Поиск в ширину (BFS)

Алгоритм DCSC поиска компонент сильной связности
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(n + m) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ O(m + n) }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ O(n) }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ N/A, \max O(V) }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ N/A, \max O(E) }[/math]

Основные авторы описания: И.В.Афанасьев

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Поиск в ширину (англ. Breadth-First Search, BFS) позволяет вычислить кратчайшие расстояния (в терминах количества рёбер) от выделенной вершины ориентированного графа до всех остальных вершин, и/или построить корневое направленное дерево, расстояния в котором совпадают с расстояниями в исходном графе. Кроме того, поиск в ширину позволяет решать задачу проверки достижимости (существуют ли пути между вершиной источником и остальными вершинами графа). Впервые алгоритм поиска в ширину описан в работах Мура и Ли.

Алгоритм основан на обходе вершин графа "по слоям". На каждом шаге есть множество "передовых" вершин, для смежных к которым производится проверка, относятся ли они к еще не посещенным. Все еще не посещенные вершины добавляются в новое множество "передовых" вершин, обрабатываемых на следующем шаге. Изначально в множество "передовых" вершин входит только вершина-источник, от которой и начинается обход.

В последовательном случае алгоритм имеет алгоритмическую сложность [math]\displaystyle{ O(n + m) }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] - число вершин в графе, [math]\displaystyle{ m }[/math] - число ребер в графе.

Математическое описание алгоритма

Пусть задан граф [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math] без весов, и с выделенной вершиной-источником [math]\displaystyle{ u }[/math]. Путем [math]\displaystyle{ P(u,v) }[/math] между вершинами [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math] называется множество ребер [math]\displaystyle{ (u, v_1), (v_1, v_2), ... (v_{n-1}, v) }[/math]. Длиной пути [math]\displaystyle{ d(u,v) }[/math] обозначим число ребер в данном пути между вершинами [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math]. Поиск в ширину находит кратчайшие пути [math]\displaystyle{ d(u,v) }[/math] от вершины [math]\displaystyle{ u }[/math] до всех остальных вершин графа описанным далее образом.

В начале работы алгоритма расстояние до вершины-источника [math]\displaystyle{ d(u)=0 }[/math], до остальных вершин [math]\displaystyle{ d(v) = \infty, \forall v \neq u }[/math]. Так же в начале работы алгоритм инициализируются множество [math]\displaystyle{ F = \{u\} }[/math].

Далее на каждом шаге алгоритм строится множество вершин [math]\displaystyle{ P = {w} }[/math], таких, что для [math]\displaystyle{ \forall v \in F \exists (v, w) \in E | d(w) = \infty }[/math], при том обновляются расстояния [math]\displaystyle{ d(w)=d(v)+1 }[/math] для [math]\displaystyle{ \forall w \in P }[/math]. Затем производится переход на следующий шаг до тех пор, пока [math]\displaystyle{ P \neq \emptyset }[/math], при том в начале каждого шага множество F заменяется на P.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма является обход вершин, смежной к выбранной вершине [math]\displaystyle{ v }[/math] с последующем добавлением еще не посещенных вершин в множество [math]\displaystyle{ P }[/math]. Данная операция выполняться на каждом шаге для каждой вершины [math]\displaystyle{ v \in F }[/math].

Макроструктура алгоритма

Алгоритм последовательно уточняет значения функции [math]\displaystyle{ d(v) }[/math].

Структуру можно описать следующим образом:

1. Инициализация: всем вершинам присваивается предполагаемое расстояние [math]\displaystyle{ d(v)=\infty }[/math], кроме вершины-источника, для которой [math]\displaystyle{ d(u)=0 }[/math] .

2. Помещение вершины источника [math]\displaystyle{ v }[/math] в множество "передовых" вершин [math]\displaystyle{ F }[/math].

3. Обход вершин множества [math]\displaystyle{ F }[/math].

а) Инициализация множества [math]\displaystyle{ P=\emptyset }[/math].

б) Для каждой вершины [math]\displaystyle{ v \in F }[/math] обход всех вершин [math]\displaystyle{ w | \exists (v, w) }[/math] (смежных с ней), c помещением в множество [math]\displaystyle{ P }[/math] таких вершин [math]\displaystyle{ w | d(w)=\infty }[/math].

в) Замена множества [math]\displaystyle{ F }[/math] на [math]\displaystyle{ P }[/math] и переход на шаг 3 в случае, если множество [math]\displaystyle{ F \neq \emptyset }[/math].

Схема реализации последовательного алгоритма

Простейшая версия алгоритма поиск в ширину может быть реализована при помощи очередей на языке C++ следующим образом. Код приведен в предположении, что граф хранится в формате сжатого списка смежности: для каждой вершины в массиве vertices_to_edges_ptrs хранятся индекс начала и индекс конца списка смежных с ней вершин из массива dst_ids.

// init distances
for(int i = 0; i < vertices_count; i++)
    _result[i] = MAX_INT;
    
// init queue and first vertex
std::queue<int> vertex_queue;
vertex_queue.push(_source_vertex);
_result[_source_vertex] = 1;
    
// do bfs
while(vertex_queue.size() > 0)
{
    int cur_vertex = vertex_queue.front();
    vertex_queue.pop();
        
    long long first = vertices_to_edges_ptrs[cur_vertex];
    long long last = vertices_to_edges_ptrs[cur_vertex + 1];
    for(long long i = first; i < last; i++)
    {
        int dst_id = dst_ids[i];
        if(_result[dst_id] == MAX_INT)
        {
            _result[dst_id] = _result[src_id] + 1;
            vertex_queue.push(dst_id);
        }
    }
}

Последовательная сложность алгоритма

Алгоритм имеет последовательную сложность [math]\displaystyle{ O(m + n) }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ m }[/math] - число вершин и ребер графа соответственно: алгоритм инициализирует начальный массив расстояний - [math]\displaystyle{ O(n) }[/math] операций, а затем обходит каждую вершину один единственный раз - [math]\displaystyle{ O(m) }[/math] операций.

Информационный граф

Информационный граф

Программная реализация алгоритма

Существующие реализации алгоритма

• Распределённый алгоритм поиска вширь является вычислительным ядром бенчмарка Graph500.
• C++: Boost Graph Library (функции breadth_first_search, breadth_first_visit).
• C++, MPI: Parallel Boost Graph Library (функция breadth_first_search).
• Java: WebGraph (класс ParallelBreadthFirstVisit), многопоточная реализация.
• Python: NetworkX (функция bfs_edges).
• Python/C++: NetworKit (класс networkit.graph.BFS).