Участник:Obirvalger/Метод рекурсивной координатной бисекции

Авторы: Гордеев Михаил, Колмаков Евгений.

Свойства и структура алгоритмов

Макроструктура алгоритма

Как записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего [math]\displaystyle{ k-1 }[/math]) сортировки(функция sort).

Последовательная сложность алгоритма

Обозначим через [math]\displaystyle{ D_k(n) }[/math] сложность алгоритма рекурсивной координатной бисекции для графа с [math]\displaystyle{ n }[/math] вершинами на [math]\displaystyle{ k }[/math] частей.

Введем [math]\displaystyle{ D(n) = D_k(n) }[/math] при [math]\displaystyle{ k = n }[/math]. Для [math]\displaystyle{ D(n) }[/math] верно следующее рекуррентное равенство:

[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} D(n) = S(n) + 2D(\frac{n}{2}) \\ D(1) = S(1) = 0 \\ \end{array} }[/math], где [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] это сложность алгоритма сортировки массива из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов.

Пусть [math]\displaystyle{ S(n) = O(n\log{n}) }[/math], например для сортировки слиянием, тогда по теореме о рекуррентном неравенстве [math]\displaystyle{ D(n) \lesssim n^{1+\varepsilon} }[/math].

Для [math]\displaystyle{ D(n) }[/math] есть точное значение: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i}) }[/math].

[math]\displaystyle{ D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i}) }[/math]. Если использовать сортировку со сложностью [math]\displaystyle{ S(n) = O(n\log{n}) }[/math], то [math]\displaystyle{ D_k(n) = O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{\frac{n}{2^i}}) = O(n\log(\prod\limits_{i=0}^{\log_2{k}}\frac{n}{2^i})) = O(n\log{\frac{n^{\log_2{k}}}{2^\frac{\log_2{k}(\log_2{k}+1))}{2}}}) = }[/math] [math]\displaystyle{ O(n(\log{n}\log{k} - \frac{\log^2_2{k}}{2})) = O(n\log{n}\log{k}) }[/math].

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: граф [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math], вложенный в [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^N }[/math], и число [math]\displaystyle{ k }[/math] частей (доменов), на которое нужно разбить граф. Таким образом, помимо матрицы смежности (или любого другого представления графа) для каждой вершины [math]\displaystyle{ v \in V }[/math] задан набор её координат [math]\displaystyle{ v = (v_1, \dots, v_N) \in \mathbb{R}^N }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ V }[/math] задаётся массивом [math]\displaystyle{ N }[/math]-мерных векторов или матрицей размера [math]\displaystyle{ |V| \times N }[/math].

Объём входных данных: [math]\displaystyle{ N|V| + |G| }[/math], где [math]\displaystyle{ |G| }[/math] - объём данных, представляющих граф [math]\displaystyle{ G }[/math], который в общем случае зависит от выбранного представления.

Выходные данные: [math]\displaystyle{ k }[/math] доменов графа [math]\displaystyle{ G }[/math], задающих его декомпозицию.

Объём выходных данных: [math]\displaystyle{ |V| }[/math] - для каждого домена достаточно хранить соответствующие вершинам из этого домена индексы строк в матрице, представляющей множество вершин.