Участник:BDA/Ортогонализация Грама-Шмидта

Ортогонализация Грама-Шмидта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(nm^2) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ nm }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ nm }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ ? }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ ? }[/math]

Основные авторы описания: Белов Н. А., Богомолов Д. А..

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Ортогонализация ― алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V.

Ортогонализация Грама–Шмидта (процесс Грама–Шмидта) ― наиболее известный алгоритм ортогонализации. Назван в честь Йоргена Педерсена Грама и Эрхарда Шмидта, однако ранее уже появлялся в работах Лапласа и Коши. Является частным случаем разложения Ивасавы, так как может быть представлен как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами.

Рассматриваемый алгоритм применяется для борьбы с помехами в адаптивной системе селекции движущихся целей, в протоколах безопасности, для повышения экономичности алгоритмов оценивания параметров моделей объектов управления и в других областях.

Математическое описание алгоритма

Входные данные. [math]\displaystyle{ m }[/math] линейно независимых векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{a}_1,...,\mathbf{a}_m }[/math] c размерностью пространства [math]\displaystyle{ n }[/math], записанных в матрице [math]\displaystyle{ A }[/math] с элементами [math]\displaystyle{ \alpha_{ij} }[/math].

Выходные данные. [math]\displaystyle{ m }[/math] ортогональных векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_m }[/math] c размерностью пространства [math]\displaystyle{ n }[/math], записанных в матрице [math]\displaystyle{ B }[/math] с элементами [math]\displaystyle{ \beta_{ij} }[/math].

Определим оператор проекции (проецирует вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] коллинеарно вектору [math]\displaystyle{ \mathbf{b} }[/math]) [math]\displaystyle{ \mathbf{proj_b a = \frac{\left \langle a,b \right \rangle}{\left \langle b,b \right \rangle }b} }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathbf{\left \langle a,b \right \rangle} }[/math] ― скалярное произведение векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{b} }[/math].

Тогда ортогональные векторы вычисляются следующим образом:

[math]\displaystyle{ \mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{b}_2 = \mathbf{a}_2 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{b}_3 = \mathbf{a}_3 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_3 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2} \mathbf{a}_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{b}_m = \mathbf{a}_m - \sum_{j=1}^{m-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_j} \mathbf{a}_m }[/math]

Или поэлементно:

[math]\displaystyle{ \beta_{1j} = \alpha_{1j} }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta_{ij} = \alpha_{ij} - (\sum_{k=1}^{i-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_k} \mathbf{a}_i)_j = \alpha_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1}\frac{\sum_{s=1}^{n}\alpha_{is}\beta_{ks}}{\sum_{s=1}^{n}\beta_{ks}\beta_{ks}}\beta_{kj} }[/math]

Вычислительное ядро алгоритма

Основное время работы алгоритма приходится на вычисление сумм [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{j-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_i} \mathbf{a}_k \forall j: j=\overline{1, m} }[/math].

Макроструктура алгоритма

Из описания алгоритма в предыдущих разделов следует, что основную часть данного метода составляют операции вычисления проекций векторов, а также их сумм.

Схема реализации последовательного алгоритма

Рассмотрим алгоритм, написанный в виде функции для математической системы MATLAB.

Входные данные.

Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] с линейно-независимыми векторами в столбцах.

Выходные данные.

Матрица [math]\displaystyle{ Q }[/math] с ортонормированным базисом [math]\displaystyle{ A }[/math].

Использование.

Q = gramschmidt( A );

Реализация.

function Q = gramschmidt( A )
% Число векторов.
n = size( A, 2 );
 
% Инициализируем выходную матрицу.
Q = zeros( n );
 
% Преобразуем каждый вектор в базисный:
% (1) j-ый базисный вектор будет ортогонален каждому из предыдущих 1..j-1 векторов;
% (2) будет единичной длины.
for j = 1 : n
    % Выбираем j-ый вектор
    u = A( :, j );
    
    % Специальный случай для j = 1: просто нормируем этот вектор и помещаем
    % первым в найденный базис, так как нет векторов, относительно которых
    % нужно было бы делать его ортогональным.

    % Удаляем из оригинального вектора "u" все компоненты натянутые на базис
    % из векторов 1..j-1, их вклад будет удален.
    % => j-ый вектор ортогонален остальным.
    % Предыдущие базисные вектора были найдены на предыдуших шагах.
    % => соблюдаем принцип ортогональности, но не ортонормированности.
    for i = 1 : j - 1
        u = u - proj( Q(:,i), A(:,j) );
    end
     
    % Нормируем вектор
    Q(:,j) = u ./ norm( u );
end
end
 
% Проекция вектора "a" коллинеарно вектору "e".
function p = proj( e, a )
p = (e' * a) / (e' * e) .* e;
end

Последовательная сложность алгоритма

Рассмотрим [math]\displaystyle{ m }[/math] векторов длины [math]\displaystyle{ n }[/math].

1. Скалярное произведение векторов требует [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] сложение и [math]\displaystyle{ n }[/math] произведений.
2. Вычитание проекции вектора требует [math]\displaystyle{ 2 }[/math] скалярных произведения, [math]\displaystyle{ 1 }[/math] деление, [math]\displaystyle{ n }[/math] умножений и [math]\displaystyle{ n }[/math] сложений, то есть:
   1. [math]\displaystyle{ 3n-2 }[/math] ([math]\displaystyle{ + }[/math]);
   2. [math]\displaystyle{ 3n }[/math] ([math]\displaystyle{ \times }[/math]);
   3. [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ([math]\displaystyle{ \div }[/math]).
3. Вычисление [math]\displaystyle{ i }[/math]-го вектора требует [math]\displaystyle{ i-1 }[/math] вычитаний проекций, то есть:
   1. [math]\displaystyle{ (3n-2)(i-1) }[/math] ([math]\displaystyle{ + }[/math]);
   2. [math]\displaystyle{ 3n(i-1) }[/math] ([math]\displaystyle{ \times }[/math]);
   3. [math]\displaystyle{ i-1 }[/math] ([math]\displaystyle{ \div }[/math]).
4. Мы вычисляем вектора от [math]\displaystyle{ i=1 }[/math] до [math]\displaystyle{ m }[/math], поэтому множители [math]\displaystyle{ (i-1) }[/math] выражаются треугольным числом [math]\displaystyle{ (m-1)\frac{m}{2} }[/math].
   1. [math]\displaystyle{ (3n-2)(m-1)\frac{m}{2} }[/math] ([math]\displaystyle{ + }[/math]);
   2. [math]\displaystyle{ 3n(m-1)\frac{m}{2} }[/math] ([math]\displaystyle{ \times }[/math]);
   3. [math]\displaystyle{ (m-1)\frac{m}{2} }[/math] ([math]\displaystyle{ \div }[/math]).

Таким образом, cложность алгоритма [math]\displaystyle{ O(nm^2) }[/math].

Информационный граф

Информационный граф алгоритма Грама-Шмидта

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные. Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] с элементами [math]\displaystyle{ \alpha_{ij} }[/math], где [math]\displaystyle{ i = \overline{1, m} }[/math] (количество линейно независимых векторов) и [math]\displaystyle{ j = \overline{1, n} }[/math] (размерность пространства), при этом [math]\displaystyle{ m \leqslant n }[/math].

Объем входных данных. [math]\displaystyle{ mn }[/math]

Выходные данные. Матрица [math]\displaystyle{ B }[/math] с элементами [math]\displaystyle{ \beta_{ij} }[/math], где [math]\displaystyle{ i = \overline{1, m} }[/math] и [math]\displaystyle{ j = \overline{1, n} }[/math], тогда [math]\displaystyle{ b_{1}, \dots, b_{m} }[/math] — система ортогональных векторов.

Объем выходных данных. [math]\displaystyle{ mn }[/math]

Свойства алгоритма

Отношение последовательной и параллельной сложности -- ?

Отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных -- линейное.

Алгоритм почти полностью детерминирован, то есть гарантирована единственность результата выполнения.

Однако, возможно накопление ошибок округления, то есть векторы выходной матрицы часто не точно ортогональны. Из-за потери ортогональности в процессе вычислений классический процесс Грама-Шмидта называют численно неустойчивым.

Процесс Грама-Шмидта может быть сделан более вычислительно устойчивым путём небольшой модификации. Такой алгоритм называется модифицированным процессом Грама-Шмидта.

Процесс Грама-Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.

Процесс Грама-Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт [math]\displaystyle{ \mathbf{0} }[/math] (нулевой вектор) на шаге [math]\displaystyle{ j }[/math], если [math]\displaystyle{ \mathbf{a}_j }[/math] является линейной комбинацией векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{a}_1,\;\ldots,\;\mathbf{a}_{j-1} }[/math]. Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (то есть количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).

Процесс Грама-Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами -- QR-разложение.

Программная реализация алгоритма

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Срок сдачи продлен до 15 ноября.

Существующие реализации алгоритма

Данный алгоритм реализован во множестве библиотек и математических программных пакетах.

1. Библиотека Epicycle (C#).
2. Библиотека Spectral Python (SPy).
3. Библиотека vect (Haskell).

Пакет Mathematica

Приведем пример скрипта, предназначенного для пакета Mathematica, который проводит процесс ортогонализации Грама-Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках последней строки. Количество векторов и их координат могут быть произвольными. В данном случае для примера взяты векторы [math]\displaystyle{ \{-2,\;1,\;0\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{-2,\;0,\;1\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{-0{.}5,\;-1,\;1\} }[/math].

Projection[v1_, v2_] := (v1.v2*v2)/v2.v2
MultipleProjection[v1_, vecs_] := Plus @@ (Projection[v1, #1] &) /@ vecs
GramSchmidt[mat_] := Fold[Join[#1, {#2 - MultipleProjection[#2, #1]}] &, {}, mat]
GramSchmidt[{{-2, 1, 0}, {-2, 0, 1}, {-0.5, -1, 1}}]

Пакет Maxima

Приведем пример скрипта, предназначенного для пакета Maxima, который проводит процесс ортогонализации Грама-Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках последней строки. Количество векторов и их координат могут быть произвольными. В данном случае для примера взяты векторы [math]\displaystyle{ \{-2,\;1,\;0\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{-2,\;0,\;1\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{-0{.}5,\;-1,\;1\} }[/math].

load(eigen);
x: matrix ([-2,1,0],[-2,0,1],[-0.5,-1,1]);
y: gramschmidt(x);

Пакет MATLAB

Приведем пример скрипта, предназначенного для пакета MATLAB, который проводит процесс ортогонализации Грама-Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках последней строки. В данном пакете уже существует функция, которая осуществляет данный процесс. Столбцы входной матрицы предполагаются линейно-независимыми, количество векторов и их координат могут быть произвольными. Функция возращает матрицу X с ортонормированными столбцами и обратимую верхне-треугольную матрицу Y.

В данном случае для примера взяты векторы [math]\displaystyle{ \{-2,\;1,\;0\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{-2,\;0,\;1\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{-0{.}5,\;-1,\;1\} }[/math].

[x y]=gschmidt([-2 1 0; -2 0 1; -0.5 -1 1])