Участник:Анюшева Ирина/Итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений GMRES (обобщенный метод минимальных невязок)

Основные авторы описания: Анюшева Ирина (614 группа), Исхаков Эльдар (614 группа)

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Обобщенный метод минимальных невязок (GMRES) для решения системы линейных алгебраических уравнений аппроксимирует решение с помощью вектора в подпространстве Крылова с минимальным остатком. Метод GMRES разработан Ю.Саадом и Мартин Х. Шульцом в 1986 году. Метод по праву считается одним из самых эффективных численных методов решения несимметричных систем. Он гарантирует неувеличение нормы невязки в ходе итерационного процесса, который основан на построении базиса в соответствующей системе подпространстве Крылова [math]\displaystyle{ K_j(A, r_0) }[/math]. Затем решение уточняется некоторой добавкой, представленной в виде разложения по этому базису.

Метод обобщенных минимальных невязок популярен из-за наличия ряда преимуществ: он ошибкоустойчив, допускает эффективное распараллеливание, не требует нахождения параметра релаксации, обладает суперлинейной скоростью сходимости. Однако в чистом виде для больших систем метод не используется из-за чрезвычайно больших затрат памяти. Зато широкое распространение получила перезапускаемая версия метода, подоразумевающая перезапуск метода каждые m итераций. Уменьшение размерности пространства может привести к стагнации метода – процессу, при котором с каждой следующей итерацией норма невязки уменьшается незначительно, либо не уменьшается вовсе.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные: система линейных алгебраических уравнений [math]\displaystyle{ Ax=b }[/math], где:

[math]\displaystyle{ A=(a_{ij}) }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] вещественная матрица размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math];

[math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ x }[/math] вектора из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов;

[math]\displaystyle{ x^* }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] точное решение системы.

Вычисляемые данные: [math]\displaystyle{ x^{(s)} - }[/math]приближенное решение системы.

Ортогонализация Арнольди

Для построения базиса [math]\displaystyle{ V }[/math] в подпространстве Крылова в методе GMRES применяется ортогонализация Арнольди.

Формулы метода:

[math]\displaystyle{ \begin{align} (h_{i+1,i}v_{i+1}) & = Av_i - \sum_{j = 1}^{i} h_{j,i}v_j, \\ v_1 &= \frac{r_0}{\parallel r_0 \parallel}, \end{align} }[/math]

В матрично-векторных обозначениях соотношение может быть записано как

[math]\displaystyle{ \begin{align} AV_i &= V_i H_i + h_{i+1,i}v_{i+1} e_i^T &=V_{i+1}\overline{H}_i, \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} V_i &= [v_1|v_2|...|v_i], \overline{H}_i - \end{align} }[/math] верхняя матрица Хессенберга размерности [math]\displaystyle{ (i+1)\times i }[/math]

Минимизация невязки

Невязку уравнения можно определить как [math]\displaystyle{ J(y) = \parallel b- A x\parallel = \parallel b- (Ax_0+V_m y)\parallel =\parallel \beta e_1 - \overline{H}_m y \parallel }[/math], где [math]\displaystyle{ y - }[/math] вектор размерности [math]\displaystyle{ m }[/math].

Вектор [math]\displaystyle{ x_m }[/math] может быть получен как [math]\displaystyle{ x_m = x_0 + V_m y_m }[/math], вектор [math]\displaystyle{ y_m }[/math] может найден как решение линейной задачи наименьших квадратов размера [math]\displaystyle{ (m+1)\times m }[/math], где [math]\displaystyle{ m\lt \lt n }[/math].

Для решения задачи минимизации приведем матрицу [math]\displaystyle{ \overline{H}_m }[/math] к верхнему треугольному виду с помощью вращений Гивенса. На шаге [math]\displaystyle{ i }[/math] матрица вращения [math]\displaystyle{ \Omega_i }[/math] имеет размеры [math]\displaystyle{ (m+1)\times (m+1) }[/math] и имеет следующий вид:

[math]\displaystyle{ \Omega_i= \begin{pmatrix} 1 & &&&&&& \\ &\ddots &&&&&&\\ &&1&&&&& \\ &&&c_i&s_i &&& \\ &&&-s_i& c_i &&&\\ &&&&&1&&& \\ &&&&&&\ddots&\\ &&&&&&&1 \\ \end{pmatrix} }[/math]

Схема реализации последовательного алгоритма

Шаги алгоритма

1. Выбрать произвольное [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]; вычислить [math]\displaystyle{ r_0=b-Ax_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ v_1=\frac{r_0}{\parallel r_0 \parallel} }[/math]

2. Задать матрицу [math]\displaystyle{ \overline{H}_m }[/math] размерности [math]\displaystyle{ (m+1)\times m }[/math] и всем ее элементам присвоить нулевые значения

3. Для [math]\displaystyle{ j=1,\dots,m }[/math] выполнять:

[math]\displaystyle{ \bullet \  }[/math] для [math]\displaystyle{ i=1,\dots,j }[/math] выполнять: [math]\displaystyle{ h_{i,j}=(Av_j,v_i) }[/math]
[math]\displaystyle{ \bullet \ \omega_j=Av_j-\sum_{i=1}^j h_{i,j}v_i }[/math]
[math]\displaystyle{ \bullet \ h_{j+1,j}={\parallel \omega_j \parallel} }[/math]
[math]\displaystyle{ \bullet \ v_{j+1}=\frac{\omega_j}{h_{j+1,j}} }[/math]

4. Вычислить [math]\displaystyle{ y_m=\arg\min_{y} \parallel \beta e_1 - \overline{H}_my \parallel,\ y \in \mathbb{R}^m }[/math] и [math]\displaystyle{ x_m=x_0+V_my_m }[/math]

5. Вычислить [math]\displaystyle{ r_m=f-Ax_m }[/math]. Если достигнутая точность удовлетворительна, остановиться.

Иначе принять [math]\displaystyle{ x_0=x_m }[/math] и [math]\displaystyle{ v_1=\frac{r_m}{\parallel r_m \parallel} }[/math] и вернуться к пункту 2.

Решение задачи минимизации невязки

Для нахождения [math]\displaystyle{ y_m=\arg\min_{y} \parallel \beta e_1 - \overline{H}_my \parallel }[/math] необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти [math]\displaystyle{ m }[/math] матриц вращений Гивенса [math]\displaystyle{ \Omega_i(c_i,s_i),\ i=1,\dots,m }[/math] размера [math]\displaystyle{ (m+1)\times(m+1) }[/math], где [math]\displaystyle{ s_i=\frac{h_{i+1,i}}{\sqrt{h_{i,i}^2+h_{i+1,i}^2}} }[/math], [math]\displaystyle{ c_i=\frac{h_{i,i}}{\sqrt{h_{i,i}^2+h_{i+1,i}^2}} }[/math]

2. Вычислить [math]\displaystyle{ \overline{H}_m^{(m)}=\Omega_1\dots\Omega_m\overline{H}_m }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline{g}_m=\Omega_1\dots\Omega_m\beta e_1 }[/math], удалить последнюю строку и последний элемент соответственно и решить СЛАУ с полученной верхнетреугольной матрицей и правой частью. Полученное решение [math]\displaystyle{ y_m }[/math] минимизирует исходный функционал.