Участник:Сорокин Александр/Метод сопряженных градиентов (Решение СЛАУ): различия между версиями
| Строка 7: | Строка 7: | ||
Выберем произвольное начальное приближение <math> x^{(0)} </math> и перейдем к редуцированной системе <math> Au = r^{(0)} </math>, где <math> r^{(0)} = b - Ax^{(0)} </math>, <math>x = x^{(0)} + u </math>. <br> | Выберем произвольное начальное приближение <math> x^{(0)} </math> и перейдем к редуцированной системе <math> Au = r^{(0)} </math>, где <math> r^{(0)} = b - Ax^{(0)} </math>, <math>x = x^{(0)} + u </math>. <br> | ||
Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова <math> K_i(r^{(0)}, A) </math> A-норму ошибки <math> e = x - z </math>, где <math> z </math> — точное решение системы. Таким образом, <math> x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} </math>, где <math> y^{(i)} = \underset{y\in K_i(r^{(0)}, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(i)} - z ||_A = \underset{y\in K_i(r^{(0)}, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y - z ||_A </math>. <br> | Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова <math> K_i(r^{(0)}, A) </math> A-норму ошибки <math> e = x - z </math>, где <math> z </math> — точное решение системы. Таким образом, <math> x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} </math>, где <math> y^{(i)} = \underset{y\in K_i(r^{(0)}, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(i)} - z ||_A = \underset{y\in K_i(r^{(0)}, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y - z ||_A </math>. <br> | ||
По теореме Пифагора: <math> (z - x^{(i)}, y) = 0 </math> для любого <math> y \in K_i(r^{(0)}, A) </math> | По теореме Пифагора: <math> (z - x^{(i)}, y)_A = 0 </math> для любого <math> y \in K_i(r^{(0)}, A) </math> \leftrightarrow r^{(i)} = b - Ax^{(i)} \perp K_i(r^{(0)}, A). | ||
=== Вычислительное ядро алгоритма === | === Вычислительное ядро алгоритма === | ||
Версия от 20:39, 21 октября 2017
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Метод сопряженных градиентов представляет собой итерационный метод для численного решения системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей, является итерационным методом Крыловского типа. Основная идея метода заключается в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова А-норму ошибки.
Математическое описание алгоритма
Рассмотрим систему уравнений [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где [math]\displaystyle{ A^* = A \gt 0 }[/math].
Выберем произвольное начальное приближение [math]\displaystyle{ x^{(0)} }[/math] и перейдем к редуцированной системе [math]\displaystyle{ Au = r^{(0)} }[/math], где [math]\displaystyle{ r^{(0)} = b - Ax^{(0)} }[/math], [math]\displaystyle{ x = x^{(0)} + u }[/math].
Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова [math]\displaystyle{ K_i(r^{(0)}, A) }[/math] A-норму ошибки [math]\displaystyle{ e = x - z }[/math], где [math]\displaystyle{ z }[/math] — точное решение системы. Таким образом, [math]\displaystyle{ x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} }[/math], где [math]\displaystyle{ y^{(i)} = \underset{y\in K_i(r^{(0)}, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(i)} - z ||_A = \underset{y\in K_i(r^{(0)}, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y - z ||_A }[/math].
По теореме Пифагора: [math]\displaystyle{ (z - x^{(i)}, y)_A = 0 }[/math] для любого [math]\displaystyle{ y \in K_i(r^{(0)}, A) }[/math] \leftrightarrow r^{(i)} = b - Ax^{(i)} \perp K_i(r^{(0)}, A).