Участник:Kiseliov/Метод регуляризации Тихонова

Автор: Киселёв Е. И.

ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Метод регуляризации Тихонова заключается в следующем:

Нам дано некоторое искажённое изображение (в нашем случае мы рассматриваем статические аберрации). Фактически, некоторое изображение искажается при помощи свёртки с так называемым ядром. То есть, мы имеем уравнение Фредгольма первого рода типа свертки вида:

[math]\displaystyle{ K \circledast z =\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}K(x_1-s_1,x_2-s_2 )z(s_1,s_2 )ds_1\,ds_2 = u(x_1,x_2 ), -\infty\lt x_1,x_2\lt \infty }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ K(x_1,x_2 )∈L_2 (\mathbb{R}^2) }[/math] – аппаратная функция прибора (ядро), [math]\displaystyle{ u(x_1,x_2 )∈L_2 (\mathbb{R}^2) }[/math] – искаженное изображение, а [math]\displaystyle{ z(x_1,x_2 ) }[/math] – искомое реконструируемое изображение.

Наша задача - восстановить исходное изображение, зная параметры ядра. Метод регуляризации Тихонова говорит о том, что решение имеет вид:

[math]\displaystyle{ z(x_1 ,x_2 ) = \frac{1}{4\pi^2}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\bar K (-\omega_1,-\omega_2)\bar u (\omega_1,\omega_2)}{|\bar K (\omega_1,\omega_2 )|^2+\alpha M(\omega_1,\omega_2)}e^{i(\omega_1x_1 + \omega_2x_2)}d\omega_1\,d\omega_2 }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \bar K (x_1,x_2 ) }[/math] – спектр ядра, [math]\displaystyle{ \bar u (x_1,x_2 ) }[/math] – спектр искаженного изображения, а [math]\displaystyle{ M(\omega_1,\omega_2) }[/math] – заданная четная функция, обладающая следующими свойствами:

1. [math]\displaystyle{ M(\omega_1,\omega_2) }[/math] кусочно-непрерывна в любой конечной области
2. [math]\displaystyle{ M(\omega_1,\omega_2) }[/math] неотрицательна: [math]\displaystyle{ M(0,0)\ge0 }[/math] и [math]\displaystyle{ M(\omega_1,\omega_2)\gt 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ \omega_1,\omega_2\neq0 }[/math]
3. для достаточно больших [math]\displaystyle{ |\omega_1|,|\omega_2| \Rightarrow M(\omega_1,\omega_2)\ge C\gt 0 }[/math]
4. для [math]\displaystyle{ \forall \alpha \gt 0 \Rightarrow \frac{\bar K (-\omega_1,-\omega_2)}{|\bar K (\omega_1,\omega_2 )|^2+\alpha M(\omega_1,\omega_2)}∈L_2 (\mathbb{R}^2) }[/math]

Математическое описание алгоритма

Пусть нам даны спектры искажённого изображения [math]\displaystyle{ \bar u_{ij} }[/math] и ядра [math]\displaystyle{ \bar K_{ij} }[/math] - это квадратные матрицы, состоящие из комплексных чисел, размера [math]\displaystyle{ N\times N }[/math]. Тогда спектр исходного изображения в позиции [math]\displaystyle{ (i, j) }[/math] находится по формуле:

[math]\displaystyle{ \bar z_{ij} =\frac{(\bar K_{ij})^*\bar u_{ij} (\vartriangle x)^2}{\bigl|\bar K_{ij}\bigl|^2(\vartriangle x)^4+\alpha \bigl(\bigl(\frac{\pi}{2R}\bigl)^2(i^2+j^2)\bigl)^r} }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \vartriangle x=\frac{4R}{N} }[/math], где R - один из параметров ядра (известная, наперёд заданная величина).[math]\displaystyle{ (\bar K_{ij})^* }[/math] - сопряжение спектра ядра. [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ r }[/math] - параметры метода.

В реализации будем считать [math]\displaystyle{ \alpha = 0.5 }[/math] и [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] (наиболее подходящие параметры в нашем случае).

Вычислительное ядро алгоритма

В данном методе вычислительным ядром являются вычисления по формуле из пункта 1.2 в позиции [math]\displaystyle{ (i, j) }[/math], поскольку формула применяется к позиции [math]\displaystyle{ (i, j) }[/math] независимо от других точек.

Вычислительная сложность формулы - 3 умножения в числителе, 9 умножений, 2 сложения в знаменателе и одно общее деление (возведение в степень не считаем, так как положили [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math]). Итого, 15 операций. Формулы применяется независимо в каждой точке [math]\displaystyle{ (i, j) }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] вычислительная сложность ядра алгоритма - 15 операций.

Макроструктура алгоритма

Макроструктура алгоритма представляет собой проход по всем точкам [math]\displaystyle{ }[/math](i, j)[math]\displaystyle{ }[/math] и вычисление [math]\displaystyle{ }[/math](i, j)[math]\displaystyle{ }[/math] позиции результирующей матрицы по формуле, указанной в пункте 1.2.

Схема реализации последовательного алгоритма

Реализация указанного алгоритма на псевдокоде в стиле C:

tikhonov_regularization(N, *image, *kernel, R, alpha, r, *restored)
{
    // ДельтаX в формуле (логично посчитать эти значения единожды)
    delta_x = (4 * R) / N;
    delta_x_pow2 = delta_x * delta_x;
    delta_x_pow4 = delta_x_pow2 * delta_x_pow2;

    // Это выражение - константа, и его логично посчитать заранее. CONSTANT_PI - число пи
    constant = (CONSTANT_PI / (2 * R)) * (CONSTANT_PI / (2 * R));

    // Цикл по позициям (i, j)
    for (i = 0; i < N; i++)
        for (j = 0; j < N; j++)
        {
            // Предполагается, что матрицы хранятся в виде 1D массива, поэтому нужно вычислить правильный индекс
            index = i * N + j;

            // Мы сдвигаем центр системы координат в центр изображения
            m = i - N / 2;
            n = N / 2 - j;
            
            // Вычисление формулы. Предполагается, что pow возводит число в степень, conj возвращает сопряжённое комплексное число,
            // .real() и .imag() - получение действительной или мнимой частей комплексного числа соответственно.
            upper_part = conj(kernel[index]) * image[index] * delta_x_pow2;
            kernel_squared_module = kernel[index].real() * kernel[index].real() + kernel[index].imag() * kernel[index].imag();
            down_part1 = kernel_squared_module * delta_x_pow4;
            m_pow2 = m * m;
            n_pow2 = n * n;
            down_part2 = alpha * pow(constant * (m_pow2 + n_pow2), r);
            down_part = down_part1 + down_part2;
            restored[index] = upper_part / down_part;
        }
}

Последовательная сложность алгоритма

В пункте 1.3 мы получили, что число операций, необходимых для вычисления формулы, равно [math]\displaystyle{ 15 }[/math]. Всего формула будет применена [math]\displaystyle{ N^2 }[/math] раз. Итого, в последовательном варианте сложность составит [math]\displaystyle{ 15 * N^2 }[/math] операций.

Информационный граф

Рисунок 1. Информационный граф метода регуляризации Тихонова. Вершины означают применение формулы из пункта 2 к [math]\displaystyle{ (i, j) }[/math] позиции входа для получения [math]\displaystyle{ (i, j) }[/math] позиции выхода. Рёбра в графе отсутствуют в связи с отсутствием связей по данным.

Ресурс параллелизма алгоритма

Поскольку в каждой позиции [math]\displaystyle{ (i, j) }[/math] вычисления производятся независимо, то ресурс параллелизма будет равен размеру матриц, то есть [math]\displaystyle{ N^2 }[/math].

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: Две матрицы размера [math]\displaystyle{ N\times N }[/math] - спектр искажённого изображения и спектр ядра свёртки. Обычно дано искажённое изображение (от которого берётся преобразование Фурье). Мы считаем параметры ядра известными. Оно генерируется, и затем от него берётся преобразование Фурье (получается спектр).

Выходные данные: Матрица размера [math]\displaystyle{ N\times N }[/math] - спектр исходного изображения. Спектр можно преобразовать в изображение с помощью обратного преобразования Фурье.

Литература

• Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979.
• Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1990.
• Гудмен Дж. Введение в фурье‐оптику. – М.: Мир, 1970. 364 с.