Участник:Egor Luckjanow 403/Алгоритм Грамма-Шмидта

Автор: Егор Лукьянов, студент 403 группы ВМК МГУ

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Алгоритм Грама-Шмидта предназначен для построения QR-разложения матрицы.

Математическое описание алгоритма

В основе работы алгоритма лежит метод Грама-Шмидта для построения ортонормированного базиса на основе уже существующего:
[math]\displaystyle{ q_1 = \frac{a_1}{||a_1||} }[/math]
[math]\displaystyle{ p_2 = a_2 - (a_2, q_1)q_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ q_2 = \frac{p_2}{||p_2||} }[/math]
[math]\displaystyle{ p_3 = a_3 - (a_3, q_1)q_1 - (a_3, q_2)q_2 }[/math]
[math]\displaystyle{ q_3 = \frac{p_3}{||p_3||} }[/math]
[math]\displaystyle{ ... }[/math]
Мы применяем этот метод к столбцам исходной матрицы A и получаем разложение A = QR, где Q составлена из столбцов q_1,...,q_n, полученных в результате применения метода Грама-Шмидта, а R -- матрица коэффициентов, которая будет верхнетреугольной в силу вида метода.

Литература

1. Е. Е. Тыртышников, Методы численного анализа
2. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц
3. С. Ленг, Алгебра
4. Е. Е. Тыртышников, Основы алгебры