Участник:AleksLevin/Алгоритм Ланцоша вычисления собственных значений симметричной матрицы для точной арифметики (без переортогонализации)

Основные авторы описания: Левин А.Д. (студент, кафедра вычислительных методов, 604 группа)

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Данный алгоритм появился в 1950 г. и носит имя венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Алгоритм Ланцоша относится к итерационным методам вычисления собственных значений для матриц столь больших порядков [math]\displaystyle{ n }[/math], что к ним нельзя применить прямые методы из-за ограничений по времени и памяти.

Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матриц, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых [math]\displaystyle{ k }[/math] собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276].

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений симметричной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] соединяет в себе метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедуру Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих векторов исходной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] [2, с.381].

В данной статье рассматривается вариант алгоритма Ланцоша, в котором опущено влияние ошибок округления на вычислительный процесс, хотя на практике этому посвящается отдельное внимание и существуют различные методы решения данной проблемы.

Математическое описание алгоритма

Для лучшего понимания описания, данного в этом пункте статьи, рекомендуется ознакомиться с параграфом 6.6 Методы Крыловского подпространства [2, с.313]. Здесь же дано краткое описание всех переменных, математических операций и необходимый теоретический минимум.

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы [math]\displaystyle{ A=A^T }[/math] в точной арифметике [2, с.381] : [math]\displaystyle{ \begin{align} q_1 = & b/ \|b\|_2,\; \beta_0 = 0,\; q_0 = 0\\ for \; & j = 1 \; to \; k \\ & z = Aq_j\\ & \alpha_j = q^T_j z\\ & z = z - \alpha_j q_j - \beta_{j-1}q_{j-1}\\ & \beta_j = \|z\|_2\\ & If \; \beta_j == 0 \; then\; stop\; the\; algorithm \\ & \; q_{j+1} = z / \beta_j \\ & compute\; eigenvalues\; and \;eigenvectors\;of \;matrix \;T_j\;and\;estimate \;the\; errors\\ end \; & for \end{align} }[/math]

В продемонстрированном

Литература

[1] Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы //М.: Мир. - 1983. - С. 276-294

[2] James W. Demmel Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения //Мир. - 2001. С. 381-391