Обратная подстановка (вещественный вариант): различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Frolov (обсуждение | вклад) |
Frolov (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
=== Словесное описание алгоритма === | === Словесное описание алгоритма === | ||
'''Обратный ход метода Гаусса''' - решение СЛАУ с правой треугольной матрицей <math>U</math>. Матрица <math>U</math> - одна из составляющих матрицы <math>A</math> и получается либо из <math>LU</math>-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, [[Метод Холецкого (квадратного корня), точечный вещественный вариант|разложение Холецкого]] и др.), либо из других разложений. В силу треугольности <math>U</math> решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами. | '''Обратный ход метода Гаусса''' - решение СЛАУ <math>Ux = y</math> с правой треугольной матрицей <math>U</math>. Матрица <math>U</math> - одна из составляющих матрицы <math>A</math> и получается либо из <math>LU</math>-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, [[Метод Холецкого (квадратного корня), точечный вещественный вариант|разложение Холецкого]] и др.), либо из других разложений. В силу треугольности <math>U</math> решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами. | ||
=== Математическое описание === | === Математическое описание === | ||
Исходные данные: правая треугольная матрица <math>U</math> (элементы <math>u_{ij}</math>), вектор правой части <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>). | |||
Вычисляемые данные: вектор решения <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>). | |||
Формулы метода: | |||
:<math> | |||
\begin{align} | |||
x_{n} & = \frac{y_{n}{u_{nn}} \\ | |||
l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ | |||
l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ | |||
l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
Версия от 06:56, 11 сентября 2014
Описание свойств и структуры алгоритма
Словесное описание алгоритма
Обратный ход метода Гаусса - решение СЛАУ [math]\displaystyle{ Ux = y }[/math] с правой треугольной матрицей [math]\displaystyle{ U }[/math]. Матрица [math]\displaystyle{ U }[/math] - одна из составляющих матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] и получается либо из [math]\displaystyle{ LU }[/math]-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, разложение Холецкого и др.), либо из других разложений. В силу треугольности [math]\displaystyle{ U }[/math] решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами.
Математическое описание
Исходные данные: правая треугольная матрица [math]\displaystyle{ U }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ u_{ij} }[/math]), вектор правой части [math]\displaystyle{ y }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ y_{i} }[/math]).
Вычисляемые данные: вектор решения [math]\displaystyle{ x }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ x_{i} }[/math]).
Формулы метода:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} x_{n} & = \frac{y_{n}{u_{nn}} \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} }[/math]