Прогонка, точечный вариант: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Frolov (обсуждение | вклад) |
Frolov (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
== Свойства и структура алгоритмов == | == Свойства и структура алгоритмов == | ||
=== Общее описание алгоритма === | === Общее описание алгоритма === | ||
| Строка 69: | Строка 67: | ||
Суть метода - в исключении из уравнений неизвестных, сначала - сверху вниз - под диагональю, а потом - снизу вверх - над диагональю. | Суть метода - в исключении из уравнений неизвестных, сначала - сверху вниз - под диагональю, а потом - снизу вверх - над диагональю. | ||
[[file:Progonka.png|thumb|right|200px|Граф алгоритма при n=8 без отображения входных и выходных данных. / - деление, f - операция a+bc или a-bc.]] | |||
=== Математическое описание === | === Математическое описание === | ||
Версия от 09:03, 16 июля 2015
| Прогонка для трёхдиагональной матрицы, точечный вариант | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | [math]\displaystyle{ 8n-7 }[/math] |
| Объём входных данных | [math]\displaystyle{ 4n-2 }[/math] |
| Объём выходных данных | [math]\displaystyle{ n }[/math] |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ O(n) }[/math] |
| Ширина ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ 2 }[/math] |
Основные авторы описания: А.В.Фролов
Свойства и структура алгоритмов
Общее описание алгоритма
Прогонка - один из вариантов метода исключения неизвестных в приложении к решению СЛАУ[1][2] вида [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где
- [math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix} }[/math]
Часто, однако, при изложении сути метода прогонки[3] элементы правой части и матрицы системы обозначают и нумеруют по-другому, например СЛАУ может иметь вид ([math]\displaystyle{ N=n+1 }[/math])
- [math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} c_{0} & -b_{0} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -a_{1} & c_{1} & -b_{1} & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & -a_{2} & c_{2} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & -a_{N-1} & c_{N-1} & -b_{N-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_{N} & c_{N} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{0} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{N} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{0} \\ f_{1} \\ \vdots \\ f_{N} \\ \end{bmatrix} }[/math]
или, если записывать отдельно по уравнениям, то
- [math]\displaystyle{ c_{0} y_{0} - b_{0} y_{1} = f_{0},\\ -a_{i} y_{i-1} + c_{i} y_{i} - b_{i} y_{i+1} = f_{i}, 1 \le i \le N-1, \\ -a_{N} y_{N-1} + c_{N} y_{N} = f_{N} }[/math]
Суть метода - в исключении из уравнений неизвестных, сначала - сверху вниз - под диагональю, а потом - снизу вверх - над диагональю.
Математическое описание
В приведённых обозначениях в прогонке сначала выполняют её прямой ход - вычисляют коэффициенты
- [math]\displaystyle{ \alpha_{1} = b_{0}/c_{0},\\ \beta_{1} = f_{0}/c_{0}, \\ \alpha_{i+1} = b_{i}/(c_{i}-a_{i}\alpha_{i}), \quad i = 1, 2, \cdots , N-1, \\ \beta_{i+1} = (f_{i}+a_{i}\beta_{i}/(c_{i}-a_{i}\alpha_{i}), \quad i = 1, 2, \cdots , N. }[/math]
после чего вычисляют решение с помощью обратного хода
- [math]\displaystyle{ y_{N} = \beta_{N+1}, \\ y_{i} = \alpha_{i+1} y_{i+1} + \beta_{i+1}, \quad i = N-1, N-2, \cdots , 1, 0. }[/math]
В литературе[3] указывается, что данные формулы эквиваленты вычислению одного из [math]\displaystyle{ LU }[/math]-разложений матрицы системы с последующим решением двухдиагональных систем методом обратной подстановки.
Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительное ядро алгоритма можно представить из двух частей - прямого и обратного хода. В прямом ходе ядро составляют последовательности операций деления, умножения и сложения/вычитания. В обратном ходе в ядре остаются только последовательности умножения и сложения.
Макроструктура алгоритма
Кроме представления макроструктуры алгоритма как совокупности прямого и обратного хода, прямой ход также может быть разложен на две макроединицы - разложения матрицы и прямого хода решения двухдиагональной СЛАУ, которые выполняются "одновременно", т.е., параллельно друг другу. При этом решение двухдиагональной СЛАУ использует результаты разложения.
Описание схемы реализации последовательного алгоритма
1. Инициализируется прямой ход прогонки:
- [math]\displaystyle{ \alpha_{1} = b_{0}/c_{0},\\ \beta_{1} = f_{0}/c_{0}, \\ }[/math]
2. Последовательно для всех i от 1 до N-1 выполняются формулы прямого хода:
- [math]\displaystyle{ \alpha_{i+1} = b_{i}/(c_{i}-a_{i}\alpha_{i}), \\ \beta_{i+1} = (f_{i}+a_{i}\beta_{i}/(c_{i}-a_{i}\alpha_{i}). }[/math]
3. Инициализируется обратный ход прогонки:
- [math]\displaystyle{ y_{N} = (f_{N}+a_{N}\beta_{N}/(c_{N}-a_{N}\alpha_{N}) }[/math]
4. Последовательно для всех i с убыванием от N-1 до 0 выполняются формулы обратного хода:
- [math]\displaystyle{ y_{i} = \alpha_{i+1} y_{i+1} + \beta_{i+1}. }[/math]
Последовательная сложность алгоритма
Для выполнения прогонки в трёхдиагональной СЛАУ из n уравнений с n неизвестными в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:
- [math]\displaystyle{ 2n-1 }[/math] делений,
- [math]\displaystyle{ 3n-3 }[/math] сложений/вычитаний,
- [math]\displaystyle{ 3n-3 }[/math] умножений.
При классификации по последовательной сложности, таким образом, прогонка относится к алгоритмам с линейной сложностью.