Участник:Nikita270a

Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(n^2)+O(nk^2) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ \frac{n(n + 1)}{2} }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ k(n + 1) }[/math]

Авторы: Алексейчук Н.Н 616, Ястребов К.С. 609.

Общее описание алгоритма.

Алгоритм Ланцоша ищет собвственные значения и собственные векторы для симетричной матрицы A вещественных чисел. Является итерацонным алгоритмом. Алгоритм Ланцоша использует степенной метод ([math]\displaystyle{ b_{k+1} = \frac{Ab_k}{||Ab_k||} }[/math]) для поиска наибольших собственных значений и векторов матриц.

В отличие от прямых алгоритмов требует мешьше памяти и мощности, что является несомненным плюсом для больших матриц.

Несмотря на свою скорость работы и экономию памяти, сначала не был популярным алгоритмом из – за недостаточной вычислительной устойчивости. В 1970 году Ojalvo и Newman [1] показали способ сделать алгоритм достаточно устойчивым. В этой же статье алгоритм был применен к расчету инженерной конструкции с большим количеством узлов, которые подвергались динамической нагрузке.

Математическое описание алгоритма

Памятка: Степенной метод нахождения наибольшего собственного числа матрицы можно сформулировать в предельном виде: если [math]\displaystyle{ b_0 }[/math] – случайный вектор, и [math]\displaystyle{ b_n+1 = Ab_n }[/math], тогда для больших чисел n предел [math]\displaystyle{ x_n/||x_n|| }[/math] стремится к нормированному наибольшему собственному вектору.

Алгоритм Ланцоша комбинирует метод Ланцоша для нахождения крыловского подпространства и метод Релэя – Ритца.

Подпространство Крылова для степенного метода: [math]\displaystyle{ K_m(v,A) = span[x_1, Ax_1, A^2x_1, ..., A^{k-1}x_1] }[/math]

В качестве входных данных для алгоритма Ланцоша подаются квадратная матрица размерности [math]\displaystyle{ n }[/math]X[math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ A=A^T }[/math]; а так же вектор начального приближения [math]\displaystyle{ b }[/math].

Метод осуществляет поиск трехдиагональной симметричной матрицы [math]\displaystyle{ T_k=Q_k^TAQ_k }[/math]. Причем собственные значения [math]\displaystyle{ T_k }[/math] таковы, что приближают собственные значения исходной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. То есть на каждом [math]\displaystyle{ k }[/math]-м шаге из ортонормированных векторов Ланцоша строится матрица [math]\displaystyle{ Q_k = [q_1,q_2,...,q_k] }[/math] и в качестве приближенных собственных значений матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] принимаются числа Ритца.

Из-за ошибок округления вектора [math]\displaystyle{ A^{k-1}x_1 }[/math], формирующие подпространство Крылова, становятся неортогональными. Чтобы решить данную прорблему, проводят переортогонализацию методом Грамма-Шмидта.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром данного алгоритма являются следующие шаги:

• 1. [math]\displaystyle{ Aq=( \sum\nolimits_{i=^n}a_{1i}q_i, \sum\nolimits_{i=2}^na_{2i}q_i, ..., \sum\nolimits_{i=1}^na_{ni}q_i) }[/math].

• 2. [math]\displaystyle{ z=z-\sum\nolimits_{i=1}^{k}(z^Tq_i)q_i. }[/math]

В данном случае первая операция выполняет умножение симметричной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n }[/math]X[math]\displaystyle{ n }[/math] на [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный вектор [math]\displaystyle{ q }[/math], вследствие чего вычислительная сложность выполнения заключается в [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] умножений и [math]\displaystyle{ n^2-n }[/math] сложений. Второе действие является процессом ортогонализации Грама-Шмидта. В последнем действии вычисляются [math]\displaystyle{ k^2n+k(n+2) }[/math] умножений и [math]\displaystyle{ k^2n + k(n + 1) + 2 }[/math] операций сложения.

Макроструктура алгоритма

• 1. Скалярное произведение: [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math].

• 2. Суммирование: [math]\displaystyle{ x+\alpha y }[/math].

Схема

Input: A, b (random vector with unit norm)

[math]\displaystyle{ \begin{align} q_1 = b/||b||_2, \beta_0 = 0, q_0 = 0 \\ j = 1 ,...,k \\ q_1&=b/||b||,\beta_0=0,q_o=0. \\ z&=Aq_j, \\ \alpha_j&=q_j^Tz, \\ z&=z-\alpha_jq_j-\beta_{j-1}q_{j-1}, \\ \beta&=||z||,\\ q_{j+1}&=z/\beta_j, \quad j \in [1, k]. \end{align} }[/math]

Вычислительная сложность

Количество операций складывается из количества операций для классического метода Ланцоша[2] и и количества операций для переортогонализации методом грамма-Шмидта[3].

Итоговая сложность составляет [math]\displaystyle{ O(n^2)+O(nk^2) }[/math].

Информационный граф

Входные и выходные данные

На вход принимается сама матрица [math]\displaystyle{ A \in R^{n \times n} }[/math], случайный вектор [math]\displaystyle{ b }[/math] (впрочем возможен вариант, при котором этот вектор генерируется случайным образом). Ввиду симметричности входной матрицы достаточно передать лишь ее верхнюю треугольную матрицу, что дает объем входных данных [math]\displaystyle{ \frac{n(n + 1)}{2} }[/math].

Выходными данными для [math]\displaystyle{ j }[/math]ой итерации являются вектор [math]\displaystyle{ Aq_j }[/math] и собственное число [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. Общий объем выходных данных [math]\displaystyle{ k(n+1) }[/math].

Свойства алгоритма

Если [math]\displaystyle{ A }[/math] эрмитова матрица, то алгоритм Ланцоша и Bi-Lanczos сходятся к одинаковым трехдиагональным матрицам ритца[4].

При реализации классического алгоритма Ланцоша возникает большая погрешность при округлении. Вариант с полной переортогонализацией позволяет избегать больших погрешностей, однако является более ресурсоемким. Существует промежуточный вариант с частичной переортогонализацией.

Алгоритм может завершить свою работу досрочно, когда найденные собственные значения будут достаточно близки к целевым.

Реусурс параллелизма алгоритма

Хотя алгоритм является итерационным, возможно распараллелить внутри каждой итерации умножение матрицы на вектор и процесс переортогонализации Грамма-Шмидта.

Процесс умножения матриц matvec можно распараллелить несколькими способами[5].

Библиотеки реализующие алгоритм

The IETL Project http://www.comp-phys.org/software/ietl/ C++

NAG Library http://www.nag.com/content/nag-library C, C++, Fortran, C#, MATLAB, R

ARPACK https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/arpack/arpack.html MATLAB

GrapLab https://turi.com/products/create/open_source.html C++

С частичной переортаганализацией

LANSO/PLANSO http://web.cs.ucdavis.edu/~bai/ET/lanczos_methods/overview_PLANSO.html Fortran (уже распараллелена)

Литература

Ojalvo, I.U. and Newman, M., "Vibration modes of large structures by an automatic matrix-reduction method", AIAA J., 8 (7), 1234–1239 (1970).