ref> сложность <math>O(m + n \ln n)</math>. | |||
=== Информационный граф === | === Информационный граф === | ||
=== | === Ресурс параллелизма алгоритма === | ||
=== | === Входные и выходные данные алгоритма === | ||
=== Свойства алгоритма=== | === Свойства алгоритма === | ||
== Программная реализация | |||
== Программная реализация алгоритма == | |||
=== Особенности реализации последовательного алгоритма === | === Особенности реализации последовательного алгоритма === | ||
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма === | |||
=== Возможные способы и особенности реализации | === Результаты прогонов === | ||
=== | |||
=== Выводы для классов архитектур === | === Выводы для классов архитектур === | ||
== Литература == | == Литература == | ||
<references /> | <references /> | ||
[[Категория:Начатые статьи]] | |||
[[en:Prim's algorithm]] | |||
Текущая версия от 07:13, 6 июля 2022
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Алгоритм Прима[1][2] предназначен для решения задачи о построении минимального остовного дерева во взвешенном неориентированном графе.
Математическое описание алгоритма
Пусть задан связный неориентированный граф [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math] с весами рёбер [math]\displaystyle{ f(e) }[/math]. Предполагается, что веса всех рёбер различны (если это не так, то можно упорядочить рёбра сначала по весу, а потом по номеру).
Алгоритм Прима основан на следующих двух свойствах задачи:
- Минимальное ребро фрагмента. Пусть [math]\displaystyle{ F }[/math] – фрагмент минимального остовного дерева и [math]\displaystyle{ e_F }[/math] – ребро наименьшего веса, исходящее из [math]\displaystyle{ F }[/math] (т.е. ровно один его конец является вершиной из [math]\displaystyle{ F }[/math]). Если ребро [math]\displaystyle{ e_F }[/math] единственно, то оно принадлежит минимальному остовному дереву.
- Схлопывание фрагментов. Пусть [math]\displaystyle{ F }[/math] – фрагмент минимального остовного дерева графа [math]\displaystyle{ G }[/math], а граф [math]\displaystyle{ G' }[/math] получен из [math]\displaystyle{ G }[/math] склеиванием вершин, принадлежащих [math]\displaystyle{ F }[/math]. Тогда объединение [math]\displaystyle{ F }[/math] и минимального остовного дерева графа [math]\displaystyle{ G' }[/math] даёт минимальное остовное дерево исходного графа [math]\displaystyle{ G }[/math].
В начале работы алгоритма создаётся фрагмент, содержащий одну произвольную вершину графа. На каждом шаге выбирается ребро минимального веса, исходящее из текущего фрагмента. Это ребро помещается в минимальное остовное дерево, а его конец добавляется в текущий фрагмент. Процесс останавливается, когда у текущего фрагмента не остаётся исходящих рёбер. Тогда выбирается одна из ранее не посещённых вершин графа, и начиная с неё «выращивается» новый фрагмент. Алгоритм прекращает работу, когда посещены все вершины графа.
Вычислительное ядро алгоритма
Макроструктура алгоритма
Схема реализации последовательного алгоритма
Последовательная сложность алгоритма
Основной объём вычислений в алгоритме Прима приходится на поддержание набора рёбер, выходящих из текущего фрагмента. Необходимо добавлять новые рёбра или вершины в набор, и находить ребро с наименьшим весом.
- При использовании списков вершин сложность [math]\displaystyle{ O(n^2) }[/math].
- При использовании бинарной кучи рёбер сложность [math]\displaystyle{ O(m \ln m) }[/math].
- При использовании бинарной кучи вершин и сортировке рёбер у каждой вершины сложность [math]\displaystyle{ O(m \ln n) }[/math].
- При использовании быстрой кучи[3] сложность [math]\displaystyle{ O(m + n \ln^2 n) }[/math].
- При использовании фибоначчиевой кучи[4] сложность [math]\displaystyle{ O(m + n \ln n) }[/math].
Информационный граф
Ресурс параллелизма алгоритма
Входные и выходные данные алгоритма
Свойства алгоритма
Программная реализация алгоритма
Особенности реализации последовательного алгоритма
Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
Результаты прогонов
Выводы для классов архитектур
Литература
- ↑ Prim, R C. “Shortest Connection Networks and Some Generalizations.” Bell System Technical Journal 36, no. 6 (November 1957): 1389–1401. doi:10.1002/j.1538-7305.1957.tb01515.x.
- ↑ Dijkstra, E W. “A Note on Two Problems in Connexion with Graphs.” Numerische Mathematik 1, no. 1 (December 1959): 269–71. doi:10.1007/BF01386390.
- ↑ Navarro, Gonzalo, and Rodrigo Paredes. “On Sorting, Heaps, and Minimum Spanning Trees.” Algorithmica 57, no. 4 (March 23, 2010): 585–620. doi:10.1007/s00453-010-9400-6.
- ↑ Fredman, Michael L, and Robert Endre Tarjan. “Fibonacci Heaps and Their Uses in Improved Network Optimization Algorithms.” Journal of the ACM 34, no. 3 (July 1987): 596–615. doi:10.1145/28869.28874.