Участник:Lonalone/Генерация гауссовского вектора методом линейных преобразований

Автор описания: Меньших И. М.

---

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

В статье приведен алгоритм генерации n-мерного гауссовского случайного вектора с помощью метода линейных преобразований. Этот метод является одним из наиболее распространенных так называемых корреляционных методов, применяемых в случаях, когда при моделировании непрерывного n-мерного случайного вектора достаточно обеспечить лишь требуемые значения элементов корреляционной матрицы и вектора математических ожиданий компонент(для случая нормального распределения выполнение названного требования означает выполнение достаточного условия полного статистического соответствия теоретического и моделируемого распределений).

Идея алгоритма заключается в линейном преобразовании n-мерного случайного вектора [math]\displaystyle{ Y }[/math], компоненты которого независимы и одинаково распределены по нормальному закону со стандартными параметрами, в случайный вектор [math]\displaystyle{ X }[/math] с требуемыми корреляционной матрицей и вектором математических ожиданий.

Математическое описание алгоритма

Даны корреляционная матрица [math]\displaystyle{ Q }[/math], вектор математических ожиданий компонент вектора [math]\displaystyle{ X }[/math]:

[math]\displaystyle{ Q = \|q_{ij}\| = \| M[(X_{i} - m_{x_{i}})(X_{j} - m_{x_{j}})]\|, \\ M = (m_{x_{1}}, m_{x_{2}}, ..., m_{x_{n}})^T. }[/math]

Требуется найти такую матрицу [math]\displaystyle{ B }[/math], которая позволяла бы получить вектор [math]\displaystyle{ X }[/math] с требуемыми характеристиками в результате линейного преобразования [math]\displaystyle{ X = BY + M }[/math], где [math]\displaystyle{ Y }[/math] — n-мерный случайный вектор с независимыми нормально распределенными компонентами со стандартными параметрами. Эти компоненты можно получить с помощью приближения по ЦПТ (метод композиции) случайными величинами, распределенными по равномерному закону на [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].

Будем искать матрицу [math]\displaystyle{ B }[/math] в виде нижней треугольной матрицы. Перейдем от матричной записи к системе алгебраических уравнений:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \vdots \\ X_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & 0 & \cdots & 0 \\b_{21} & b_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ \vdots \\ Y_{n} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} m_{x_{1}} \\ m_{x_{2}} \\ \vdots \\ m_{x_{n}} \end{pmatrix} \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases}X_{1} - m_{x_{1}} = b_{11}Y_{1} \\X_{2} - m_{x_{2}} = b_{21}Y_{1} + b_{22}Y_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\X_{n} - m_{x_{n}} = b_{n1}Y_{1} + b_{n2}Y_{2} + \cdots + b_{nn}Y_{n} \end{cases} }[/math]

Поскольку компоненты вектора [math]\displaystyle{ Y }[/math] независимы и имеют стандартные параметры, справедливо выражение:

[math]\displaystyle{ M[Y_{i}Y_{j}] = \left\{\begin{matrix} 1, &i = j, \\ 0, &i \not= j, \end{matrix}\right . }[/math]

Почленно перемножив сами на себя и между собой соответственно левые и правые части уравнений системы и взяв от результатов перемножения математическое ожидание, получим систему уравнений вида:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} M[(X_{1} - m_{x_{1}})(X_{1} - m_{x_{1}})] = M[b_{11}Y_{1}b_{11}Y_{1}], \\M[(X_{1} - m_{x_{1}})(X_{2} - m_{x_{2}})] = M[(b_{21}Y_{1} + b_{22}Y_{2})b_{11}Y_{1}], \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{cases} }[/math]

Как легко увидеть, в левых частях полученной системы уравнений располагаются элементы заданной корреляционной матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math], а в правых — элементы искомой матрицы [math]\displaystyle{ B }[/math]. Последовательно решая эту систему, получаем формулы для расчета элементов [math]\displaystyle{ b_{ij} }[/math]:

[math]\displaystyle{ b_{11}=\sqrt{q_{11}}; b_{21}=\frac{q_{12}}{\sqrt{q_{11}}}; b_{22} = \sqrt{q_{22} - \frac{q_{12}}{q_{11}}}, \cdots }[/math]

Формула для расчета любого элемента матрицы преобразования [math]\displaystyle{ B }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ b_{ij} = \frac {q_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} b_{ij} b{jk}} {\sqrt{q_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} b^2{jk}}}, \quad 1 \leqslant j \leqslant i \leqslant n. }[/math]