Метод «разделяй и властвуй» вычисления собственных значений и векторов симметричной трехдиагональной матрицы

Основные авторы описания: Р.Землянский (Разделы 1.1, 1.2, 1.6, 1.8, 1.9, 1.10), В.Завольсков (Разделы 1.3, 1.4, 1.5, 1.7, 2.7), Участник:IgorS (предварительная проверка), А.Ю. Чернявский (проверка, редактирование).

Метод "Разделяй и властвуй" вычисления собственных значений и векторов трёхдиагональной матрицы
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ c\frac{4}{3}n^{3} }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ 2n + 1 }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ n(n + 1) }[/math]
Параллельный алгоритм
Параллельная сложность	[math]\displaystyle{ O(n^{2.3}) }[/math] крайне редко: [math]\displaystyle{ O(n^{2}) }[/math]

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Метод разделяй и властвуй вычисления собственных значений и векторов трёхдиагональной матрицы - это наиболее быстрый из существующих методов, если нужны все собственные значения и собственные векторы трехдиагональной матрицы, начиная с порядка n, примерно равного 26. (Точное значение этого порогового порядка зависит от компьютера.) Его численно устойчивая реализация весьма не тривиальна. В самом деле, хотя впервые метод был предложен еще в 1981 г., "правильный" способ его реализации был найден лишь в 1992 г. Этот способ воплощен LAPACK-программами ssyevd (для плотных матриц) и sstevd (для трехдиагональных матриц). В них стратегия "разделяй-и-влавствуй" используется для матриц порядка, большего чем 25. Для матриц меньшего порядка (или если нужны только собственные значения) происходит автоматический переход к QR-итерации.

Математическое описание алгоритма

Пусть

[math]\displaystyle{ T = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1}&&&&& \\ b_{1} & \ddots & \ddots \\ & \ddots & a_{m-1} & b_{m-1} \\ && b_{m-1} & a_{m} & b_{m} \\ &&& b_{m} & a_{m+1} & b_{m+1} \\ &&&& b_{m+1} & \ddots \\ &&&&&& \ddots & b_{n-1} \\ &&&&&& b_{n-1} & a_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} &&&&& \\ b_{1} & \ddots & \ddots \\ & \ddots & a_{m-1} & b_{m-1} \\ && b_{m-1} & a_{m} - b_{m} \\ &&&& a_{m+1} - b_{m} & b_{m+1} \\ &&&& b_{m+1} & \ddots \\ &&&&&& \ddots & b_{n-1} \\ &&&&&& b_{n-1} & a_{n} \\ \end{bmatrix} + }[/math]

[math]\displaystyle{ + \begin{bmatrix} &&&&& \\ &&b_{m} & b_{m} \\ &&b_{m} & b_{m} \\ &&&&& \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m} * \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 , \ldots , 0 , 1 , 1 , 0 \ldots , 0 \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} }[/math]

Предположим, что нам известны спектральные разложения матриц [math]\displaystyle{ T_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ T_{2} }[/math]: [math]\displaystyle{ T_{i} = Q_{i} \Lambda_{i} Q_{i}^{T} }[/math]. В действительности, они будут рекурсивно вычисляться тем же самым алгоритмом. Установим связь между собственными значениями матрицы Т и собственными значениями матриц [math]\displaystyle{ T_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ T_{2} }[/math]. Имеем:

 [math]\displaystyle{  
T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} 
= \begin{bmatrix} Q_{1} \Lambda_{1} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2} \Lambda_{2} Q_{2}^{T}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} 
= \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}(\begin{bmatrix} \Lambda_{1} & \\  & \Lambda_{2}\end{bmatrix} + b_{m}uu^{T})\begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2}^{T}\end{bmatrix}
   }[/math],

где

 [math]\displaystyle{ 
u = \begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2}^{T}\end{bmatrix}v
   }[/math]

так как [math]\displaystyle{ v = \begin{bmatrix} 0 , \ldots , 0 , 1 , 1 , 0 \ldots , 0 \end{bmatrix}^T }[/math], получим матрицу, состоящую из последнего столбца матрицы [math]\displaystyle{ Q_{1}^{T} }[/math] и первого столбца матрицы [math]\displaystyle{ Q_{2}^{T} }[/math].

Следовательно, [math]\displaystyle{ T }[/math] имеет те же собственные значения, что и подобная ей матрица [math]\displaystyle{ D + \rho uu^{T} }[/math], где [math]\displaystyle{ D = \begin{bmatrix} \Lambda_{1} & 0 \\ 0 & \Lambda_{2}\end{bmatrix} }[/math] - диагональная матрица, [math]\displaystyle{ \rho = b_{m} }[/math] - число, а [math]\displaystyle{ u }[/math] - вектор.

Будем предполагать, не ограничивая общности, что диагональные элементы [math]\displaystyle{ d_{1}, \ldots, d_{n} }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ D }[/math] упорядочены по убыванию: [math]\displaystyle{ d_{n} \lt = \ldots \lt =d_{1} }[/math].

Чтобы найти собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ D + \rho uu^{T} }[/math], вычислим её характеристический многочлен, считая пока матрицу [math]\displaystyle{ D - \lambda I }[/math] невырожденной. Тогда

 [math]\displaystyle{ det(D + \rho uu^{T} - \lambda I) = det((D - \lambda I)(I + \rho (D- \lambda I)^{-1} uu^{T})) }[/math].

Поскольку [math]\displaystyle{ D - \lambda I }[/math] невырожденна, [math]\displaystyle{ det(I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}) = 0 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] - собственное значение. Заметим, что матрица [math]\displaystyle{ I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T} }[/math] получается из единичной добавлением матрицы ранга 1. Определитель такой матрицы легко вычислить.

 Лемма 1. Справедливо равенство [math]\displaystyle{ det(I + xy^{T}) = 1 + y^{T}x }[/math], где [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] - векторы.

Таким образом,

 [math]\displaystyle{ det(I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}) = 1 + \rho u^{T}(D - \lambda I)^{-1}u }[/math] [math]\displaystyle{  = 1 + \rho \sum_{i=1, n} \frac{u_{i}^{2}} {d_{i}-\lambda} \equiv f(\lambda) }[/math] , 

т.е. собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ T }[/math] есть корни так называемого векового уравнения [math]\displaystyle{ f(\lambda) = 0 }[/math]. Если все числа [math]\displaystyle{ d_{i} }[/math] различны и все [math]\displaystyle{ u_{i} \lt \gt 0 }[/math] (случай общего положения), то [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math] имеет график типа показанного на рис.1(где [math]\displaystyle{ n = 4 }[/math] и [math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math]).

Рис. 1. График функции [math]\displaystyle{ f(\lambda) = 1 + \frac{0.5}{1 - \lambda} + \frac{0.5}{2 - \lambda} + \frac{0.5}{3 - \lambda} + \frac{0.5}{4 - \lambda} }[/math]

Можно видеть, что прямая [math]\displaystyle{ y = 1 }[/math] является горизонтальной асимптотой для этого графика, а прямые [math]\displaystyle{ \lambda = d_{i} }[/math] есть вертикальные асимптоты. Поскольку [math]\displaystyle{ f^{'}(\lambda) = \rho \sum_{i=1, n} \frac{u_{i}^{2}} {(d_{i}-\lambda)^{2}}\gt 0 }[/math], функция возрастает всюду, кроме точек [math]\displaystyle{ \lambda = d_{i} }[/math]. Поэтому корни функции разделяются числами [math]\displaystyle{ d_{i} }[/math] и ещё один корень находится справа от точки [math]\displaystyle{ d_{1} }[/math] (на рис. 1 [math]\displaystyle{ d_{1} = 4 }[/math]). (При [math]\displaystyle{ \rho\lt 0 }[/math] функция [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math] всюду убывает и соответствующий корень находится слева от точки [math]\displaystyle{ d_{n} }[/math]). Для функции [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math], монотонной и гладкой на каждом из интервалов [math]\displaystyle{ (d_{i+1},d_{i}) }[/math], можно найти вариант метода Ньютона, который быстро и монотонно сходится к каждому из корней, если начальная точка взята в [math]\displaystyle{ (d_{i+1},d_{i}) }[/math]. Нам достаточно знать, что на практике метод сходится к каждому собственному значению за ограниченное число шагов. Поскольку вычисление [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math] и [math]\displaystyle{ f^{'}(\lambda) }[/math] стоит [math]\displaystyle{ O(n) }[/math] флопов, для вычисления одного собственного значения достаточно [math]\displaystyle{ O(n) }[/math], а для вычисления всех [math]\displaystyle{ n }[/math] собственных значений матрицы [math]\displaystyle{ D + \rho uu^{T} }[/math] требуется [math]\displaystyle{ O(n^{2}) }[/math] флопов. Для собственных векторов матрицы [math]\displaystyle{ D + \rho uu^{T} }[/math] мы легко можем получить явные выражения.

 Лемма 2. Если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] - собственное значение матрицы [math]\displaystyle{ D + \rho uu^{T} }[/math], то соответствующий вектор равен [math]\displaystyle{ (D - \alpha I)^{-1}u }[/math]. Поскольку матрица [math]\displaystyle{ D - \alpha I }[/math] диагональная, для вычисления такого вектора достаточно [math]\displaystyle{ O(n) }[/math] флопов.

Доказательство.

 [math]\displaystyle{ (D + \rho uu^{T})[(D - \alpha I)^{-1}u] = (D - \alpha I + \alpha I + \rho uu^{T})(D - \alpha I)^{-1}u }[/math]

 [math]\displaystyle{ =u + \alpha (D - \alpha I)^{-1}u + u[\rho u^{T}(D - \alpha I)^{-1}u]  }[/math]

 [math]\displaystyle{ =u + \alpha(D - \alpha I)^{-1}u - u }[/math] 

                                                      поскольку [math]\displaystyle{  \rho u^{T}(D - \alpha I)^{-1}u + 1 = f(\alpha) = 0  }[/math]

 [math]\displaystyle{ =\alpha [(D - \alpha I)^{-1}u] }[/math], что и требовалось.

Для вычисления по этой простой формуле всех [math]\displaystyle{ n }[/math] собственных векторов требуется [math]\displaystyle{ O(n^{2}) }[/math] флопов. К сожалению, формула не обеспечивает численной устойчивости, так как для двух очень близких значений [math]\displaystyle{ \alpha_{i} }[/math] может давать неортогональные приближенные собственные векторы [math]\displaystyle{ u_{i} }[/math]. Потребовалось целое десятилетие для того, чтобы найти устойчивую альтернативу исходному описанию алгоритма. Снова детали будут обсуждаться позднее в данном разделе.

Алгоритм является рекурсивным.

Дефляция

До сих пор полагалось, что все [math]\displaystyle{ d_{i} }[/math] различны и все [math]\displaystyle{ u_{i} }[/math] отличны от нуля. Если это не так, вековое уравнение [math]\displaystyle{ f(\lambda)=0 }[/math] имеет [math]\displaystyle{ k }[/math] вертикальных асимптот, где [math]\displaystyle{ k\lt n }[/math], а потому [math]\displaystyle{ k }[/math] корней. Однако оказывается, что остальные [math]\displaystyle{ n - k }[/math] собственных значений могут быть определены без каких-либо усилий: если [math]\displaystyle{ d_{i}=d_{i+1} }[/math] или [math]\displaystyle{ u_{i}=0 }[/math], то легко показать, что [math]\displaystyle{ d_{i} }[/math] является собственным значением и для матрицы [math]\displaystyle{ D + \rho uu^{T} }[/math]. В такой ситуации мы говорим о дефляции. На практике выбирается некоторое пороговое значение и дефляция для числа [math]\displaystyle{ d_{i} }[/math] регистрируется, если в смысле этого порога [math]\displaystyle{ d_{i} }[/math] достаточно близко к [math]\displaystyle{ d_{i+1} }[/math] либо [math]\displaystyle{ u_{i} }[/math] достаточно мало.

Основной выигрыш от использования дефляции состоит не в том, что убыстряется решение векового уравнения - этот этап в любом случае стоит лишь [math]\displaystyle{ O(n^{2}) }[/math] операций. Выигрыш заключается в ускорении матричного умножения на последнем шаге алгоритма. Действительно, если [math]\displaystyle{ u_{i}=0 }[/math], то соответствующий собственный вектор есть i-й столбец [math]\displaystyle{ e_{i} }[/math] единичной матрицы. Это означает, что [math]\displaystyle{ e_{i} }[/math] является i-м столбцом в матрице [math]\displaystyle{ Q_{'} }[/math], поэтому при формировании матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math] посредством левого умножения [math]\displaystyle{ Q_{1} }[/math] на [math]\displaystyle{ Q_{2} }[/math] вычисление i-го столбца не требует никаких затрат. Аналогичное упрощение имеет место в случае [math]\displaystyle{ d_{i} = d_{i+1} }[/math]. При дефляции многих собственных значений устраняется большая часть работы, связанной с матричным умножением.

Решение векового уравнения

Подробно стоит поговорить о решении векового уравнения, которое является одной из основных частей алгоритма.

Предположим, что некоторое [math]\displaystyle{ u_{i} }[/math], хотя и мало, все же недостаточно мало для того, чтобы была зарегистрирована дефляция. В этом случае применение метода Ньютона к решению векового уравнения встречается с затруднениями. Вспомним, что пересчет приближённого решения [math]\displaystyle{ u_{j} }[/math] уравнения [math]\displaystyle{ f(\lambda) = 0 }[/math] в методе Ньютона основан на следующих положениях:

1. Вблизи точки [math]\displaystyle{ \lambda = \lambda_{j} }[/math] функция [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math] аппроксимируется линейной функцией [math]\displaystyle{ l(\lambda) }[/math]; график есть прямая линия, касающаяся графика функции [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math] при [math]\displaystyle{ \lambda = \lambda_{j} }[/math].

2. В качестве [math]\displaystyle{ \lambda_{j+1} }[/math] берётся нуль этого линейного приближения, т.е. [math]\displaystyle{ l(\lambda_{j+1})=0 }[/math].

Функция, показанная на рис.1, не доставляет видимых трудностей методу Ньютона, поскольку вблизи каждого своего нуля [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math] достаточно хорошо аппроксимируется линейными функциями. Однако рассмотрим график функции на рис.2. Она получена из функции на рис. 1 заменой значения .5 для [math]\displaystyle{ u_{i}^{2} }[/math] на .001. Это новое значение недостаточно мало для того, чтобы вызвать дефляцию. График функции в левой части рис.2 визуально не отличим от её вертикальных и горизонтальных асимптот, поэтому в правой части укрупненно воспроизведён фрагмент графика, прилегающий к вертикальной асимптоте [math]\displaystyle{ \lambda = 2 }[/math]. Видно, что график слишком быстро "выполняет поворот" и для большей части значений [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] почти горизонтален. Поэтому, применяя метод Ньютона почти к любому начальному приближению [math]\displaystyle{ \lambda_{0} }[/math], мы получаем линейное приближение [math]\displaystyle{ l(\lambda) }[/math] с почти горизонтальным графиком и малым положительным угловым коэффициентом. В результате [math]\displaystyle{ \lambda_{1} }[/math] является отрицательным числом, огромным по абсолютной величине, которое совершенно бесполезно в качестве приближения к истинному корню.

Рис. 2. График функции [math]\displaystyle{ f(\lambda) = 1 + \frac{10^{-3}}{1 - \lambda} + \frac{10^{-3}}{2 - \lambda} + \frac{10^{-3}}{3 - \lambda} + \frac{10^{-3}}{4 - \lambda} }[/math]

Чтобы найти выход из этого положения, можно модифицировать метод Ньютона следующим образом: раз [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math] нельзя хорошо приблизить линейной функцией [math]\displaystyle{ l(\lambda) }[/math], попробуем взять в качестве приближения какую-нибудь другую простую функцию [math]\displaystyle{ h(\lambda) }[/math]. Нет ничего особого именно в прямых линиях: для метода Ньютона вместо [math]\displaystyle{ l(\lambda) }[/math] можно взять любое приближение [math]\displaystyle{ h(\lambda) }[/math], значения и нули которого легко вычисляются. Функция [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math] имеет полюсы в точках [math]\displaystyle{ d_{i} }[/math] и [math]\displaystyle{ d_{i+1} }[/math], которые определяют её поведение в соответствующих окрестностях. Поэтому при поиске корня в интервале [math]\displaystyle{ (d_{i+1}, d_{i}) }[/math] естественно выбрать функцию [math]\displaystyle{ h(\lambda) }[/math], также имеющую эти полюсы, т.е. функцию вида

[math]\displaystyle{ h(\lambda)= \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} + c_{3} }[/math]

Константы [math]\displaystyle{ c_{1},c_{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ c_{3} }[/math] обеспечивающие, что [math]\displaystyle{ h(\lambda) }[/math] есть приближение к [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math], можно выбрать несколькими способами. Отметим, что если [math]\displaystyle{ c_{1},c_{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ c_{3} }[/math] уже известны, то уравнение [math]\displaystyle{ h(\lambda)=0 }[/math] легко решается относительно [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], поскольку сводится к эквивалентному квадратному уравнению

[math]\displaystyle{ c_{1}(d_{i+1}-\lambda)+c_{2}(d_{i}-\lambda)+c_{3}(d_{i}-\lambda)(d_{i+1}-\lambda)=0 }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ \lambda_{j} }[/math] - приближённое значение корня. определим [math]\displaystyle{ c_{1},c_{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ c_{3} }[/math] так, чтобы

[math]\displaystyle{ \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} + c_{3} = h(\lambda) \approx f(\lambda) = 1 + \rho \sum_{k=1, n} \frac{u_{k}^{2}} {d_{k}-\lambda}  }[/math]

для [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] в окрестности [math]\displaystyle{ \lambda_{j} }[/math]. Заметим, что

[math]\displaystyle{ f(\lambda) = 1 + \rho \sum_{k=1, i} \frac{u_{k}^{2}} {d_{k}-\lambda} + \rho \sum_{k=i+1, n} \frac{u_{k}^{2}} {d_{k}-\lambda} \equiv 1 + \psi_{1}(\lambda) + \psi_{2}(\lambda) }[/math].

Если [math]\displaystyle{ \lambda \in (d_{i+1},d_{i}) }[/math], то [math]\displaystyle{ \psi_{1}(\lambda) }[/math] есть сумма положительных слагаемых, а [math]\displaystyle{ \psi_{2}(\lambda) }[/math] - сумма отрицательных. Поэтому и [math]\displaystyle{ \psi_{1}(\lambda) }[/math], и [math]\displaystyle{ \psi_{2}(\lambda) }[/math] могут быть вычислены с высокой точностью; однако при их сложении вполне вероятно взаимное уничтожение верных разрядов и потеря относительной точности в сумме. Возьмем числа [math]\displaystyle{ c_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat{c_{1}} }[/math], такие, что функция

[math]\displaystyle{ h_{1}(\lambda) \equiv \hat{c_{1}} + \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} }[/math]   удовлетворяет условиям  [math]\displaystyle{ h_{1}(\lambda_{j}) = \psi_{1}(\lambda_{j}) }[/math] и [math]\displaystyle{ h_{1}^{'}(\lambda_{j})=\psi_{1}^{'}(\lambda_{j}) }[/math] (1)

Это означает, что гипербола, являющаяся графиком функции [math]\displaystyle{ h_{1}(\lambda) }[/math], касается графика функции [math]\displaystyle{ \psi_{i}(\lambda) }[/math] при [math]\displaystyle{ \lambda = \lambda_{j} }[/math]. Два условия в (1) - это обычные условия метода Ньютона, за исключением того, что вместо прямой в качестве приближения используется гипербола. Легко проверить, что [math]\displaystyle{ c_{1}=\psi_{1}^{'}(\lambda_{j})(d_{i} - \lambda_{j})^{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat{c_{1}}=\psi_{1}(\lambda_{j}) - \psi_{1}^{'}(\lambda_{j})(d_{i} - \lambda_{j}) }[/math]

Подобным же образом выбираем [math]\displaystyle{ c_{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat{c_{2}} }[/math] так, чтобы функция

[math]\displaystyle{ h_{2}(\lambda) \equiv \hat{c_{2}} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} }[/math]

Удовлетворяла условиям

 [math]\displaystyle{ h_{2}(\lambda_{j}) = \psi_{2}(\lambda_{j}) }[/math] и [math]\displaystyle{ h_{2}^{'}(\lambda_{j})=\psi_{2}^{'}(\lambda_{j}) }[/math] (2)

Наконец, полагаем

[math]\displaystyle{ h(\lambda) = 1 + h_{1}(\lambda) + h_{2}(\lambda) = (1 + \hat{c_{1}} + \hat{c_{2}} + \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda}  }[/math]

[math]\displaystyle{ \equiv c_{3} + \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} }[/math].

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром последовательной схемы решения является вычисление матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math] собственных векторов путём умножения матрицы [math]\displaystyle{ Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix} }[/math] на матрицу [math]\displaystyle{ Q^{'} }[/math] Данная операция имеет сложность [math]\displaystyle{ cn^{3} }[/math] о чём и говорится в разделе #Последовательная сложность алгоритма . Ей предшествует вычисление собственных значений и векторов матрицы [math]\displaystyle{ D + \rho uu^{T} }[/math]

Макроструктура алгоритма

Ниже описана структура алгоритма, в которой есть блок умножения матриц для вычисления собственных векторов, являющийся вычислительным ядром алгоритма. В соответствующем разделе (#Вычислительное ядро алгоритма) мы упоминали о том, что данному блоку предшествует вычисление собственных значений, которое производится методом Ньютона.

Рис. 3. Дерево алгоритма "Разделяй и властвуй"

Рис. 4. Детальное описание одного блока алгоритма

Схема реализации последовательного алгоритма

Вычисление собственных значений и собственных векторов симметричной трехдиагональной матрицы посредством стратегии "разделяй и властвуй":

proc dc_eig[math]\displaystyle{ (T,Q,\Lambda)... }[/math] по входной матрице [math]\displaystyle{ T }[/math] вычисляются выходные матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math] и [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math], такие, что [math]\displaystyle{ T = Q\Lambda Q^{T} }[/math]

Если [math]\displaystyle{ T }[/math] - матрица размера [math]\displaystyle{ 1 }[/math] x [math]\displaystyle{ 1 }[/math]

 1. Присвоить выходным параметрам значения [math]\displaystyle{  Q = 1, \Lambda = T }[/math]

Иначе

 1. Представить [math]\displaystyle{ T }[/math] в виде [math]\displaystyle{  T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T}  }[/math]

 2. call dc_eig[math]\displaystyle{ (T_{1},Q_{1},\Lambda_{1}) }[/math]

 3. call dc_eig[math]\displaystyle{ (T_{2},Q_{2},\Lambda_{2}) }[/math]

 4. Построить [math]\displaystyle{ D+\rho uu^{T} }[/math] по [math]\displaystyle{  \Lambda_{1},\Lambda_{2}, Q_{1}, Q_{2} }[/math]

 5. Найти матрицу собственных значений [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math]

 6. Найти матрицу собственных векторов [math]\displaystyle{ Q^{'} }[/math] для матрицы [math]\displaystyle{ D+\rho uu^{T} }[/math]

 7. Построить матрицу собственных векторов [math]\displaystyle{ Q }[/math] для матрицы [math]\displaystyle{ T }[/math] : [math]\displaystyle{  Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}* Q^{'}  }[/math]

 8. Присвоить выходным параметрам значения [math]\displaystyle{ Q }[/math] и [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math]

endif

Последовательная сложность алгоритма

Проанализируем сложность алгоритма. Пусть [math]\displaystyle{ t(n) }[/math] - число флопов при обработке матрицы размера [math]\displaystyle{ n x n }[/math] процедурой dc_eig. Тогда

[math]\displaystyle{ t(n) = 2t(n/2) }[/math] два рекурсивных обращения к dc_eig[math]\displaystyle{ (T_{i},Q_{i},\Lambda_{i}) }[/math]

[math]\displaystyle{ +O(n^{2}) }[/math] вычисление собственных значений матрицы [math]\displaystyle{ D+\rho uu^{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ +O(n^{2}) }[/math] вычисление собственных векторов матрицы [math]\displaystyle{ D+\rho uu^{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ +c*n^{3} }[/math] вычисление матрицы [math]\displaystyle{ Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}*Q^{'} }[/math]

Если [math]\displaystyle{ Q_{1}, Q_{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ Q^{'} }[/math] рассматриваются как плотные матрицы и используется стандартный алгоритм матричного умножения, то константа [math]\displaystyle{ c }[/math] в последней строке равна 1. Таким образом, именно это умножение составляет наиболее трудоёмкую часть алгоритма в целом. Игнорируя члены порядка [math]\displaystyle{ n^{2} }[/math], получаем [math]\displaystyle{ t(n) = 2t(n/2) + cn^{3} }[/math]. Решая это разностное уравнение, находим [math]\displaystyle{ t \approx c\frac{4}{3}n^{3} }[/math]

На практике константа [math]\displaystyle{ c }[/math] обычно гораздо меньше 1, потому что матрица [math]\displaystyle{ Q^{'} }[/math] весьма разрежена вследствие явления, называемого дефляцией.

Информационный граф

В данном разделе на рисунке 5 представлен информационный граф алгоритма.

Рис. 5. Информационный граф алгоритма "Разделяй и властвуй" - шаг Divide

Операции:

[math]\displaystyle{ D }[/math] - операция Divide разделения матрицы [math]\displaystyle{ T }[/math] на матрицы [math]\displaystyle{ T_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ T_{2} }[/math]

Индексы - размерность

[math]\displaystyle{ S_{k} }[/math] - операция Conquer сбора матрицы [math]\displaystyle{ D }[/math]

[math]\displaystyle{ L_{k} }[/math] - операция поиска собственных значений

[math]\displaystyle{ S^{'} }[/math] - операция поиска собственных векторов матрицы [math]\displaystyle{ Q^{'} }[/math]

[math]\displaystyle{ S }[/math] - операция поиска собственных векторов матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math]

Ресурс параллелизма алгоритма

Рассмотрев информационный граф алгоритма, можно заметить, что в структуре имеется два параллельных блока - вызов рекурсивных функций dc_eig для вычисления собственных значений и векторов матриц [math]\displaystyle{ T_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ T_{2} }[/math] - это единственная часть алгоритма, в которой мы прибегаем к параллелизму.

Рекурсивное разделение матрицы ведёт к иерархии вычислительных подблоков с графом зависимости данных, который выглядит, как двоичное дерево. Данная структура является естественным путем разделения вычислений между процессорами.

В вершине дерева все процессы взаимодействуют. В каждой ветви дерева вычисление делится на два вычислительных подблока, внутри каждого из которых процессы параллельно взаимодействуют. В листьях деревьев каждый процесс занимается вычислением независимо.

В случае реализации без параллелизма, функции dc_eig отрабатывают последовательно - сначала со входными параметрами [math]\displaystyle{ T_{1}, Q_{1}, \Lambda_{1} }[/math], затем - [math]\displaystyle{ T_{2}, Q_{2}, \Lambda_{2} }[/math].

Таким образом, благодаря параллелизму высота алгоритма параллельного составляет [math]\displaystyle{ log_{2}(n) }[/math], когда как при последовательной реализации высота алгоритма равна сумме геометрической прогрессии [math]\displaystyle{ 1+2+4+8+...+2^{n-1} = 2^{n} - 1 }[/math], что значительно сокращает число итераций алгоритма.

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные:

На вход алгоритму подаётся трёхдиагональная симметричная матрица:

[math]\displaystyle{ L = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1}&&&&& \\ b_{1} & \ddots & \ddots \\ & \ddots & a_{m-1} & b_{m-1} \\ && b_{m-1} & a_{m} & b_{m} \\ &&& b_{m} & a_{m+1} & b_{m+1} \\ &&&& b_{m+1} & \ddots \\ &&&&&& \ddots & b_{n-1} \\ &&&&&& b_{n-1} & a_{n} \\ \end{bmatrix} }[/math]

Объем входных данных:

[math]\displaystyle{ 2n + 1 }[/math] - в силу симметрии, хранить следует только диагональные, поддиагональые и наддиагональные элементы.

Выходные данные:

На выходе мы получаем вектор собственных значений длины [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] собственных векторов длины [math]\displaystyle{ n }[/math] , соответствующих собственным значениям исходной матрицы.

Объем выходных данных:

[math]\displaystyle{ n + n^{2} = n(n + 1) }[/math]

Свойства алгоритма

Описанный в данной статье алгоритм является самым быстрым алгоритмом, среди существующих: QR / Бисекция и обратная итерация / Разделяй и властвуй.

Последовательная сложность алгоритма (не принимая во внимание дефляцию) удовлетворяет рекурсивному соотношению:

[math]\displaystyle{ t(n) = n^3 +2t(\frac{n}{2}) }[/math]

Решение которого имеет вид:

[math]\displaystyle{  t = c\frac{4}{3}n^{3}  }[/math]

На практике же, параллельная сложность алгоритма в силу использования дефляции, позволяющей получить выигрыш в количестве операций, который заключается в ускорении матричного умножения на последнем шаге алгоритма (см. #Дефляция), имеет следующий вид: [math]\displaystyle{ O(n^{2.3}) }[/math] или в самых редких случаях [math]\displaystyle{ O(n^{2}) }[/math] (см. [3] стр. 8).

Особенности алгоритма:

1. Использование дефляции (#Дефляция)

2. Использование адаптированного метода Ньютона (#Макроструктура алгоритма)

Программная реализация алгоритма

Вторая часть описания алгоритмов в рамках AlgoWiki рассматривает все составные части процесса их реализации. Рассматривается как последовательная реализация алгоритма, так и параллельная. Описывается взаимосвязь свойств программ, реализующих алгоритм, и особенностей архитектуры компьютера, на которой они выполняются. Исследуется работа с памятью, локальность данных и вычислений, описывается масштабируемость и эффективность параллельных программ, производительность компьютеров, достигаемая на данной программе. Обсуждаются особенности реализации для разных классов архитектур компьютеров, приводятся ссылки на реализации в существующих библиотеках.

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов" Суперкомпьютерного комплекса Московского университета.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

• число процессоров [1 : 8] (1,2,3,4,8);
• размер матрицы [4 : 8192].

Для исследования масштабируемости алгоритм был реализован на библиотеке OpenMP 1.5.5 для языка C++(компилятор g++) на cуперкомпьютере Ломоносов на узле compiler. Для данного узла максимально возможное число потоков - 8. В ходе оценки масштабируемости, программа была запущена в 1, 2, 4, 8 потока. Параметры компиляции и запуска:

ssh compiler 
module add slurm
module add openmpi/1.5.5-icc
g++ _scratch/test.c++ -fopenmp -std=c++0x -o test 
sbatch -p test -n1 run ./test

Для управления количеством потоков использовалась операция OpenMP omp_set_num_threads();

Рис. 6. График времени работы программы в зависимости от числа процессов и размера задачи

Масштабируемость рассматриваемой реализации алгоритма "Разделяй и властвуй":

• При увеличении числа процессов общая эффективность программы увеличивается, т.к. время чтения и подготовки исходной матрицы остаётся неизменным, а время работы алгоритма уменьшается, однако рост незначительный.
• При увеличении размерности матрицы общая эффективность программы постепенно уменьшается, т.к. время чтения и подготовки исходных данных растёт быстрее, чем время работы исследуемого алгоритма.
• При одновременном увеличении как числа процессов, так и размерности матрицы общая эффективность программы уменьшается.

Код исследуемой реализации представлен здесь pastebin.com

Существующие реализации алгоритма

Описываемый метод реализован в пакете LAPACK, описание которого можно найти в этой статье на страницах 7, 19 и 20, которая указана в списке литературы.

Литература

[1] Дж. Деммель, «Вычислительная линейная алгебра» //С. 230-235

[2] Francoise Tisseury, Jack Dongarra, A Parallel Divide and Conquer Algorithm for the Symmetric Eigenvalue Problem on Distributed Memory Architectures

[3] Francoise Tisseury, Jack Dongarra, Parallelizing the Divide and Conquer Algorithm for the Symmetric Tridiagonal Eigenvalue Problem on Distributed Memory Architectures

[4] Алгоритм "Разделяй и властвуй" - Wikipedia

[5] Doron Grill and Eitan Tadmor AN [math]\displaystyle{ O(N2) }[/math] METHOD FOR COMPUTING THE EIGENSYSTEM OF [math]\displaystyle{ N }[/math]x[math]\displaystyle{ N }[/math] SYMMETRIC TRIDIAGONAL MATRICES BY THE DIVIDE AND CONQUER APPROACH