Двухкубитное преобразование вектора-состояния

Двухкубитное преобразование вектора-состояния
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ 5 \cdot 2^n }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ 2^n+16 }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ 2^n }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ 2^{n+2} }[/math]

Основные авторы описания: А.Ю.Чернявский.

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Алгоритм производит моделирования действия двухкубитного квантового вентиля на вектор-состояние. Данный алгоритм обычно является подпрограммой и многократно применяется к различным кубитам одного состояния (например при моделировании квантовых алгоритмов или анализе квантовой запутанности). Особенностью алгоритма, как и большинства алгоритмов квантовой инфоорматики, является экспоненциальный рост объема данных в зависимости от основного параметра - числа кубитов, что приводит к необходимости суперкомпьютерной реализации для решения важных практических задач.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

-Целочисленные параметры [math]\displaystyle{ n - }[/math] число кубитов (необязательно) и [math]\displaystyle{ k,l - }[/math] номера кубитов, над которым производится преобразование.

-Комплексная матрица [math]\displaystyle{ U = {u_{ij}}= \begin{pmatrix} u_{00}^{00} & u_{01}^{00} & u_{10}^{00} & u_{11}^{00}\\ u_{00}^{01} & u_{01}^{01} & u_{10}^{01} & u_{11}^{01}\\ u_{00}^{10} & u_{01}^{10} & u_{10}^{10} & u_{11}^{10}\\ u_{00}^{11} & u_{01}^{11} & u_{10}^{11} & u_{11}^{11} \end{pmatrix} }[/math] двухкубитного преобразования размера [math]\displaystyle{ 4 \times 4. }[/math] Верхние и нижние двойные индексы обозначают бинарную запись индексов [math]\displaystyle{ i }[/math] и [math]\displaystyle{ j }[/math] (такие обозначения сильно упрощают дальнейшее описание).

-Комплексный вектор [math]\displaystyle{ v }[/math] размерности [math]\displaystyle{ 2^n, }[/math] задающей начальное состояние многокубитной системы.

Вычисляемые данные: комплексный вектор [math]\displaystyle{ w }[/math] размерности [math]\displaystyle{ 2^n, }[/math] соответствующий состоянию после преобразования.

Формулы метода:

Элементы итогового вектора записываются в следующем виде:

[math]\displaystyle{ w_{i_1i_2\ldots i_k \ldots i_l \ldots i_n} = \sum\limits_{j_k=0, j_l=0}^1 u^{j_k j_l}_{i_k i_l} v_{i_1i_2\ldots j_k \ldots j_l \ldots i_n} }[/math]

Индекс-кортеж [math]\displaystyle{ i_1i_2\ldots i_n }[/math] представляет собой двоичную запись индекса элемента в массиве.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма представляет собой независимое вычисление всех [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] элементов вектора [math]\displaystyle{ w. }[/math] Вычисление каждого элемента требует четыре операции умножения и три операцию сложения. Кроме того необходимо вычислять индексы типа [math]\displaystyle{ i_1i_2\ldots j_k \ldots j_l \ldots i_n, }[/math] а также значение битов [math]\displaystyle{ j_k,j_l }[/math] что требует побитовых операций.

Макроструктура алгоритма

Как записано и в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют независимые вычсиления элементов выходного вектора.

Схема реализации последовательного алгоритма

Для каждого индекса [math]\displaystyle{ i }[/math] от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ 2^n-1 }[/math]

1. Вычислить элементы [math]\displaystyle{ i_k, i_l }[/math] двоичного представления индекса [math]\displaystyle{ i. }[/math]
2. Для всех четырех бинарных значений [math]\displaystyle{ j_k, j_l }[/math] вычислить индексы [math]\displaystyle{ i_1i_2\ldots j_k \ldots j_l \ldots i_n }[/math]
3. Просуммировать [math]\displaystyle{ u^{j_k j_l}_{i_k i_l} v_{i_1i_2\ldots j_k \ldots j_l \ldots i_n}. }[/math]

Последовательная сложность алгоритма

Алгоритм требует:

1. [math]\displaystyle{ 2^{n+2} }[/math] операций умножения комплексных чисел;
2. [math]\displaystyle{ 3\cdot 2^n }[/math] операций сложения комплексных чисел;
3. [math]\displaystyle{ 2^{n+1} }[/math] операций получения значения [math]\displaystyle{ k }[/math]-го бита числа;
4. [math]\displaystyle{ 2^{n+3} }[/math] операций изменения значения [math]\displaystyle{ k }[/math]-го бита числа.

Отметим, что данный алгоритм обычно применяется много раз подряд, в связи с чем вычисления, связанные с побитовыми операциями (3-4), могут единожды проводиться в начале алгоритма. Кроме того, от них можно избавиться, пользуясь сложением и логическим умножением с числами [math]\displaystyle{ 2^l, }[/math] и [math]\displaystyle{ 2^k, }[/math] которые сохраняется для всего алгоритма.

Информационный граф

Представим граф алгоритма для случаев [math]\displaystyle{ n=3, k=1, l=2 }[/math] (рис.1) и [math]\displaystyle{ n=3, k=1, l=3 }[/math] (рис.2). На графах не представлены матрицы преобразования [math]\displaystyle{ U, }[/math] в связи с тем, что их размер при больших [math]\displaystyle{ n }[/math] много меньше, нежели размеры входного и выходного векторов.

Отображение графа со входными и выходными данных, а также "свёрнутой" основной операцией удобно для понимания локальности обращений к памяти. Отметим, что структура графа (а именно обращение к входным данным) сильно зависит от параметров [math]\displaystyle{ k,l. }[/math]

Рисунок 1. Граф алгоритма для [math]\displaystyle{ n=3, k=2, l=3 }[/math] без отображения матрицы преобразования [math]\displaystyle{ U. }[/math]

Рисунок 2. Граф алгоритма для [math]\displaystyle{ n=3, k=1, l=3 }[/math] без отображения матрицы преобразования [math]\displaystyle{ U. }[/math]

Рисунок 3. Граф основной операции.

Ресурс параллелизма алгоритма

Как видно из информационного графа, прямой алгоритм моделирования однокубитного преобразования обладает высочайшей степенью параллелизма. Все операции вычисления элементов нового вектора-состояния могут быть произведены параллельно. Для вычисления одного элемента необходимо выполнить две операции умножения и одну операцию сложения, операции умножения, в свою очередь, также могут быть выполнены параллельно. Таким образом, необходимо выполнение двух ярусов: одного, состоящего из [math]\displaystyle{ 2^{n+2} }[/math] умножений и другого, состоящего из [math]\displaystyle{ 3 \cdot 2^n }[/math] сложений.

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные:

• Комплексный вектор состояния [math]\displaystyle{ u }[/math] длины [math]\displaystyle{ 2^n. }[/math] Обычно нормирован на единицу.
• Унитарная матрица [math]\displaystyle{ U }[/math] порядка [math]\displaystyle{ 4 }[/math].
• Номера кубитов [math]\displaystyle{ k,l }[/math].

Выходные данные:

• Комплексный вектор состояния [math]\displaystyle{ w }[/math] длины [math]\displaystyle{ 2^n }[/math].

Объем входных данных: [math]\displaystyle{ 2^n+16 }[/math] комплексных чисел и [math]\displaystyle{ 2 }[/math] целочисленых параметра.

Объем выходных данных: [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] комплексных чисел.

Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности является экспоненциальным (эксмпонента переходит в константу).

Вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – константа.

Программная реализация алгоритма

Особенности реализации последовательного алгоритма

На языке C функцию двухкубитного преобразования можно записать следующим образом:

void TwoQubitsEvolution(complexd *in, complexd *out, complexd U[4][4], int nqubits, int q1, int q2)
{
	//n - число кубитов
	//q1, q2 - номера кубитов, над которыми производится преобразование
	int shift1=n-q1;
	int shift2=n-q2;

	//Все биты нулевые, за исключением соответсвующего номеру первого изменяемого кубита
	int pow2q1=1<<(shift1);
	//Все биты нулевые, за исключением соответсвующего номеру второгоизменяемого кубита
	int pow2q2=1<<(shift2);

	int N=1<<nqubits;
	for	(int i=0; i<N; i++)
	{
		//Установка изменяемых битов во все возможные позиции
		int i00 = i & ~pow2q1 & ~pow2q2;
		int i01 = i & ~pow2q1 | pow2q2;
		int i10 = (i | pow2q1) & ~pow2q2;
		int i11 = i | pow2q1 | pow2q2;
		

		
		//Получение значений изменяемых битов
		int iq1 = (i & pow2q1) >> shift1;
		int iq2 = (i & pow2q2) >> shift2;

		//Индекс в матрице
		int iq=(iq1<<1)+iq2;

		out[i] = U[iq][(0<<1)+0] * in[i00] + U[iq][(0<<1)+1] * in[i01] + U[iq][(1<<1)+0] * in[i10] + U[iq][(1<<1)+1] * in[i11];
	}
}

Особенности последовательной реализации аналогичны Особенности реализации последовательного алгоритма однокубитного преобразования.