Фильтр Собеля

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Фильтр Собеля - дискретный дифференциальный оператор, который используется для приближения градиента яркости изображения. Он часто используется в алгоритмах выделения границ при обработке изображений. Фильтр Собеля был предложен Ирвином Собелем и Гэри Фелдманом в лаборатории искусственного интеллекта Стэнфорда в 1968.

Фильтр Собеля легко вычислять, так как он основан на свертках изображения с небольшими ядрами. Из-за этого он аппроксимирует градиент со значительной погрешностью, но качество аппроксимации оказывается достаточным для многих практических приложений.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• изображение [math]\displaystyle{ A^{N\cdot M} }[/math]

Вычисляемые данные:

• матрица аппроксимации модуля градиента [math]\displaystyle{ G^{N\cdot M} }[/math]

• матрица аппроксимации направления градиента [math]\displaystyle{ \Theta^{N\cdot M} }[/math]

Это матрицы такого же размера, как исходное изображение, так как параметры градиента вычисляются для каждого пикселя изображения.

Промежуточные горизонтальные и вертикальные производные вычисляются с помощью следующих двумерных сверток:

[math]\displaystyle{ \mathbf{G}_x = \begin{bmatrix} +1 & 0 & -1 \\ +2 & 0 & -2 \\ +1 & 0 & -1 \end{bmatrix} * \mathbf{A} ,\ \mathbf{G}_y = \begin{bmatrix} +1 & +2 & +1\\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix} * \mathbf{A} }[/math]

Аппроксимации для модуля и направления градиента можно получить, скомбинировав эти производные:

[math]\displaystyle{ \mathbf{G} = \sqrt{ {\mathbf{G}_x}^2 + {\mathbf{G}_y}^2 } }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{\Theta} = \operatorname{atan}\left({ \mathbf{G}_y \over \mathbf{G}_x }\right) }[/math]

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро совпадает с алгоритмом, так как все описанные операции выполняются за [math]\displaystyle{ O(M\cdot N) }[/math] на одном изображении.