Участник:Ivanov.kir.m/Быстрое дискретное преобразование Фурье: различия между версиями
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
| pf_width = <math>n</math> | | pf_width = <math>n</math> | ||
| input_data = <math>n</math> действительных чисел | | input_data = <math>n</math> действительных чисел | ||
| output_data = <math>\lfloor | | output_data = <math>\lfloor n/2 \rfloor+1</math> комплексных чисел | ||
}} | }} | ||
'''Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT)''' — алгоритм быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем <math>O(N^{2})</math>, требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность <math>O(N\log(N))</math>. | '''Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT)''' — алгоритм быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем <math>O(N^{2})</math>, требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность <math>O(N\log(N))</math>. | ||
| Строка 14: | Строка 14: | ||
Одним из вариантов '''быстрого преобразования Фурье''' для вектора '''действительных чисел''' с размерностью равной степени двойки является '''алгоритм Кули-Тьюки'''. Отличительной особенностью данного алгоритма является то, что он обходится без использования специфических приемов, использующихся именно для степеней четверки, восьмерки и т.п. Однако благодаря тому, что на вход данному алгоритму подается вектор чисто вещественных чисел, выходной вектор удовлетворяет '''эрмитовой избыточности''' (''Hermitian redundancy'') , т.е. <math>out[i]</math> является сопряженным с <math>out[n-i]</math>. Это обстоятельство позволяет достичь роста скорости и снижения затрат памяти примерно в 2 раза по сравнению с комплексным аналогом алгоритма. | Одним из вариантов '''быстрого преобразования Фурье''' для вектора '''действительных чисел''' с размерностью равной степени двойки является '''алгоритм Кули-Тьюки'''. Отличительной особенностью данного алгоритма является то, что он обходится без использования специфических приемов, использующихся именно для степеней четверки, восьмерки и т.п. Однако благодаря тому, что на вход данному алгоритму подается вектор чисто вещественных чисел, выходной вектор удовлетворяет '''эрмитовой избыточности''' (''Hermitian redundancy'') , т.е. <math>out[i]</math> является сопряженным с <math>out[n-i]</math>. Это обстоятельство позволяет достичь роста скорости и снижения затрат памяти примерно в 2 раза по сравнению с комплексным аналогом алгоритма. | ||
== Математическое описание алгоритма == | === Математическое описание алгоритма === | ||
Входные данные: вектор действительных чисел <math>a = (a_1,a_2,...,a_n)</math>. | |||
Выходные данные: вектор комплексных чисел <math>b = (b_1,b_2,...,b_(\lfloor n/2 \rfloor+1))</math>. | |||
'''''Замечание:''''' поскольку '''алгоритм Кули-Тьюки''' применим только к векторам '''размерности степени двойки''', вектора иной размерности необходимо '''дополнять''' до ближайшей степени двойки. Данный факт делает '''алгоритм Кули-Тьюки''' не самым эффективным алгоритмом БПФ, поскольку необходимость дополнения до степени двойки может сильно усложнить задачу. | |||
==== Рекурсивное описание ==== | |||
== | Алгоритм: | ||
1. Входной вектор a = (a_1,a_2,...,a_n) дополняется элементами до ближайшей степени двойки | |||
Вектор записывается по строкам по 2 элемента в каждой. После этого над каждой строкой выполняется преобразование Фурье порядка 2, | |||
== | получившиеся элементы умножаются на поворотные множители <math>exp (2 \pi i(m-1)(j-1)/n)</math> (<math>m</math> - номер строки, <math>j</math> - номер столбца), после чего выполняется БПФ порядка <math>n/2</math> над каждым из столбцов. | ||
Поскольку для 1-го столбца поворотные множители равны 1, то реально умножение на них не выполняется, а умножения на поворотные множители элементов второго столбца соединяются с преобразованием Фурье порядка 2. Эта комбинация, называемая "бабочкой" в среде специалистов по БПФ, и является основной операцией в простом алгоритме Кули-Тьюки. "Бабочка" состоит из вычисления суммы двух комплексных чисел, а также из вычисления их разности с последующим умножением на комплексное число. Всего на каждом шаге выполняется <math>n/2</math> "бабочек", а шагов - <math>l-1</math>. Последний, | |||
<math>l</math>-й шаг вычисляет только суммы и разности. | |||
Версия от 11:26, 18 сентября 2016
| Алгоритм Кули-Тьюки одномерного преобразования Фурье для действительных чисел | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | [math]\displaystyle{ O (n log_{2} n) }[/math] |
| Объём входных данных | [math]\displaystyle{ n }[/math] действительных чисел |
| Объём выходных данных | [math]\displaystyle{ \lfloor n/2 \rfloor+1 }[/math] комплексных чисел |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ O (log_{2} n) }[/math] |
| Ширина ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ n }[/math] |
Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — алгоритм быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем [math]\displaystyle{ O(N^{2}) }[/math], требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность [math]\displaystyle{ O(N\log(N)) }[/math].
ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов
Общее описание алгоритма
Одним из вариантов быстрого преобразования Фурье для вектора действительных чисел с размерностью равной степени двойки является алгоритм Кули-Тьюки. Отличительной особенностью данного алгоритма является то, что он обходится без использования специфических приемов, использующихся именно для степеней четверки, восьмерки и т.п. Однако благодаря тому, что на вход данному алгоритму подается вектор чисто вещественных чисел, выходной вектор удовлетворяет эрмитовой избыточности (Hermitian redundancy) , т.е. [math]\displaystyle{ out[i] }[/math] является сопряженным с [math]\displaystyle{ out[n-i] }[/math]. Это обстоятельство позволяет достичь роста скорости и снижения затрат памяти примерно в 2 раза по сравнению с комплексным аналогом алгоритма.
Математическое описание алгоритма
Входные данные: вектор действительных чисел [math]\displaystyle{ a = (a_1,a_2,...,a_n) }[/math]. Выходные данные: вектор комплексных чисел [math]\displaystyle{ b = (b_1,b_2,...,b_(\lfloor n/2 \rfloor+1)) }[/math].
Замечание: поскольку алгоритм Кули-Тьюки применим только к векторам размерности степени двойки, вектора иной размерности необходимо дополнять до ближайшей степени двойки. Данный факт делает алгоритм Кули-Тьюки не самым эффективным алгоритмом БПФ, поскольку необходимость дополнения до степени двойки может сильно усложнить задачу.
Рекурсивное описание
Алгоритм: 1. Входной вектор a = (a_1,a_2,...,a_n) дополняется элементами до ближайшей степени двойки Вектор записывается по строкам по 2 элемента в каждой. После этого над каждой строкой выполняется преобразование Фурье порядка 2, получившиеся элементы умножаются на поворотные множители [math]\displaystyle{ exp (2 \pi i(m-1)(j-1)/n) }[/math] ([math]\displaystyle{ m }[/math] - номер строки, [math]\displaystyle{ j }[/math] - номер столбца), после чего выполняется БПФ порядка [math]\displaystyle{ n/2 }[/math] над каждым из столбцов. Поскольку для 1-го столбца поворотные множители равны 1, то реально умножение на них не выполняется, а умножения на поворотные множители элементов второго столбца соединяются с преобразованием Фурье порядка 2. Эта комбинация, называемая "бабочкой" в среде специалистов по БПФ, и является основной операцией в простом алгоритме Кули-Тьюки. "Бабочка" состоит из вычисления суммы двух комплексных чисел, а также из вычисления их разности с последующим умножением на комплексное число. Всего на каждом шаге выполняется [math]\displaystyle{ n/2 }[/math] "бабочек", а шагов - [math]\displaystyle{ l-1 }[/math]. Последний, [math]\displaystyle{ l }[/math]-й шаг вычисляет только суммы и разности.
ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма
Особенности реализации последовательного алгоритма
Локальность данных и вычислений
Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
Существующие реализации алгоритма
Литература
[1] Википедия [Электронный ресурс]. Тема: Быстрое преобразование Фурье – Электрон. дан. – URL Быстрое преобразование Фурье (дата обращения 17.09.2016)