Участник:Alexander34396/Обобщенный метод минимальных невязок

Файл:Symbol wait.svg

Эта работа ждет рассмотрения преподавателем Дата последней правки страницы: 17.10.2016 Авторы этой статьи считают, что задание выполнено.

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Обобщённый метод минимальных невязок (англ. Generalized minimal residual method, GMRES) - итерационный метод численного решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей. Метод основан на минимизации квадратичного функционала невязки на подпространствах Крылова. Разработан Юсефом Саадом и Мартином Шульцем в 1986 году как обобщение метода MINRES на случай систем с несимметричными матрицами.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• система линейных алгебраических уравнений вида [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где [math]\displaystyle{ A }[/math] — невырожденная матрица размера [math]\displaystyle{ n }[/math]-на-[math]\displaystyle{ n }[/math];
• [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] - начальное приближение.

Вычисляемые данные:

• [math]\displaystyle{ x_k }[/math] - приближённое решение исходной системы.

Метод GMRES приближает точное решение исходной системы [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math] вектором [math]\displaystyle{ x_k }[/math], который минимизирует [math]\displaystyle{ l_2 }[/math]-норму невязки [math]\displaystyle{ r_k = Ax_k - b }[/math] на подпространстве Крылова:

[math]\displaystyle{ K_k = K_k(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{k-1}b \} }[/math].

На каждой итерации метода решение уточняется поправкой, представленной в виде разложения по [math]\displaystyle{ l_2 }[/math]-ортонормированному базису пространства [math]\displaystyle{ K_k }[/math]:

[math]\displaystyle{ x_k = x_0 + z_k }[/math], где [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] - некоторое начальное приближение, [math]\displaystyle{ z_k \in K_k }[/math] - поправка решения.

Ортогонализация Арнольди

Для построения ортонормированного базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math] метод использует процесс Арнольди.

Исходные данные:

• [math]\displaystyle{ v_1 }[/math], такой что [math]\displaystyle{ \|v_1\|_2 = 1 }[/math];
• матрица A размером [math]\displaystyle{ n }[/math]-на-[math]\displaystyle{ n }[/math].

Формула процесса:

[math]\displaystyle{ h_{j+1j}v_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{j} }[/math], где [math]\displaystyle{ h_{ij} = (Av_j, v_i) }[/math], [math]\displaystyle{ \quad j=1,\ldots,k }[/math].

Алгоритм процесса:

Выполнять для [math]\displaystyle{ \quad j=1,\ldots,k }[/math]:

1. [math]\displaystyle{ h_{ij} = (Av_j, v_i), \quad i=1,\ldots,j }[/math];
2. [math]\displaystyle{ \hat{v}_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{i} }[/math];
3. [math]\displaystyle{ h_{j+1j} = \|\hat{v}_{j+1}\|_2 }[/math];
4. [math]\displaystyle{ v_{j+1} = \frac{\hat{v}_{j+1}}{h_{j+1j}} }[/math].

При введении матричных обозначений можно записать:

1. [math]\displaystyle{ z_k = V_ky_k }[/math], где [math]\displaystyle{ y_k \in \mathbb{R}^k }[/math] - вектор коэффициентов;
2. [math]\displaystyle{ AV_k = V_kH_k + h_{k+1k}v_{k+1} e_k^T = V_{k+1}\overline{H}_k }[/math], где [math]\displaystyle{ V_k = [v_1|v_2|...|v_k] }[/math], а [math]\displaystyle{ \overline{H}_k }[/math] - верхняя матрица Хессенберга размерности [math]\displaystyle{ (j+1) }[/math] на [math]\displaystyle{ j }[/math].

Минимизация функционала невязки

Для решения исходной системы GMRES вычисляет приближённое решение [math]\displaystyle{ x_k }[/math], которое минимизизует функционал невязки:

[math]\displaystyle{ J(y) = \|b- A x_k\|_2 = \|b - A(x_0 + V_ky)\|_2 = \|\beta e_1 - \overline{H}_ky_k \|_2 }[/math], где [math]\displaystyle{ \beta = \|r_0\|_2 }[/math].

Вектор [math]\displaystyle{ y_k }[/math] может найден как решение линейной задачи наименьших квадратов размера [math]\displaystyle{ k+1 }[/math]-на-[math]\displaystyle{ k }[/math]:

[math]\displaystyle{ y_k = \arg\min_{y}\| \beta e_1 - \overline{H}_ky\|_2 }[/math].

Для решения задачи матрица [math]\displaystyle{ \overline{H}_k }[/math] приводится к верхнему треугольному виду с помощью [math]\displaystyle{ k }[/math] последовательных вращений Гивенса.

Общая схема метода

В общем виде k-aя итерация алгоритма GMRES может быть записан следующим образом:

1. найти ортонормированный базис [math]\displaystyle{ V_k }[/math] подпространства [math]\displaystyle{ K_k }[/math] с помощью ортогонализации Арнольди;
2. найти [math]\displaystyle{ y_k }[/math], минимизирующий [math]\displaystyle{ \|r_k\|_2 }[/math];
3. вычислить [math]\displaystyle{ x_k = x_0 + V_ky_k }[/math];
4. вычислить [math]\displaystyle{ r_k }[/math] и остановиться,если требуемая точность была достигнута, иначе повторить.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро последовательной версии метода GMRES состоит из двух частей:

• Вычисление ортонормированного базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math];
• Формирование приближенного решения [math]\displaystyle{ x_k }[/math].

Для вычисления ортонормированного базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math] метод использует процесс Арнольди:

[math]\displaystyle{ h_{j+1j}v_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{j} }[/math], где [math]\displaystyle{ h_{ij} = (Av_j, v_i) }[/math], [math]\displaystyle{ \quad j=1,\ldots,k }[/math].

Для нахождения приближённого решения [math]\displaystyle{ x_k }[/math] метод использует формулу:

[math]\displaystyle{ x_k = x_0 + V_ky_k }[/math].

Макроструктура алгоритма

В алгоритме можно выделить следующие макрооперации:

• Умножение матрицы на вектор;
• Вычисление скалярного произведения векторов;
• Вычисление [math]\displaystyle{ l_2 }[/math]-нормы вектора;
• Умножение вектора на скаляр;
• Деление вектора на скаляр.

Схема реализации последовательного алгоритма

На практике используется перезапускаемая версия метода - GMRES(m):

1. Подготовка перед итерационным процессом:

1. Выбрать начальное приближение [math]\displaystyle{ x_0 }[/math];
2. Посчитать невязку [math]\displaystyle{ r_0 = b - Ax_0 }[/math];
3. Вычислить [math]\displaystyle{ v_1 = \frac{r_0}{\|r_0\|_2} }[/math].

2. Построение ортонормированного базиса [math]\displaystyle{ K_m }[/math]:

Для всех [math]\displaystyle{ j }[/math] от 1 до m по нарастанию выполнять:

1. [math]\displaystyle{ h_{ij} := (Av_j, v_i), \quad i=1,\ldots,j }[/math];
2. [math]\displaystyle{ \hat{v}_{j+1} := Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{i} }[/math];
3. [math]\displaystyle{ h_{j+1j} = \|\hat{v}_{j+1}\|_2 }[/math];
4. [math]\displaystyle{ v_{j+1} = \frac{\hat{v}_{j+1}}{h_{j+1j}} }[/math].

3. Вычисление [math]\displaystyle{ x_m }[/math]:

1. [math]\displaystyle{ x_m = x_0 + V_my_m }[/math], где [math]\displaystyle{ y_m }[/math] минимизирует [math]\displaystyle{ \|r_0 - AV_my_m\|_2 }[/math];
2. Вычислить [math]\displaystyle{ r_m }[/math];
3. Если требуемая точность достигнута, остановиться.

4. Перезапуск:

1. [math]\displaystyle{ x_0 = x_m }[/math];
2. [math]\displaystyle{ v_1 = \frac{r_m}{\|r_m\|_2} }[/math];
3. Перейти к шагу 2.

Последовательная сложность алгоритма

Если пренебречь сложностью вычисления [math]\displaystyle{ y_k }[/math], то общую сложность алгоритма GMRES можно разделить на две части: 1. Сложность вычисления ортонормированного базиса пространства [math]\displaystyle{ K_k }[/math]:

a) Для вычисления [math]\displaystyle{ j }[/math]-го вектора базиса [math]\displaystyle{ K_k, j \lt k }[/math] требуется:

[math]\displaystyle{ NZ + (2j + 1)n }[/math] мультипликативных операций, где [math]\displaystyle{ NZ }[/math] - количество ненулевых элементов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].

b) Вычисление последнего вектора базиса требует:

[math]\displaystyle{ n(k + 1) }[/math] мультипликативных операций.

c) Общая мультипликативная сложность вычисления ортонормированного базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math]:

[math]\displaystyle{ nk(k + 1) + kNZ }[/math].

2. Сложность вычисления приближённого решения [math]\displaystyle{ x_k }[/math]:

Вычисление этой формулы требует [math]\displaystyle{ nk }[/math] мультипликативных операций.

Литература

<references \>