Участник:ЕкатеринаКозырева/Алгоритм динамической иерархической кластеризации CHAMELEON

Алгоритм динамической иерархической кластеризации CHAMELEON
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(nm + n log n + m^2 log m) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ \frac{n (n - 1)}{2} }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ n }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]

Автор описания Е.А.Козырева

часть. Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Алгоритм CHAMELEON был предложен в 1999 году тремя учеными из университета Миннесоты – George Karypis, Eui-Hong (Sam) Han и Vipin Kumar[1].

Предназначен для решения задач кластеризации. Кластеризация (или кластерный анализ) — это задача разбиения множества объектов на группы, называемые кластерами. Внутри каждой группы должны оказаться «похожие» объекты, а объекты разных группы должны быть как можно более отличны.

CHAMELEON - это агломеративный иерархический алгоритм кластеризации, ключевой особенностью которого является то, что он учитывает и взаимную связность, и сходство при определении наиболее похожей пары подкластеров, основываясь на динамической модели. Это означает, что в процессе кластеризации два кластера объединяются, только если их относительная взаимная связность и относительное взаимное сходство являются высокими по отношению к внутренней взаимосвязанности кластеров и близости элементов внутри кластеров. Кроме того, Хамелеон использует подход для моделирования степени взаимосвязанности и близости между каждой парой кластеров, который учитывает внутренние характеристики самих кластеров. Таким образом, он может автоматически адаптироваться к внутренним характеристикам объединяемых кластеров.

CHAMELEON находит кластеры в наборе данных с помощью трехфазного алгоритма. На первой фазе происходит построение графа, путём добавления рёбер по принципу k ближайших соседей. На второй фазе CHAMELEON группирует полученные элементы в множество относительно небольших подкластеров. Во время третьей фазы применяется агломеративный иерархический алгоритм кластеризации, с помощью которого находятся естесственные кластеры путем многократного объединения подкластеров, полученных на прошлом этапе.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• Множество из n точек [math]\displaystyle{ V= {v_{ij}} }[/math] в метрическом пространстве, которое задано симметрической матрицей расстояний [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n\times n }[/math].
• [math]\displaystyle{ k }[/math] - количество ближайших соседей для вершин, [math]\displaystyle{ k \in N, k \leq n }[/math].
• [math]\displaystyle{ l }[/math] - наименьшее число вершин, которое может содержать наибольший подграф на 2-м этапе, [math]\displaystyle{ l \in N, l \leq n }[/math].

Обозначения:

• [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math] - граф, полученный путём соединения каждой точки с её [math]\displaystyle{ k }[/math] ближайшими соседями.

• [math]\displaystyle{ K= \{K_{i}\} }[/math] - разбиение множества V на набор попарно непересекающихся связных подмножеств, полученное в результате выполнения второй фазы алгоритма.

• [math]\displaystyle{ G_{2} = (K, E_{2}) }[/math] - взвешенный граф, вершинами которого являются получившиеся подграфы, а ребрами - количество ребер исходного графа, соединяющих соответствующие подграфы.

• [math]\displaystyle{ C = \{C_{i}\} }[/math] - итоговое разбиение множества вершин графа [math]\displaystyle{ G_{2} }[/math] на набор кластеров.

Вспомогательные понятия

• [math]\displaystyle{ EC_{(C_{i},C_{j})} }[/math] - абсолютная взаимная связность пары кластеров [math]\displaystyle{ C_{i}, C{j} }[/math]. Определяется как сумма весов ребер, соединяющих вершины, принадлежащие [math]\displaystyle{ C{i} }[/math] c вершинами из [math]\displaystyle{ C{j} }[/math]. Внутренняя связность [math]\displaystyle{ EC_{(C_{i},C_{i})} }[/math] вычисляется как сумма ребер, входящих в разделитель, разбивающий [math]\displaystyle{ C{i} }[/math] на два равных подграфа.

• [math]\displaystyle{ RI_{(C_{i},C_{j})} = \frac{|EC_{(C_{i},C_{j})}|}{(|EC_{C_{i}}|+|EC_{C_{j}}|)/2} }[/math] - относительная взаимная связность пары кластеров [math]\displaystyle{ C_{i}, C{j} }[/math]

• [math]\displaystyle{ S_{EC_{(C_{i},C_{j})}} }[/math] - абсолютное взаимное сходство пары кластеров [math]\displaystyle{ C_{i}, C{j} }[/math]. Подсчитывается как среднее сходство между соединенными вершинами, принадлежащими [math]\displaystyle{ C{i} }[/math] и [math]\displaystyle{ C{j} }[/math] соответственно. Соединения обусловлены разбиением общего графа, полученного на первом этапе алгоритма.

• [math]\displaystyle{ RC_{(C_{i},C_{j})}= \frac{S_{EC_{(C_{i},C_{j})}}}{\frac{|C_{i}|}{|C_{i}+C_{j}|}*S_{EC_{(C_{i})}}+\frac{|C_{i}|}{|C_{i}+C_{j}|}*S_{EC_{(C_{j})}}} }[/math] - относительное взаимное сходство пары кластеров [math]\displaystyle{ C_{i}, C{j} }[/math]. Определяется как абсолютное сходство между этой парой кластеров, нормализованное с учетом их внутреннего сходства.

Первый этап

На первом этапе, согласно графо-ориентированному подходу, происходит построение графа [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math] на матрице сходства объектов по принципу k ближайших соседей. Две вершины такого графа соединяет ребро, если объект, соответствующий любой из этих вершин попадает в число k наиболее близких объектов для объекта, соответствующего другой вершине из данной пары.

Второй этап

Алгоритм разделяет полученный граф на множество сравнительно малых подграфов [math]\displaystyle{ K= \{K_{i}\} }[/math]. Разделение происходит последовательно. На каждом шаге выбирается подграф, содержащий наибольшее число вершин. Этот граф разделяется на два подграфа так, что разделитель ребер графа минимален и каждый из получаемых подграфов содержит не менее 25 % вершин исходного графа. Процесс разделения останавливается, когда наибольший подграф содержит меньше некоторого заданного числа вершин. Обычно величина этого параметра задается равной значению от 1 до 5 % от числа объектов. Полученное множество связных графов считается множеством начальных кластеров, на котором требуется провести последовательное иерархическое объединение.

Третий этап

Третий этап заключается в итеративном преобразовании множества подграфов [math]\displaystyle{ K= \{K_{i}\} }[/math] в множество кластеров [math]\displaystyle{ C = \{C_{i}\} }[/math]. Алгоритм осуществляет агломеративную иерархическую кластеризацию на основании показателей [math]\displaystyle{ EC_{(C_{i},C_{j})} }[/math], [math]\displaystyle{ S_{EC_{(C_{i},C_{j})}} }[/math], [math]\displaystyle{ RI_{(C_{i},C_{j})} }[/math], [math]\displaystyle{ RC_{(C_{i},C_{j})} }[/math]. Существует две стратегии анализа показателей сходства. Первая подразумевает наличие некоторых пороговых значений [math]\displaystyle{ T_{RI} }[/math] и [math]\displaystyle{ T_{RC} }[/math]. В соответствии с этой стратегией, алгоритм для каждого кластера [math]\displaystyle{ C_{i} }[/math] проверяет, отвечают ли смежные (наиболее близкие) ему кластеры условиям:

• [math]\displaystyle{ RI_{(C_{i},C_{j})} \geqslant T_{RI} }[/math]

• [math]\displaystyle{ RC_{(C_{i},C_{j})} \geqslant T_{RC} }[/math]

Если более одного смежного кластера отвечает этим условиям, то алгоритм выбирает для объединения наиболее связный кластер (граф), то есть такой кластер [math]\displaystyle{ C_{j} }[/math], с которым у кластера [math]\displaystyle{ C_{i} }[/math] получается наибольшая абсолютная взаимная связность. По завершению прохода по всем кластерам, созданные таким образом пары объединяются. Параметры [math]\displaystyle{ T_{RI} }[/math] и [math]\displaystyle{ T_{RC} }[/math] могут использоваться для изменения характеристик получаемых кластеров.

Вторая стратегия заключается в использовании специальной функции, объединяющей понятия относительной взаимной связности и относительного взаимного сходства. На каждом шаге выбираются те кластеры для объединения, которые максимизируют эту функцию:

[math]\displaystyle{ RI_{(C_{i},C_{j})}*RC_{(C_{i},C_{j})}^\alpha }[/math],

где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] выбирается пользователем. Если [math]\displaystyle{ \alpha \gt 1 }[/math], то алгоритм придает большее значение относительному взаимному сходству, а если [math]\displaystyle{ \alpha \lt 1 }[/math], то большее значение имеет относительная взаимная связность.

Вычисляемые данные:

[math]\displaystyle{ U = (u_1, u_2, ..., u_n) }[/math] - n-мерный вектор, где [math]\displaystyle{ u_i \in N_{[C]} }[/math] - порядковый номер кластера, к которому принадлежит вершина i исходного множества V.

Вычислительное ядро алгоритма

Алгоритм имеет три вычислительных ядра, по одному на каждый этап.

На первом этапе вычислительным ядром является процесс нахождения [math]\displaystyle{ k }[/math] ближайших соседей для каждой вершины, который заключается в анализе матрицы расстояний.

На втором этапе вычислительным ядром является процесс поиска подходящего разбиения очередного подграфа на два графа с минимизацией разделителя ребер графа.

На третьем этапе вычислительным ядром является расчет величин [math]\displaystyle{ EC_{(C_{i},C_{j})} }[/math], [math]\displaystyle{ S_{EC_{(C_{i},C_{j})}} }[/math], [math]\displaystyle{ RI_{(C_{i},C_{j})} }[/math], [math]\displaystyle{ RC_{(C_{i},C_{j})} }[/math] для каждой пары смежных кластеров.

Макроструктура алгоритма

Как уже рассказывалось ранее, алгоритм включает в себя три основных этапа, каждый из которых, по сути, является отдельным алгоритмом. Этапы выполняются последовательно относительно друг друга.

Макрооперация на первом этапе - процедура нахождения [math]\displaystyle{ k }[/math] ближайших соседей, на втором - процедура разбиения наибольшего подграфа на два графа, на третьем - процедура вычисления показателей сходства, на основе которых принимается решение о слиянии подграфов в кластер.

Последовательная сложность алгоритма

1) Для построения графа на основе метода k ближайших соседей для n вершин требуется [math]\displaystyle{ O(n log(n)) }[/math] операций [3]; для наборов данных большой размерности эта величина составляет [math]\displaystyle{ O(n^2) }[/math] операций [4];

2) Для выделения множества сравнительно малых связных подграфов требуется [math]\displaystyle{ nm }[/math] операций, где [math]\displaystyle{ m }[/math] - количество подграфов, полученных на втором этапе алгоритма;

3) Формирование набора кластеров, на основе множества подграфов, полученных на предыдущем этапе, требует [math]\displaystyle{ m^2log(m) }[/math] операций.

Итого, для n вершин получаем последовательную сложность [math]\displaystyle{ O(n log(n)+nm+m^2log(m)) }[/math].

Ресурс параллелизма алгоритма

Первый этап работы алгоритма можно распределить между [math]\displaystyle{ n }[/math] процессами. На вход каждому процессу подается своя вершина, далее происходит процедура поиска [math]\displaystyle{ k }[/math] ближайших соседей. Параллельная сложность составляет [math]\displaystyle{ O(n) }[/math].

Второй и третий этапы можно распараллелить частично.

Второй этап распараллеливается путем подачи на вход свободному процессу очередного подграфа для разделения. Число итераций оценивается в [math]\displaystyle{ O(n log(n)) }[/math].

Третий этап делится на расчет показателей схожести и соединение подграфов в кластеры. Процесс расчета показателей можно распараллелить, подавая каждому процессу на вход пару подграфов. Сложность этого процесса оценивается как [math]\displaystyle{ m log(m) }[/math], в то время как сложность процесса соединения в кластеры составляет [math]\displaystyle{ m^2 log(m) }[/math].

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные

1. Симметрическая матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] расстояний между элементами данных размера [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] с нулями на главной диагонали ([math]\displaystyle{ a_{ii}= 0, i = 1, \ldots, N }[/math]).

2. [math]\displaystyle{ k }[/math] - количество ближайших соседей для вершин (рекомендуемое значение [math]\displaystyle{ k }[/math] от 5 до 20 в зависимости от количества анализируемых объектов).

3. [math]\displaystyle{ l }[/math] - наименьшее число вершин, которое может содержать наибольший подкластер на 2-м этапе . Величина этого параметра варьируется от 1 до 5 % от общего числа объектов.

Объём входных данных

[math]\displaystyle{ \frac{n (n - 1)}{2} }[/math] (в силу симметричности и нулевой главной диагонали достаточно хранить только над/поддиагональные элементы).

Выходные данные

Вектор из [math]\displaystyle{ n }[/math] чисел [math]\displaystyle{ u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{N} }[/math], где [math]\displaystyle{ u_{i} }[/math] - целое число, соответствующее кластеру [math]\displaystyle{ i }[/math]-го объекта.

Объём выходных данных

[math]\displaystyle{ n }[/math]

часть. Программная реализация алгоритма

Масштабируемость алгоритма и его реализации

см. позднее

Литература

[1] George Karypis, Eui-Hong (Sam) Han и Vipin Kumar, «Chameleon: Hierarchical Clustering Using Dynamic Modeling», 1999.

[2] http://studopedia.ru/7_41934_algoritm-dinamicheskoy-ierarhicheskoy-klasterizatsii-CHAMELEON.html

[3] J.H. Friedman, J.L. Bentley, and R.A. Finkel. An algorithm for finding best matches in logarithmic expected time. ACM Transactions on Mathematical Software, 3:209–226, 1977.

[4] S. Berchtold, C. Bohm, D. Keim, and H.-P. Kriegel. Cost model for nearest neighbor search in high dimensional data space. In Proc. of Symposium on Principles of Database Systems, Tucson, Arizona, 1997.