Участник:Макарова Алёна/Итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений GMRES (обобщенный метод минимальных невязок)

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Метод минимальных невязок представляет собой итерационный метод для численного решения несимметричной системы линейных уравнений. Метод приближает решение вектором в подпространстве Крылова с минимальной невязкой. Чтобы найти этот вектор используется итерация Арнольди.

Впервые метод минимальных невязок был описан в книге Марчука и Кузнецова "Итерационные методы и квадратичные функционалы" и представлял собой геометрическую реализацию метода минимальных невязок.

Алгебраическая реализация метода минимальных невязок была предложена Саадом и Шульцем в 1986 году . С их подачи за методом закрепилась аббревиатура GMRES (обобщенный метод минимальных невязок).

Математическое описание алгоритма

Для решения системы [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math] с невырожденной матрицей [math]\displaystyle{ A }[/math], выбирается начальное приближение [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], затем решается редуцированная система [math]\displaystyle{ Au = r_0 }[/math], где [math]\displaystyle{ r_0 = b - Ax_0, x = x_0 + u }[/math]. Подпространства Крылова строятся для редуцированной системы (в предположении, что [math]\displaystyle{ r_0 \neq 0 }[/math]).

Пусть [math]\displaystyle{ x_i = x_0 + y }[/math], где [math]\displaystyle{ y \in \mathcal{K}_i }[/math]. Невязка имеет вид [math]\displaystyle{ r_i = r_0 - Ay }[/math], а её длина минимальна, в силу теоремы Пифагора, в том и только том случае, когда

[math]\displaystyle{ r_i \perp A\mathcal{K}_i }[/math].

Таким образом, для реализации [math]\displaystyle{ i }[/math]-го шага требуется опустить перпендикуляр из вектора [math]\displaystyle{ r_0 }[/math] на подпространство [math]\displaystyle{ A\mathcal{K}_i }[/math]. Проще всего это сделать, если в данном подпространстве уже найден ортогональный базис.

Геометрическая реализация

Геометрическая реализация метода минимальных невязок заключается в построении последовательности векторов [math]\displaystyle{ q_1, q_2,... }[/math] таким образом, что [math]\displaystyle{ q_1, q_2,.., q_i }[/math] дают базис в подпространстве Крылова [math]\displaystyle{ \mathcal{K}_i }[/math] и при этом вектора [math]\displaystyle{ p_1 = Aq_1, ..., p_i = Aq_i }[/math] образуют ортогональный базис в подпространстве [math]\displaystyle{ A\mathcal{K}_i }[/math]. Вектор [math]\displaystyle{ q_{i+1} \notin \mathcal{K}_i }[/math] должен обладать следующими свойствами:

[math]\displaystyle{ q_{i+1} \in \mathcal{K}_{i+1}, p_{i+1} = Aq_{i+1} \perp A\mathcal{K}_i }[/math].

Его можно получить с помощью процесса ортогонализации, применённого к вектору [math]\displaystyle{ p = Aq }[/math], где [math]\displaystyle{ q = Aq_i }[/math]. В геометрической реализации необходимо хранить две системы векторов: [math]\displaystyle{ q_1, ..., q_i }[/math] и [math]\displaystyle{ p_1, ..., p_i }[/math].

Алгебраическая реализация

Алгебраическая реализация метода минимальных невязок использует лишь одну систему векторов, образующих ортогональные базисы в подпространствах [math]\displaystyle{ \mathcal{K}_i }[/math].

[math]\displaystyle{ q_1 = r_0/||r_0||_2 }[/math]. Чтобы получить ортонормированный базис [math]\displaystyle{ q_1, ..., q_{i+1} }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathcal{K}_{i+1} = \mathcal{K}_{i+1}(r_0, A) }[/math], проводим ортогонализацию вектора [math]\displaystyle{ Aq_i }[/math] к векторам [math]\displaystyle{ q_1, ..., q_i }[/math]. Если [math]\displaystyle{ Q_i \equiv [q_1, ..., q_i] \in \mathbb{C}^{n*i} }[/math], то получим

[math]\displaystyle{ AQ_i = Q_{i+1}\hat{H_i}, \hat{H_i}= \begin{bmatrix} H_i \\ 0 ... 0 & h_{i+1 i} \end{bmatrix}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ H_i }[/math] - верхняя хессенбергова матрица порядка [math]\displaystyle{ i }[/math].

Далее рассмотрим [math]\displaystyle{ QR }[/math]-разложение прямоугольной матрицы [math]\displaystyle{ \hat{H_i} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \hat{H_i} = U_iR_i, R_i \in \mathbb{C}^{i*i} }[/math].

Тогда минимум невязки [math]\displaystyle{ ||r_0 - AQ_iy||_2 }[/math] по всем [math]\displaystyle{ y }[/math] будет достигаться в том случае, если [math]\displaystyle{ y = y_i }[/math] удовлетворяет уравнению

[math]\displaystyle{ R_iy_i = z_i \equiv ||r_0||_2U^*_ie_1, e_1 = \begin{bmatrix} 1 0 ... 0 \end{bmatrix}^T, }[/math].

Матрица [math]\displaystyle{ R_i }[/math] невырожденная, следовательно,

[math]\displaystyle{ x_i = x_0 + Q_iy_i = x_0 + Q_iR_i^{-1}z_i }[/math].

Вычислительное ядро алгоритма

Главные затраты [math]\displaystyle{ i }[/math]-ой итерации связаны с ортогонализацией.