Участник:Alexander34396/Обобщенный метод минимальных невязок

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Обобщённый метод минимальных невязок (англ. Generalized minimal residual method, GMRES) - итерационный метод численного решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей. Метод основан на минимизации квадратичного функционала невязки на подпространствах Крылова. Разработан Юсефом Саадом и Мартином Шульцем в 1986 году как обобщение метода MINRES на случай систем с несимметричными матрицами.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• система линейных алгебраических уравнений вида [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где [math]\displaystyle{ A }[/math] — невырожденная матрица размера [math]\displaystyle{ n }[/math]-на-[math]\displaystyle{ n }[/math].

Вычисляемые данные:

• [math]\displaystyle{ x_k }[/math] - приближённое решение исходной системы.

Подпространство Крылова размерности [math]\displaystyle{ k, k \leq n }[/math] для решения исходной системы:

[math]\displaystyle{ K_k = K_k(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{k-1}b \}. \, }[/math]

Метод GMRES приближает точное решение исходной системы [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math] вектором [math]\displaystyle{ x_k \in K_k }[/math], минимизирующим Евклидову норму невязки [math]\displaystyle{ r_k = Ax_k-b }[/math].

Для решения исходной системы GMRES, используя [math]\displaystyle{ l_2 }[/math]-ортонормальный базис пространства [math]\displaystyle{ K_k }[/math], выполняет поиск приближённого решения [math]\displaystyle{ x_k }[/math] в виде:

[math]\displaystyle{ x_k = x_0 + z_k }[/math],

где [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] - некоторое начальное приближение, [math]\displaystyle{ z_k \in K_k }[/math] - поправка решения.

Для построения ортонормального базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math] метод использует ортогонализацию Арнольди. При введении для базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math] матричного обозначения [math]\displaystyle{ V_k }[/math] можно записать:

[math]\displaystyle{ z_k = V_ky_k }[/math],

где [math]\displaystyle{ y_k \in \mathbb{R}^k }[/math] - вектор коэффициентов.

В общем виде k-aя итерация алгоритма GMRES может быть записан следующим образом:

1. найти ортонормальный базис [math]\displaystyle{ V_k }[/math] подпространства [math]\displaystyle{ K_k }[/math] с помощью ортогонализации Арнольди;
2. найти [math]\displaystyle{ y_k }[/math], минимизирующий [math]\displaystyle{ \|r_k\|_2 }[/math];
3. вычислить [math]\displaystyle{ x_k = x_0 + V_ky_k }[/math];
4. вычислить [math]\displaystyle{ r_k }[/math] и остановиться,если требуемая точность была достигнута, иначе повторить для k + 1.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро последовательной версии метода GMRES состоит из двух частей:

• Вычисление ортонормального базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math];
• Формирование приближенного решения [math]\displaystyle{ x_k }[/math].

На каждой итерации для вычисления ортонормального базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math] метод использует процесс Арнольди:

[math]\displaystyle{ \hat{v}_{k+1} := Av_k - \sum_{i=1}^k h_{ik}v_{k} }[/math], где [math]\displaystyle{ h_{ik} := (Av_k, v_i) }[/math].

Этот процесс требует [math]\displaystyle{ k(k + 1) n + kNZ }[/math] мультипликативных операций, где NZ - количество ненулевых элементов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].

Для нахождения на каждой итерации приближённого решения метод использует формулу:

[math]\displaystyle{ x_k = x_0 + V_ky_k }[/math].

Вычисление этой формулы требует [math]\displaystyle{ nk }[/math] мультипликативных операций.

Макроструктура алгоритма

В алгоритме можно выделить следующие макрооперации:

• Умножение матрицы на вектор;
• Вычисление скалярного произведения векторов;
• Вычисление Евклидовой нормы вектора;
• Умножение вектора на скаляр;
• Деление вектора на скаляр;
• Поиск [math]\displaystyle{ underset{y \in K_k}{\operatorname{argmin}}\|r_0 - AV_ky_k\|_2 }[/math]

Схема реализации последовательного алгоритма

Для решения исходной системы методом GMRES можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Подготовка перед итерационным процессом:

1. Выбрать начальное приближение [math]\displaystyle{ x_0 }[/math];
2. Посчитать невязку [math]\displaystyle{ r_0 = b - Ax_0 }[/math];
3. Вычислить [math]\displaystyle{ v_1 = \frac{r_0}{\|r_0\|_2} }[/math].

k-ая итерация:

1. [math]\displaystyle{ h_{ik} := (Av_k, v_i), \quad i=1,\ldots,k }[/math];
2. [math]\displaystyle{ \hat{v}_{k+1} := Av_k - \sum_{i=1}^k h_{ik}v_{i} }[/math];
3. [math]\displaystyle{ h_{k+1k} = \|\hat{v}_{k+1}\|_2 }[/math];
4. [math]\displaystyle{ v_{k+1} = \frac{\hat{v}_{k+1}}{h_{k+1k}} }[/math].
5. [math]\displaystyle{ x_k = x_0 + V_ky_k }[/math], где [math]\displaystyle{ y_k }[/math] минимизирует [math]\displaystyle{ \|r_0 - AV_ky_k\|_2 }[/math]