Участник:Максим

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Ме́тод Ру́нге — Ку́тты 4-го порядка — важный итерационный метод численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Он был разработан около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой. Для численного решения системы на отрезке, на котором определена независимая переменная, задается сетка с некоторым маленьким шагом. Последовательно, на каждом шаге, вычисляем значения зависимых переменных через значения зависимых переменных на предыдущем шаге по формулам Рунге-Кутты.

Математическое описание алгоритма

Рассматривается следующая система ОДУ:

[math]\displaystyle{ \begin{align} X^'=f(t,X,Y,...)\\ Y^'=g(t,X,Y,...),... \end{align} }[/math]

и т.д.

с начальным условием [math]\displaystyle{ X(t_0)=X_0,Y(t_0)=Y_0,... }[/math]

Пусть h-шаг сетки, тогда имеем следующие формулы Рунге-Кутты численного решения системы:

[math]\displaystyle{ \begin{align} t_{k+1}=t_{k}+h\\ X_{k+1}=\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4),\\ Y_{k+1}=\frac{1}{6}(m_1+2m_2+2m_3+m_4),...,\\ k_1=f(t_k,X_k,Y_k,...)h,\\ m_1=g(t_k,X_k,Y_k,...)h,...,\\ k_2=f(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_1}{2},Y_k+\frac{m_1}{2},...)h,\\ m_2=g(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_1}{2},Y_k+\frac{m_1}{2},...)h,...,\\ k_3=f(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_2}{2},Y_k+\frac{m_2}{2},...)h,\\ m_3=g(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_2}{2},Y_k+\frac{m_2}{2},...)h,...,\\ k_4=f(t_k+h,X_k+k_3,Y_k+m_3,...)h,\\ m_4=g(t_k+h,X_k+k_3,Y_k+m_3,...)h,...\\ \end{align} }[/math]

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро метода Рунге-Кутты можно составить из множественных вычислений функций f,g,... и т.д.

Макроструктура алгоритма

Как и записано в предыдущем пункте основную часть метода составляют множественные вычисления значений функций от нескольких переменных f,g,... и т.д.

Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность исполнения метода следующая:

[math]\displaystyle{  1. t_{k+1}=t_{k}+h  }[/math]

[math]\displaystyle{  2. k_1=f(t_k,X_k,Y_k,...)h, }[/math]

[math]\displaystyle{    m_1=g(t_k,X_k,Y_k,...)h,..., }[/math]

[math]\displaystyle{   k_2=f(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_1}{2},Y_k+\frac{m_1}{2},...)h, }[/math]

[math]\displaystyle{   m_2=g(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_1}{2},Y_k+\frac{m_1}{2},...)h,..., }[/math]

[math]\displaystyle{   k_3=f(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_2}{2},Y_k+\frac{m_2}{2},...)h, }[/math]

[math]\displaystyle{    m_3=g(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_2}{2},Y_k+\frac{m_2}{2},...)h,..., }[/math]

[math]\displaystyle{   k_4=f(t_k+h,X_k+k_3,Y_k+m_3,...)h, }[/math]

[math]\displaystyle{   m_4=g(t_k+h,X_k+k_3,Y_k+m_3,...)h,... }[/math]

[math]\displaystyle{  3. X_{k+1}=\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4), }[/math]

[math]\displaystyle{  Y_{k+1}=\frac{1}{6}(m_1+2m_2+2m_3+m_4),... }[/math]

Последовательная сложность алгоритма

Пусть m-число узлов сетки, n-размерность системы ОДУ. Тогда найдем количество операций, требуемое для решения задачи.

1. Сложений

[math]\displaystyle{  (7n+2)m  }[/math]

2. Умножений

[math]\displaystyle{  4nm  }[/math]

3. Делений

[math]\displaystyle{  (4n+1)m  }[/math]

4. Вычислений значения многомерной функции

[math]\displaystyle{  4nm  }[/math]

Информационный граф

Рисунок 1. Граф алгоритма. Кружками обозначены операции вычисления функций f,g и т.д.

По оси OX происходит вычисление функций [math]\displaystyle{ f,g }[/math] и т.д. По оси OY происходит вычисление коэффициентов [math]\displaystyle{ k_1,k_2,k_3,k_4;m_1,m_2,m_3,m_4 }[/math] и т.д. По оси OZ вычисление вектора функций [math]\displaystyle{ Y_{k+1} }[/math] на очередном шаге. Вообще говоря, информационный граф четырехмерен, так как на четвертой оси будут располагаться последовательные итерации [math]\displaystyle{ Y_{k+1},Y_{k+2} }[/math] и т.д.

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: вектор начальных данных размером n, вектор функций размером n

Выходные данные: вектор значений функций в конечный момент времени размером n.