Участник:Арутюнов А.В.

Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(n^2 }[/math] - одна итерация
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ n * m + 1 }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ n }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]

Автор описания: Арутюнов А.В.

Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции

Классический метод Ньютона или касательных заключается в том, что если [math]\displaystyle{ x_n }[/math] — некоторое приближение к корню [math]\displaystyle{ x_* }[/math] уравнения f(x) = 0, f(x) ghby [math]\displaystyle{ C^1 }[/math] , то следующее приближение определяется как корень касательной f(x) к функции , проведенной в точке [math]\displaystyle{ x_n }[/math] .

Уравнение касательной к функции f(x) в точке имеет вид:

[math]\displaystyle{ f^(x_j)=y-f(x_n)/(x-x_n) }[/math]

В уравнении касательной положим y=0 и [math]\displaystyle{ x=x_n+1 }[/math].

Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем:

Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных.

Математическое описание алгоритма

Пусть необходимо найти решение системы:

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}f_1(x_1, ..., x_n) = 0 \\ ... \\ f_n(x_1, ..., x_n) = 0, \end{matrix}\right. }[/math]

где [math]\displaystyle{ f = (f_1, ..., f_n) : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n }[/math] - непрерывно дифференцируемое отображение в окрестности решения.

При начальном приближении [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] и сделанных предположениях [math]\displaystyle{ (k+1) }[/math]-я итерация метода будет выглядеть следующим образом: [math]\displaystyle{ x_{k+1} = x_k - [f'(x_k)]^{-1}f(x_k)Δ }[/math]

Математическое описание алгоритма

[math]\displaystyle{ x_{k+1} = x_k - [f'(x_k)]^{-1}f(x_k) }[/math]

Пусть необходимо найти решение системы:

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}f_1(x_1, ..., x_n) = 0 \\ ... \\ f_n(x_1, ..., x_n) = 0, \end{matrix}\right. }[/math]

Идея метода заключается в линеаризации уравнений системы

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}f_1(x_1, ..., x_n) = 0 \\ f_2(x_1,...x_n)=0, \\ ... \\ f_n(x_1, ..., x_n) = 0, \end{matrix}\right. }[/math]

многократному решению системы линейных уравнений. Пусть известно приближение (x_i)^(k) решения системы нелинейных уравнений xi .Введем в рассмотрение поправку ΔхΔ как разницу между решением и его приближением: Δх_i=(х_i)^* — (х_i)^k => (х_i)^*=(х_i)^k + Δx_I, i=1,n Подставим полученное выражение для (х_i)^* в исходную систему.

+Δх х +Δх2‚

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}f_1((x_1)^k +Δx_1, (x_2)^k+Ax_2, ..., (x_n)^k + Δx_n)=0, \\ f_2((x_1)^(k) +Δx_1, (x_2)^(k)+Δx_2, ..., (x_n)^k + Δx_n)=0, \\ ... \\ f_n((x_1)^(k) +Δx_1, (x_2)^(k)+Δx_2, ..., (x_n)^k + Δx_n)=0, \end{matrix}\right. }[/math] Неизвестными в этой системе нашейных уравнений являются поправки [math]\displaystyle{ Δх_i }[/math]. Для определения Δх_i нужно решить эту систему. Но решить эту адачу так же сложно, как и исходную. Однако эту систему можно ленеаризовать, и, решив её, получить приближённые значения поправок Δx_i для нашего приближения, т.е. Δx_i. Эти поправки получают сразу получить точное решение (x_i)^*, но дают возможность приблизиться к решению, - получить новое приближение решения [math]\displaystyle{ ((x_i)^{k+1} = ((x_i)^k +(Δx_i)^k, i=1.n }[/math] Для линеаризации системы следует разложить функцию f_i в ряды Тейлора в окрестности (х_i)^k, ограничиваясь первыми дифференциалами. Полученная система имеет вид:

Все коэффициенты этого уравнения можно вычислить, используя последнее приближение решения х. Для решения системы линейных уравнений при n=2,3 можно использовать формулы Крамера, при большей размерности системы n - метод исключения Гаусса. Значения поправок используются для оценки достигнутой точности решения. Если максимальная по абсолютной величине поправка меньше заданной точности н, расчет завершается. Таким образом, условие окончания расчета:

Макроструктура алгоритма

Данный алгоритм использует два основных метода решения в каждой итерации, это нахождением матрицы Якоби и решение СЛАУ.