Участник:Bormas

Задача

Пусть [math]\displaystyle{ X_1, X_2,...X_n }[/math] - независимые одинаково распределенные случайные величины с общей функцией распределения [math]\displaystyle{ F(x) }[/math], для которой при [math]\displaystyle{ x \to +\infty }[/math] имеет место следующее представление:[math]\displaystyle{ F(x)=1-C(lnx)^{\beta-1}x^{-\alpha} }[/math], где [math]\displaystyle{ C \gt 0 , \alpha \gt 0, \forall \beta }[/math].

Методом статистического анализа показать, что [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}F(X_n^{(n)}) = \exp{x^{-\alpha}}, x \gt 0 }[/math] и найти коэффициенты [math]\displaystyle{ a_n \gt 0 }[/math].

Построить гистограмму статистики [math]\displaystyle{ T_n = \frac{X_n^{(n)}}{a_n} }[/math] для функции [math]\displaystyle{ F(x) = 1 - \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x+1)\sqrt{\ln{(x+1)}}}, x \gt 1 }[/math] и сравнить её с функцией предельного распределения.

Решение

Рассмотрим [math]\displaystyle{ \frac{\overline{F}(tx)}{F(x)} = \frac{C(\ln{tx})^{\beta-1}(tx)^{-\alpha} }{C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}} \to t^{-\alpha} }[/math] при [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ F(x) \in MDA(\Phi_\alpha) }[/math], то есть принадлежит классу предельных распределений Фреше

Теперь найдем [math]\displaystyle{ a_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \overline{F}(x) \sim C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha} }[/math] при [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{F}(a_n) \sim \frac{1}{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{[C(lna_n)^{\beta-1}a_n^{-\alpha}]} = \ln{\frac{1}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{C} + (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \alpha \ln{a_n} = -\ln{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha \ln{a_n} - (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \ln{C} = \ln{n} }[/math]

Будем искать [math]\displaystyle{ \ln{a_n} }[/math] в виде: [math]\displaystyle{ \ln{a_n} = \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n}) }[/math], где [math]\displaystyle{ \ln{r_n} = \overline{O}(\ln{n}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{C} + (\beta-1)\ln{[\frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})]} - \ln{n} - \ln{r_n} = -\ln{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{r_n} \simeq \ln{C} - (\beta - 1)\ln{\alpha} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} = \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})} }[/math] - подставляем это в [math]\displaystyle{ \ln{a_n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{a_n} \sim \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})}) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n = (\frac{Cn(\ln{n})^{\beta-1}}{\alpha^{\beta - 1}})^{\frac{1}{\alpha}} }[/math]

В частном случае (из функции распределения):

[math]\displaystyle{ C = 2\sqrt{\ln{2}}; \alpha = 1; \beta = \frac{1}{2} }[/math] - находятся путём подставления в [math]\displaystyle{ \overline{F}(a_nx) = \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x + 1)\sqrt{\ln{(x + 1)}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n = \frac{2\sqrt{\ln{2}}n}{\sqrt{\ln{n}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ P(X_n^{(n)} \lt xa_n) \to \begin{cases} e^{-\frac{1}{\alpha}} &, x \gt 0 \\ 0 &, x \le 0 \end{cases} \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ P(\frac{X_n^{(n)}}{a_n} \lt x) \to \begin{cases} e^{-\frac{1}{\alpha}} &, x \gt 0 \\ 0 &, x \le 0 \end{cases} }[/math]