Участник:Alexbashirov/Алгоритм Ланцоша для точной арифметики: различия между версиями
| Строка 12: | Строка 12: | ||
Алгоритм Ланцоша работает с вещественной симметричной матрицей <math>A=A^T</math>, таким образом в памяти достаточно хранить лишь немногим более половины элементов матрицы <math>A</math>. | Алгоритм Ланцоша работает с вещественной симметричной матрицей <math>A=A^T</math>, таким образом в памяти достаточно хранить лишь немногим более половины элементов матрицы <math>A</math>. | ||
Прежде чем переходить к описанию алгоритма, следует упомянуть следующие понятия: подпространство Крылова и процесс Рэлея-Ритца, о которых уже было сказано в исторической справке выше. Подпространством Крылова называется набор векторов<math>K_n =[b,Ab,A^2b,...,A^{n-1}b]</math>. Начав свою работу с произвольного вектора <math>b_0</math>, степенной метод вычисляет вектора <math>Ab, A^2b,...,A^{n-1}b</math> итерационно сохраняя полученный результат в вектор <math>b</math>. Полученная последовательность векторов сходится к собственному вектору, отвечающему максимальному собственному значению <math>\lambda_1</math>. Однако, использование лишь последнего полученного вектора и потеря всех предшествующих посчитанных величин не всегда является наилучшим выбором. Поэтому сохранив все вектора и объединим их в одну матрицу мы получим: | Прежде чем переходить к описанию алгоритма, следует упомянуть следующие понятия: подпространство Крылова и процесс Рэлея-Ритца, о которых уже было сказано в исторической справке выше. Подпространством Крылова называется набор векторов<math>K_n =[b,Ab,A^2b,...,A^{n-1}b]</math>. Начав свою работу с произвольного вектора <math>b_0</math>, степенной метод вычисляет вектора <math>Ab, A^2b,...,A^{n-1}b</math> итерационно сохраняя полученный результат в вектор <math>b</math>. Полученная последовательность векторов сходится к собственному вектору, отвечающему максимальному собственному значению <math>\lambda_1</math>. Однако, использование лишь последнего полученного вектора и потеря всех предшествующих посчитанных величин не всегда является наилучшим выбором. Поэтому сохранив все вектора и объединим их в одну матрицу мы получим так называемую '''матрицу Крылова''': | ||
<math>K-n = [b,Ab,A^2b,...,A^{n-1}b]</math>. | |||
== Программная реализация алгоритма == | == Программная реализация алгоритма == | ||
== Литература == | == Литература == | ||
Версия от 16:51, 15 октября 2016
| Алгоритм Ланцоша для точной арифметики |
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
История
Алгоритм Ланцоша является прямым алгоритмом поиска собственных значений симметричной матрицы, разработанным венгерским физиком и математиком XX столетия Корнелием Ланцошем в 1950 году. Алгоритм совмещает в себе два других алгоритма: алгоритм построения подпространства Крылова (который также был создан Ланцошем) и процедуру Рэлея-Ритца приближения собственных значений матрицы. Алгоритм является вариацией степенного метода, позволяющего найти собственные значения и собственные вектора матрицы [math]\displaystyle{ n }[/math]-го порядка. Однако в алгоритме число итераций ограничено некоторым [math]\displaystyle{ k }[/math], где [math]\displaystyle{ k\lt \lt n }[/math]. Несмотря на заявленную вычислительную эффективность, алгоритм не получил широкого применения в своём первоначальном виде, ввиду его неустойчивости. 20 лет спустя, в 1970 году ученые Ojalvo и Newman показали доработанный алгоритм Ланцоша, который теперь стал устойчивым а также предложили способ выбора вектора начального приближения [math]\displaystyle{ v_0 }[/math]. Полученный последователями Ланцоша алгоритм получил название "Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией".
Описание
Алгоритм Ланцоша работает с вещественной симметричной матрицей [math]\displaystyle{ A=A^T }[/math], таким образом в памяти достаточно хранить лишь немногим более половины элементов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].
Прежде чем переходить к описанию алгоритма, следует упомянуть следующие понятия: подпространство Крылова и процесс Рэлея-Ритца, о которых уже было сказано в исторической справке выше. Подпространством Крылова называется набор векторов[math]\displaystyle{ K_n =[b,Ab,A^2b,...,A^{n-1}b] }[/math]. Начав свою работу с произвольного вектора [math]\displaystyle{ b_0 }[/math], степенной метод вычисляет вектора [math]\displaystyle{ Ab, A^2b,...,A^{n-1}b }[/math] итерационно сохраняя полученный результат в вектор [math]\displaystyle{ b }[/math]. Полученная последовательность векторов сходится к собственному вектору, отвечающему максимальному собственному значению [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math]. Однако, использование лишь последнего полученного вектора и потеря всех предшествующих посчитанных величин не всегда является наилучшим выбором. Поэтому сохранив все вектора и объединим их в одну матрицу мы получим так называемую матрицу Крылова: [math]\displaystyle{ K-n = [b,Ab,A^2b,...,A^{n-1}b] }[/math].